2024年中考数学探究性训练-三角形 (二)

备考2024年中考数学探究性训练专题19三角形

一、选择题

1.活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知AABC

中，NA=30。，AC=3,NA所对的边为国，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的

△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

A.2A/3B.2V3-3C.28或D.28或一3

2.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图,

用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定，只要测得C,D之间的距离，就可知道内径AB的

长度.此方案依据的数学定理或基本事实是（）

A.边角边B.三角形中位线定理

C.边边边D.全等三角形的对应角相等

3.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为NBAF时，顶部边

缘B处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm,小组成员调整张

角的大小继续探究，最后发现当张角为ZD4尸时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE

为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离4£为（）

A.15cmB.18cmC.21cmD.24cm

4.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图，四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,

在探究筝形的性质时，得到如下结论：

①4C1B。；（2）X0=C0=^AC;③AABD名ACBD,

其中正确的结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.某兴趣小组开展综合实践活动：在RtAZBC中，ZC=90°,CD=<2,。为AC上一点，动点P

以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿CTBT4匀速运动，到达点A时停止，以DP

为边作正方形DPEF,设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,当点P由点C运动到点4

时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻以，上，名（「1<

Ml图2

A.3B.等C.4D.5

二'填空题

6.【动手实践】小明学习了课本“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘

米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是________厘米.

7.活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知AZBC

中，乙4=30°,AC=3,乙4所对的边为满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△力BC

是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为

8.在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（乙4=90。）硬纸片剪切成如

图所示的四块（其中D,E,F分别为4B,AC,BC的中点，G,H分别为DE,BF的中点），小明将

这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值

为,最大值为.

9.如图，乙MEN=9。。,矩形ABCQ的顶点B,C分别是ZMEN两边上的动点，已知BC=6,CD=3,

请完成下列探究：

（1）若点F是BC的中点，那么EF=

（2）点D,点E两点之间距离的最大值是

10.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线Z同旁有两个定点A、B,在直线，上存在点P,使得P4+PB的值最小.解法：如图1,作点

4关于直线1的对称点4连接4B,则4B与直线［的交点即为P,且P4+PB的最小值为4B.

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图2,△力BC中，zC=90°,AC=BC=2,E是AB的中点，P是BC边上的

一动点，则PA+PE的最小值为；

(2)几何拓展：如图3,△ZBC中，AC=2,44=30°,若在AB上取一点M,则2cM+4M的

值最小值是.

三'实践探究题

11.问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB=AC；②DB=DC；

③/BAD=NCAD.若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立?解决方案：探究

△ABD与4ACD全等.

问题解决：

(1)当选择①②作为已知条件时，4ABD与4ACD全等吗?(填“全等”或“不全等”)，

理由是_________________________________

(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用列表或画树状图的方法求△ABD/4ACD的概率.

12.【问题呈现】

已知，△CAB和△CCE都是直角三角形，乙4cB=ZDCE=90。，CB=mCA,CE=mCD,连接4。,

BE,探究AD,BE的位置关系.

（1）如图1,当血=1时，直接写出AD,BE的位置关系：

（2）如图2,当小。1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

（3）【拓展应用】

当:m=AB=4小,QE=4时，将△CDE绕点C旋转，使4,D,E三点恰好在同一直线上,

求BE的长.

13.［知识链接］，“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，

通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.在探究平行四

边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的

平方和等于四边的平方和.请你根据学习小组的思路，完成下列问题：

图①图②图③

（1）［问题发现］:如图1,学习小组首先通过对特殊平行四边形—矩形（长方形）的研究发现在

矩形48CD中令4s=a,8C=6,则可求得/G+BD?：；（用°、6的式子表示）

（2）［问题探究］:如图2,学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般

平行四边形/BCD进行研究，如图：分别过点/、。作5c边的垂线，请你按照这种思路证明ZC+

BD2=2（AB2+5G）；

（3）［问题拓展］:如图3,在△ABC中，40是8c边上的中线，已知：4D=3,BC=8,（AB—AC）

2=10,请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求的值.

