2024年1月“七省联考”考前押题卷3试题+答案

2024年1月“七省联考”押题预测卷03

业/rJ”,

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合/=H（3x-4）（x-5）叫，3={心＜8},则-5=

)

A.(_*5]B.P5

2.设xeR,则“sinx=l"是"cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

3.已知非零向量"，B满足3=(右,1),(a,3)=(,若伍-可人，则向量［在向量』方向上的

投影向量为（）

B1c苧D.b

ab

4.形如」我们称为“二阶行列式”，规定运算d=aLbc，若在复平面上的一个点/

ca

z1-i

对应复数为Z,其中复数Z满足］+石1=1，则点/在复平面内对应坐标为（）

A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2)

5.已知圆G：X2+/+4X+3=0,圆C2：/+必—8X+12=0,下列直线中不能与圆G，C2同

时相切的是()_

A.y/3x+3)=0B.拒x-3〉=0

C.x+J35y+8=0D.x—J35y—8=0

6.若函数/(3)=25亩，0彳一^](0>0)在(0,兀)内恰好存在4个％,使得/(Xo)=l,则。的取

值范围为（）

7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的P尸棉滤

芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的尸尸棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是

多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层P尸棉滤芯可以过滤

掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒

杂质含量不超过2mg/L,则改棉滤芯的层数最少为（参考数据：坨2。0.30,lg3«0.48）

（）

A.9B.8C.7D.6

8.设°=1©05],b=sin《，c=,则a,b,c的大小关系为（）.

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.已知随机变量J服从二项分布：设77=24+1,则/的方差。（"）=3

B.数据1,3,5,7,9,11,13的第60百分位数为9

C.若样本数据芯,%，…,%”的平均数为2,则3%+2,3%+2,…,3%+2的平均数为8

D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是、

10.在正四棱台48。。一481G2中，48=3,4瓦=2,44]=友则（）

A.该正四棱台的体积为吆旦

6

B.直线44]与底面N8C。所成的角为60°

C,线段4。的长为10

D.以4为球心，且表面积为6兀的球与底面48。。相切

11.已知双曲线0=1,直线，：夕=h+加（左/±2）与双曲线有唯一的公共点眼过点〃且

与/垂直的直线分别交x轴、y轴于/（%,0）,8（0,九）两点.当点〃变化时，点尸（为,匕）之

变化.则下列结论中正确的是（）

k

12

A.k=m4-4B.y0=—x0

C.P点坐标可以是（7,几）D.有最大值1

12.已知函数/（x）,g（x）的定义域均为R,它们的导函数分别为了'⑴，g'（x）,且

〃x）+g（27）=5,g（x）-/（x-4）=3,若g（x+2）是偶函数，则下列正确的是（）.

A.g'（2）=0

B./(x)的最小正周期为4

C./(x+1)是奇函数

2024

D.g⑵=5,则£/(左)=2024

左=]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式(x-2)(l+x)"的展开式中，所有项系数和为-256,则/的系数为(用数字作

答).

14.随机变量J有3个不同的取值，且其分布列如下：

4sina4cosa2sin2a

j_j_

Pa

44

则的最小值为.

15.已知数列｛4｝满足%+2出+…+2而%,=〃2,记数列｛%-勿｝的前，项和为邑，若

S“<Ho对任意的〃eN*恒成立，则实数/的取值范围是.

16.已知正实数x,y满足)砂=lnx-lny,则J+lny的最小值为.

X

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(2/31

17.在AJLSC中，角4B,。的对边分别为a,b,c,sin2+sin25=sinC一——sinsin5sinC.

(1)求c；

(2)若。=2•，a=3b,点〃在边上，且NACD=NBCD,求力的长.

18.已知数列｛%｝的前“项和为S〃，且满足斗=一4，4=1.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2%,"为偶数

(2)设数列｛"｝满足”="“+2।/__2〃为奇数，求数列也｝的前2〃项和七•

,«„%+2'

19.如图，直三棱柱48C-43cl中，AASC为等腰直角三角形，CA=CB,E,尸分别是棱

上的点，平面跳下，平面48及4,〃是48的中点.

（1）证明：CM〃平面BE尸；

（2）若4c=4E=2,求平面5ER与平面Z5C所成锐二面角的余弦值.

20.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入

一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四

个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打

开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲

的选择之外的一个空箱子.

（1）计算主持人打开4号箱的概率；

（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还

是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）

21.已知椭圆公土+上-=1,椭圆上有四个动点4B,C,D,CDHAB,股与宽相交于P点.

164

（1）当4皮恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线与灰的斜率之积是否为定

值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；

（2）若点尸的坐标为（8,6）,求直线4?的斜率.

22.已知函数/(x)=ln(l+x),g(x)=tzx2+x.