14.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图①中所示的“由直角三角形三边向外侧作多

边形，它们的面积Si,S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究：

(1)如图②，在RtaABC中,BC为斜边，分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作RtAABD,RtAACE,

RtABCF,若N1=N2=N3,则面积Si,S2,S3之间的关系式为

(2)如图③，在RL^ABC中，BC为斜边，分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意AABD,

△ACE,ABCF,满足N1=N2=N3,ZD=ZE=ZF,则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请

证明你的结论；若不成立，请说明理由.

15.阅读材料：若zu?—2zn+2n2—8n+16=0,求m、n的值.

解：".,m2-2mn+2n2—8n+16=0,(m2—2mn+n2)+(n2—8n+16)-0.

(m—n)2+(n-4)2=0,.,.m—n=0,n-4=0,.,.n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知/+4xy+5y2+6y+9=0,求x—y的值.

(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足a?—4a+2b2—46+6=0,求边c的值.

16.［实践与探究］

将AABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处，展开如图，

(1)［操作观察］图①中，AB=8,AC=6.

①BE=.

②若4ACD的面积是9,则4ABD的面积是.

(2)［理解应用］如图②，若NC=2NB,试说明：AB=AC+CD.

(3)［拓展延伸］如图③，若/BAC=60。，点G为AC的中点，且AG=5.点P是AD上的一个动点,

连结PG、PC,直接写出(PG+PC)2的最小值.

17.数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知△ABC中，AB=AC=m,BC=n,Z.BAC=a(0°<a<180°),点P为平面内不与点A、

C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a,得线段PD,E、F分别是CB、CD的中点，设

直线AP与直线EF相交所成的较小角为口，探究然的值和。的度数与m、n、a的关系，请你参与学习

小组的探究过程，并完成以下任务:

(1)填空：

【问题发现】

求出了嚣

小明研究了a=60。时，如图1,6=▲

小红研究了a=90。时，如图2,求出了钧=▲,§=▲

【类比探究】

他们又共同研究了a=120。时，如图3,也求出了胃;

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律：皆=▲(用含m、n的式子表示)；6=▲(用含a的

式子表不:).

(2)求出a=120。时第的值和0的度数.

r/I

18.如图

问题探究:

(1)如图①，已知线段AB=2,在AB的两侧分别作等边△ABC和RtAABD,且/ADB=90。，

CM、DM分别为两个三角形的中线，连接CD,则CD的最大值为；

(2)如图②，已知AABC,分别以AB为直角边在4ABC外侧作RtAABP,以AC为斜边在4ABC

外侧作Rt^ACQ,且NABP=NAQC=90。，NPAB=NCAQ=30。，连接PC、BQ,请求出雅的值;

(3)如图③，已知边长为a的正方形ABCD,点E是边CB延长线上一动点，连接AE、ED,请

问是否存在然的最小值？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由.

ED

19.问题探究

(1)【操作发现】

如图①，在等边△ABC中，点B,C在直线MN上，E为BC边上的一点，连接AE,并把线段

AE绕点E顺时针旋转60。得到线段EF,连接CF,则线段CF与BE的数量关系是,线段

CF与直线MN所夹锐角的度数是.

(2)【类比探究】

如图②，在正方形ABCD中，点B,C在直线MN上，E为直线MN上的任意一点，连接AE,

并把线段AE绕点E顺时针旋转90。得到线段EF,连接CF,试探究线段BE与CF的数量关系及线段

CF与直线MN所夹锐角的度数，并说明理由.

20.探究问题：

如图①，在正方形"BCD中，点E,尸分别为DC,8c边上的点，且满足NE4F=45。，连接ER

求证DE+BF=EF.

感悟解题方法，并完成下列填空:

将^ADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,此时AB与AD重合，由旋转可得:

AB=AD,BG=DE,Zl=Z2,AABG=ZD=90%

•••^ABG+^ABF=90°+90°=180°,

因此，点G,B,尸在同一条直线上.

•••Z.EAF=45°

•••N2+N3=ABAD-乙EMF=90°-45°-45°.

,:zl=z2,

・・.Z1+Z3=45°.

^^GAF=zA.

又4G=AE,AF^AF

△GA,F=▲.

・♦・____A_=EF,故+=

（2）方法迁移

如图②，将RtAABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,尸分别为。C,8c边上的点，且

Z.EAF^^DAB.试猜想DE,BF,斯之间有何数量关系，并证明你的猜想.

（3）问题拓展：

如图③，在四边形4BCD中，AB=AD,E,F分别为DC,5c上的点，满足为4F=W»4B,

试猜想当ZB与ZD满足什么关系时，可使得CE+BF=ET,请直接写出你的猜想（不必说明理由）.

21.【问题情境】

在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30。的三角板开展数学探究活动，两

块三角板分别记作AACB和△A'D'C,^ADB=^ADC=90°,ZB=ZC=3O。，设ZB=2.

【操作探究】

如图1,先将AADB和△力DC的边4。、4。'重合，再将AZDC绕着点A按顺那句"方向旋

转，旋转角为a(0。WaW360。)，旋转过程中△4DB保持不动，连接BC.

4(H)

(1)当a=60。时，BC=；当BC=2四时，a=°；

(2)当a=90。时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)如图2,取BC的中点F,将AZDC绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为.

22.【问题提出】如图1,在RM2BC中，乙4cB=90。，点E,F分别为边AC,BC的中点，将△EFC

绕点C顺时针旋转a((T<a<360。)，连接4E,BF,试探究4E,BF之间存在怎样的数量关系和位

置关系？

图1图2图3

(1)【特例探究】若AC=BC,将^EFC绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE,AC分

别交于点M,N.按以下思路完成填空(第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置

关系)：

-AC=BC,^E,F分别为边ZC,BC的中点，

・•.CE=CF.

,:Z.ACB=Z-ECF,

・••Z.ACE=Z.BCF.

：.》ACE丝4BCF().

・•・AEABF,^LCAE=乙CBF.

又•・•/LANM=(BNC,

・•・(AMN=乙BCN=90°.

AEABM.

(2)【猜想证明】若BC=nAC(n>1),AEFC绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF,

BC分别交于点M,N,猜想4E与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；

(3)【拓展运用】若4c=4,BC=6,将小EFC绕点C顺时针旋转a(0。<cr<360°),直线AE与

BF相交于点M,当以点C,E,M,F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长.

23.综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：

如图1,在AZBC中，AB=AC,ABAC=a,射线AD平分乙BAC,将射线AD绕点4逆时针旋转

a,得到射线Z,在射线I上取点E,使得AE=AB,连接BE分别交AD,AC于点M,N,连接CE.

问：“BE,ZAMN之间的数量关系是什么？线段DM,CN之间的数量关系是什么？

【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下:

甲同学：当a=60°时，如图2,通过探究可以发现，&AMN,AACE,AECN都是等腰三角形；

乙同学：可以证明AABMWA4EN,得到BM=EN；

丙同学：过点4做4F1MN,垂足为F,如图3,则FM=FN；

丁同学：可以证明ABOMAECN〜AAMN,则器=需，瑞=犒，…

(1)根据以上探究过程，得出结论：

①ZCBE,ZM4N之间的数量关系是;

②线段DM,CN之间的数量关系是.

(2)【类比探究】

“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当NB4C=a时，如图1,⑴中

的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由。

(3)【迁移应用】

“创新”小组的同学们改变了条件，当a=90°时，如图4,若射线AD是ZB4C的三等分角线，AB=

2V3+2,其他条件不变，请直接写出MN的长.

AA

N4I

DCBC

图4备用图

24.【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.

【动手操作】如图1，4c是正方形4BCD的对角线，点E是4c上的一个动点，过点E和5作等

腰直角AEFG,其中ZFEG=9O。，EF>AB,EG与射线DC交于点P.

请完成：

(1)试判断图1中的NBEC和NPEC的数量关系；

(2)当点尸在线段DC上时，求证：EP=BE.

(3)【类比操作】如图2,当点P在线段DC的延长线上时.EP=BE是否还成立?请判断并证明你

的结论.

25.动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘.

BDCB

如图1,是等腰直角三角形，4c=BC=4,N/C5=90。，将边48绕点3顺时针旋转90。

得到线段48，连接4C,过点©作交C3延长线于点D.

(1)在图1中：△45C的面积为；

(2)如图2,若△ZC3为任意直角三角形，NACB=90。.将边N3绕点8顺时针旋转90。得到线

段48,连接©C,过点4作，DLCS交C5延长线于点D.猜想三条线段/C、CD、/7)的数量关

系，并证明.

(3)如图3,在△/C3中，AB=AC=5,BC=6,将边4B绕点3顺时针旋转90。得到线段©8,

连接©C.

若点。是△ZC3的边5c的高线上的一动点，连接4。、D8,则4D+D5的最小值是

26.综合与探究

【问题情境】

数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘.老师出示了一个问题：如图1,在AABC中，

AB=AC,ZBAC=90°,点D是边BC上一点(0<BO<±BC),连接AD,将AABD绕着点A按逆

时针方向旋转，使AB与AC重合，得到4ACE.

(1)【操作探究】试判断4ADE的形状，并说明理由；

(2)【深入探究】希望小组受此启发，如图2,在线段CD上取一点F,使得NDAF=45。，连接

EF,发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；

(3)智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF,FD,DB三条线段也有一定的数量关系，请你

直接写出当CF=3,BD=2时DF的长.

27.如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC

中，C4=CB,ZC=90°,过点B作射线BD14B,垂足为B,点P在CB上.

如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转90。与BD交于点E,

根据题意在图中画出图形,图中NPBE的度数为度;

(2)【问题探究】

根据(1)所画图形，探究线段P4与PE的数量关系，并说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图③，若点P在射线CB上移动，将射线P4绕点P逆时针旋转90。与BD交于点E,探究线段

BA,BP,BE之间的数量关系，并说明理由.

28.【问题提出】如图1,在RtAZBC中，乙4cB=90。，点E,F分别为边AC,BC的中点，将△EFC

绕点C顺时针旋转殴0。<a<360。)，连接AE,BF,试探究AE,BF之间存在怎样的数量关系和位

置关系？

(1)【特例探究】若2C=BC,将△£1/(绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE,AC

分别交于点M,N.按以下思路完成填空(第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填

位置关系)：

'JAC=BC,E,F分别为AC,BC的中点，

：.CE=CF,

'：/-ACB=乙ECF,

."ACE=乙BCF,

/.△4CE三△BCF()

.,.AEBF,/-CAE=乙CBF,又,：乙ANM=乙BNC,

:.乙AMN=乙BCN=90°,

AAEBM.

(2)【猜想证明】若BC=nAC(n>1),AEFC绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF,

BC分别交于点M,N,猜想AE与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；

(3)【拓展运用】若4C=4,BC=6,将△EFC绕点C顺时针旋转a((T<a<360。)，直线AE,

BF相交于点M,当以点C,E,M,F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长.

29.胡老师的数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知AABC中，AB=AC=x,BC=y,ABAC=cr(0°<a<180°)，点P为平面内不

与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，连接CD、AP

点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为0,探究器的值

和。的度数与X、y、a的关系.

图1图2图3

请您参与学习小组的探究过程，并完成以下任务:

（1）填空:

【问题发现】

求出了器的值和B的度数分别为EF

小明研究了a=60。时，如图1,AP=

EF

小红研究了。时，如图求出了籍的值和B的度数分别为

a=902,AP=

【类比探究】

他们又共同研究了a=120。时,如图3,也求出了篇的值和B的度数;

【归纳总结】

EF

最后他们终于共同探究得出规律:（用含x、y的式子表示）；0=

AP

（用含a的式子表示）

（2）求出a=120。时等的值和8的度数（注：要求写出具体解题过程，否则得零分）.

30.数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三角尺放在正方形4BCD中,

使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两边CM,CN始终与正

方形的边ZD,4B所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得ACMN.

Cl）【探究一】

如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90。得到△CBH,同时得到点H在直线AB上.求证:NCNM=

乙CNH；

(2)【探究二】

在图②中，连接BD,分别交CM,CN于点、E,F.求证：ACEFFCNM；

(3)【探究三】

把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连接

4C交BD于点0,求需的值.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】V34

7.【答案】28或

8.【答案】8；8+2V2

9.【答案】(1)3

(2)3+3V2

io.【答案】(1)V10

(2)2V3

n.【答案】(1)全等；三边对应相等的两个三角形全等

(2)解：画树状图如下：

开始

②③①③①②

由树状图知：共有6种等可能情况，符合条件有①②，①③，②①，③①共4种,

二求4ABD会ZXACD的概率为?=4

o3

12.【答案】(1)BELAD

(2)解：成立.

理由如下：乙4cB=90。，

：./.DCA+/.ACE=/.ACE+乙ECB=90°.

A^DCA=乙ECB.

..D£_AC__1_

*CE~BC~m

ADCAECB.

，乙DAC=幺CBE.

VZGXB+^ABG=乙DAC+乙CAB+乙ABG=乙CBE+乙CAB+乙ABG=乙CAB+ZCBX=9O°,

：./.AGB=90°.

：.BE1AD；

(3)解：分两种情况：①当点E在线段AD上时，连接BE,如图所示.

D

设4E=x,则4D=4E+DE=K+4,

根据(2)可矢口，△DCAECB,

・BEBCw

'-AD=AC=m=y/3,

BE=取AD=V3(x+4)=V3x+4V3,

根据(2)可知，BELAD,

：.AAEB=90°,

根据勾股定理，得AE2+BE2=AB2,即久2+(V3x+4V3)2=(4A/7)2,

解得x=2或%=一8(舍去).

，此时BE=y/3x+4V3=6V3;

②当点D在线段AE上时，连接BE,如图所示：

设4D=y,则4E=AD+DE=y+4.

根据(2)可矢口，XDCAFECB,

.BEBC

••而=*=小

:.BE=WAD=V3y.

根据(2)可知，BEVAD,

J.^LAEB=90°,

根据勾股定理，得4E2+BE2=aB2,即(y+4)2+(V5y)2=(477)2,

解得y=4或y=—6(舍去)，

二止匕时BE=V3y=4V3.

综上所述，BE=6旧或4>/3.

13.【答案】(1)2aH2b2

(2)解：证明：如图②，作AELBC于E,DFLBC于F,

•；四边形ABCD是平行四边形，

.'.AB//DC,且AB=DC,

/.ZABE=ZDCF,

在4ABE和4DCF中，

'/.ABE=乙DCF

4AEB=乙DFC=90°,

.AB=DC

.二△ABE丝ADCF(AAS),

，AE=DF,BE=CF,

在Rt^ACE中，由勾股定理，可得

AC2=AE2+CE2=AE2+(BC-BE)2...©,

在Rt/XBDF中，由勾股定理，可得

BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=DF2+(BC+BE)

由①②，可得

AC2+BD2=AE2+DF2+2BC2+2BE2=2AE2+2BC2+2BE2,

在Rt^ABE中，由勾股定理，可得

AB2=AE2+BE2,

AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2；

(3)解：解：如图3,延长AD至点E,使AD=DE,

：AD是BC边上的中线,

；.BD=CD,

又：AD=DE,

四边形ABEC是平行四边形，

由(2)可得AE?+BC2=2AB2+2AC2,=2(AB-AC)2+4AB»AC,

VAE=2AD=6,

/.AE2=4AD2=36,

VBC=8,(AB-AC)2=10,

/.36+64=2xl0+4AB«AC,

.,.AB«AC=20.

14.【答案】⑴Si+S2=S3

(2)解：成立，理由如下，

VZl=Z2=Z3,/-D=Z.E=乙F,

•••△ABD^△BCF〜△CAE,

22

.S1_ABS2_AC

’3=必，腌=必’

S1+S2AB2+AC2

BC2'

■■ABAC=90°,

AB2+AC2=BC2,

.S1+S2_AB2+AC2_BC2_

"S3=_BC2-'

Si+S2=S3.

•••成立.

15.【答案】⑴解;Vx2+4xy+5y2+6y+9=0,

(x2+4xy+4.2)+(y2+6y+9)=0,

(%+2y)2+(y+3)2=0,

.*.%+2y=0,y+3=0,

•\x=6,y=—3,

/.x—y=6—(—3)=9.

(2)解：Va2-4a+2h2-4/)+6=0,

(a2—4a+4)+(2b2—4b+2)=0.

•••(ci-2)2+2(b—I)2=0,

/.a—2=0,b—1=0,

a=2,b=1,

V2-I<c<2+1,

1<c<3,

Ye为正整数，

c—2.

16.【答案】(1)2；12

(2)证明：由折叠可知，4AED丝4ACD,所以AC=AE,DE=CD,NAED=NC。

VZC=2ZB,

.\ZAED=2ZB,

又：ZAED=ZB+ZBDE,

ZB=ZBDE,

/.BE=DE,贝l」CD=DE

Z.AB=AE+BE=AC+CD

(3)75

17.【答案】(1)解：涧题发现］如图1,连接AE,PF,延长EF、AP交于点Q,

当a=60。时，AABC和APDC都是等边三角形，

.\ZPCD=ZACB=60°,PC=CD,AC=CB,

•••F、E分别是CD、BC的中点，

.CF_1CE_1

•屈=2'AC"2'

.CF_CE

•屈=宿

又：NACP=NECF,

/.△ACP^AECF,

.尊=4,ZCEF=ZCAP,

.,.ZQ=/?=ZACB=60°,

当a=90。时，4ABC和APDC都是等腰直角三角形,

如图2,连接AE,PF,延长EF、AP交于点Q,

.•.NPCD=NACB=45。，PC=^CD,AC=2^CB,

•；F、E分别是CD、BC的中点，

.CE_J_CF_J_

••泰-万PC~^2J

.CF_CE

"PC-XC,

又•.•NACP=NECF,

.♦.△ACPsAECF,

.懵=a=冬NCEF=NCAP,

・・・NQ=S=NACB=45。，

［归纳总结］

由止匕可归纳出空=空=乏=旦，g=ZACB=18QJ-a；

APACm2mj2

(2)解：当a=120。，连接AE,PF,延长EF、AP交于点Q,

・・・AE_LBC,ZCAE=60°

•••疝6。。啜=字,

同理可得：器=字,

.CE_CF

••衣—UF

.CE_CA

"CF-CP'

又•：NECF=NACP,

.♦.△PCAsAFCE,

.•.第=弟=字，ZCEF=ZCAP,

/ir/IC/

・・・NQ=S=NACB=30。.

18.【答案】(1)V3+1

(2)解：如图：

\,^.ABP=^AQC=90°,乙PAB=^CAQ30°,

△APBACQ,

.AP__AB_

"'AC~AQ

嚼造

VzPXB=^CAQ=30°,

：.^PAC=^BAQ,

：.△APC〜△4BQ,

.BQ_AB

^~PC~~AP

AB_43

\"ABP=90°,Z.PAB=30°,cosZ-PAB而=丁

・BQ_AB

••可=丽=T

(3)解：存在黑的最小值，理由如下：

以/。为直径作圆O,在圆上找一点F,使得ND4F=NE2B,连接BF

：.Z.AFD=^ABE=90°,

△ABEAFD,

・A.E_AB_AD

,•而=犷^AB=AF9

\9^DAF+匕BAD=乙EAB+^BAD,^Z-EAD=乙BAF,

△AEDABF,

.AE_AD_DE

9'AB=AF=^F

.AE_AB

,•现=丽’

9：AB=a,

・AE_a

^DE=BF

.•.当BF取得最大值时，售取得最小值，此时B、0、F三点共线,

ED

1

vxo=0D=OF=^a,

-BF=BO+OF=y/AB2+AO2+OF=孚a+ga=

.AE___a__a_2_

:-'DE~~BF~"+I-T5+i—2

-2~

.•错的最小值为与1.

19.【答案】（1）CF=BE；60°

(2)解：所夹锐角的度数为45。.

理由：在BA上取一点K,使得BK=BE.

V：四边形ABCD是正方形,

AZABC=90°,AB=BC,

・;BK=BE,

・・..AK=EC,NBKE=NBEK=45。

・・・NAKE=135。

NAEN=ZAEF+ZFEC=ZABC+ZEAK,

NAEF=NABC=90。，

JNEAB=NFEN,

•••△EAK之AFEC(SAS),

・・・EK=CF,NAKE=NFCE=135。，

・・・NFCN=1800-135o=45。.

又,.,EK>BE,ACF>BE.

20.【答案】(1)FAE\LEAF\GF

・・•将沿斜边翻折得至lU/DC,点E,F分别为DC,BC边上的点，^EAF=^DAB,

・•・zl+z2=z_3+z_5,z2+z3=zl+z5,

•・•z4=zl,

z.2+z.3=z.4+z.5,

・，・Z-GAF=Z-FAE,

•・•在△AGB和中，

Z4=zl

AB=AD,

JLABG=匕ADE

・•.△ZGB三△Z£D(ZSZ),

・•.AG-AE,BG—DE,

•・•在△4GF和中，

AG=AE

^LGAF=/,EAF,

.AF=AF

：^AGF=LAEF(SAS},

・•・GF=EF,

DE+BF=EF；

(3)当NB与乙D满足乙B+乙D=180。时，可使得+=

21.【答案】(1)2；30或210

(2)解：当a=90。时，如图所示：

'：AB=AC=2,

：-AD=AD'=^AB=1,

:・BD=CD=V22—l2=V3,

9：^DAD=a=90°,

XVzXDB=^ADC=90°,

・・・四边形4DED'是矩形，

AD=AD'，

・・・四边形4DED'是正方形，

：.AD=DE=DE=1,

:・BE=BD—DE=«—1,

-"-EF=BExtan^ABD=(遮—1)x字=1-孚,

ADAG=ADAD'-ACAD'=90°-60°=30°,

DG=ADxtanzZMG=1x字=字，

:*S四边形AGEF~^ABD-S&BEF—^ADG

1xlxV3-|x(l

2

V32芯一V31V3

23十人豆=1一丁

即两块三角板重叠部分图形的面积为1-孚.

(3)2兀

22.【答案】(1)边角边；=；1

(2)解：BF=nAE,AE1BF.

vCE=^AC,CF=*BC,BC=nAC,

・•.CF=nCE,

BCCFn

AC-CE-l-n，

•・•乙ACB=乙ECF=90°,

•••Z-BCF=Z.ACE,

・••△BCFs^ACE,

BFBC

：'AE=AC=n，

.・.BF=nAE,

•・•△BCFs^ACE,

•••Z-CBF=Z.CAE,

・・•乙BNM=乙ANC,

・•・乙BMN=乙ACN=90°,

即AE1BF；

(3)3旧+2或3b一2

23.【答案】(1)乙MAN=2乙CBE；CN=2DM

(2)(1)中的两个结论仍然成立，证明如下：

•••射线AD平分乙B2C,将射线AD绕点4逆时针旋转a,得到射线Z,

a

V乙BAD=Z.CAD=2，/.DAE=a

a

•••Z-CAE=Z-DAE—Z-CAD=q.

a

••・/.BAD=/.CAD=Z-DAE=于

,:AB—AE,

・•・2LABM=乙AEN.

••.△ABM=AAEN(ASA)

BM=EN,AM=AN.

•・•AB-AC—AE,

AMAN

又,；AMAN=乙CAE=p

MANCAE.

：.乙AMN=^ACE.

■：乙ANM=乙ENC,乙AMN=4ANM,

•••4AMN=4ANM=乙NCE=乙ENC.

.MECN〜AAMN.

EN_CN

'''AN=MN

过点4作AFIMN,垂足为F,如解图1所示，则FM=FN,AMAF=/.NAF.

■：Z-BMD=Z.AMF,乙BDM=Z.AFM=90°,

.•.ABDMAFM.

BM_DM

AM=TM乙MBD=Z.MAF.

：.乙MAN=24AMF=2"BE.

AM=AN,BM=EN,MN=2FM,

DM_CN_CN

即CN=2DM.

~FM='MN=2FM'

(3)2+孥或4a-2而

24.【答案】(1)解：ZBEC+ZPEC=90°

(2)解：证明：如图，过点E作EM1BC于M,EN1C。于N,则NEMC=NENC=ZMCN=90。,

四边形EMCN是矩形，

•••乙MEN=90°,又乙FEG=90。，

乙BEM+Z.MEC=乙PEN+乙MEC=90°,乙BEM=乙PEN

••・四边形ABC。是正方形，

••.2C平分NBCD(又EM1BC于M,EN1CD),:.EM=EN

又,：乙BME=APNE=9Q°,'.hBEMPENNASA),:.BE=EP；

(3)解：当点P在线段DC的延长线上时，EP=BE还成立.

理由：过点E作EMJ.BC于M,ENJ.C。于N,则四边形EMCN是矩形,

.\ZMEN=90°,

,?ZFEG=ZBEM+ZMEP=ZPEN+ZMEP=90°,

ZBEM=ZPEN,

二•四边形ABCD是正方形，

.'.AC平分/BCD,

'：EM1BC,EN1CD,

，EM=EN,ZBME=ZPNE=90°,

.,.△BEM^APEN(ASA),

.,.BE=EP.

25.【答案】(1)8

(2)解：CD=AC+A'D，证明如下：

•.•边AB绕点B顺时针旋转90。得到线段4B,

：.BA=AB,AABA=90°.

：.^CBA+^DBA=90°.

・・,乙4cB=90。,

・"G4B+“BZ=90。.

：.^DBA=乙CAB.

*：AD1CB,

：.^BDA=90°.

：.2LBDA=^ACB=90°.

：.^BDA=^ACBQAASy

：.AD=BC,BD=AC.

ACD=BD+BC=AC+AD.

(3)V109

26.【答案】(1)解：ZkADE为等腰直角三角形，理由如下:

由旋转得NDAE=NBAC,AD=AE,

VZBAC=90°,

AZDAE=90o,

•••△ADE为等腰直角三角形

(2)解：EF=DF,理由如下：

VZDAE=90°,ZDAF=45°,

JZEAF=ZDAE-ZDAF=45°.

AZEAF=ZDAF,

又・.・AF=AF,AD=AE,

AAAFE^AAFD(SAS),

・・・EF=DF；

(3)解：DF=V13

(2)解：PA=PE；理由如下:

连接AE,如图所示：

根据旋转可知，乙4PE=90。，

90°,

・・・Z、P、B、E四点共圆，

：.A.AEP=乙ABP=45°,

・"瓦4P=90。-45。=45。，

：.£.AE