(1)当。=1时,求证：/(x)Vg(x)；

(2)当x>-1时，/(x)<g(x)恒成立，求实数。的取值范围；

(3)已矢口加EN+,证明：sin」一+sin---+L+sin—<ln2.

〃+1〃+22n

2024年1月“七省联考”押题预测卷03

业/rJ”,

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合/=同（31）卜-5）叫，”{心<8},则如人（）

/<1「4J」3八「4八

A.（-℃,5]B.§,5C.-,4ID.y,4I

【答案】D

【解析]因为/={x|（3x—4）（x_5）W0}=1,5,3={x|2x<8}=（y,4）,

所以*4]

故选：D.

2.设xwR,则“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】A

【解析】因为sin.2x+cos2x=l可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±1,必要性不成立；

所以当XER,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知非零向量B满足3=（石,1）,（a,b）=^,若"可人，则向量3在向量[方向上的

投影向量为（）

A.-bB.-bC,—bD.b

422

【答案】A

【解析】因为(。一可，。，所以(。一可闺==0,

邛(—躯忖=0,又办=(百』)，所以同=’(退了+12=2,.•胴=1或同=0(舍去)，

所以Zj=/=i，

a，b717

所以3在加方向上的投影向量为同后力=1比

m4

故选：A

abab

4.形如，我们称为“二阶行列式”，规定运算,=ad-bc,若在复平面上的一个点4

caca

z1-i

对应复数为二，其中复数二满足，、,=i，则点4在复平面内对应坐标为()

1+211

A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2)

【答案】A

【解析】由题意可得：r-(l+2i)(l-i)=--(3+i)=i,

贝k=i+(3+i)=3+2i,

所以点/在复平面内对应坐标为(3,2).

故选：A.

5.已知圆G：X2+/+4X+3=0,圆。2：*2+F一8X+12=0,下列直线中不能与圆G,G同

时相切的是()

A.Gr+3y=0B.y/3x-3y=0

C.x+V35v+8=0D.x-V35v-8=0

【答案】D

2222

【解析】由题意知：C1：(x+2)+y=1,C2：(x-4)+y=4,

所以圆G的圆心为(-2,0),半径为1；圆G的圆心为(4,0),半径为2,

卜2制

对于A,圆G的圆心(-2,0)到直线的距离为4==与半.径相等，故满足相切条件,

卜阎

d

圆c2的圆心(4,0)到直线的距离为2=底)23,=2，'J华径相等，故也满足相切条件，

即直线6x+3y=0是两圆的一条公切线；

卜2网

对于B,圆G的圆心(-2,0)到直线的距离为4=I,T=1，与半径相等，故满足相切条件,

圆c的圆心（4,0）到直线的距离为办=㈣232=2，与半径相等，故也满足相切条件，

2J

即直线J§x-3y=0是两圆的一条公切线;

卜2+8|

对于C,圆G的圆心（-2,0）到直线的距离为&I与半径相等，故满足相切条件,

圆的圆心（4,0）到直线的距离为当

C2,与半径相等，故也满足相切条件,

即直线x+屈y+8=0是两圆的一条公切线；

,卜2-8|5

对于D,圆G的圆心（-2,0）到直线的距离为％一M（网2一3，不满足相切条件,

即直线x—J石了-8=0不可能是两圆的公切线；

故选：D.

6.若函数/(x)=2sin(ox-?)(0>O)在(0,冗)内恰好存在4个％,使得/(x0)=l,则。的取

值范围为()

-199)(1991\1外(79-

A，fB，匕5_|。［于义D.匕,2

【答案】B

/7T|JTJTJT5冗

【解析】令/(x)=2sincox--=1,贝ijox—-=—+2板或ox——二一+2MC,《EZ,

V3)3636

即ox='+2hr,或=—+2kit,keZ

26

7177r5兀19兀9瓦

故S可取一,

2

由于xe(0,7t),则<yxe(O,07t),

1QijrO1QO

要使在（o,冗）内恰好存在4个％,使得〃x0）=l,则＜的（解得

6262

故选：B

7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的尸产棉滤

芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的尸产棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是

多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤

掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒

杂质含量不超过2mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据：1g2Ho.30,lg3®0.48）

（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【解析】设经过〃层尸尸棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为了，则y=80x[l-g[=8°x[g]，

令80x[g[<2,解得[g)《圭，两边取常用对数得"Ig^Wlg:，即“Igg21g40

即〃(lg3—Ig2"l+21g2,因为lg2no.30,1g3ao.48,

on

所以(0.48-0.30)〃21.60,解得〃上券，因为〃eN*,所以〃的最小值为9.

故选：A

-

8.设4="^^0$^,b=sin,,Q—g5,则a,b,c的大小关系为().

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】设N/08=ae[o，W],作出单位圆，与x轴交于A点，则/。,0),

过点A作/C垂直于x轴，交射线。8于点C,连接48,过点3作轴于点D,

由三角函数定义可知ZC=tana,BD=sina,AB=a'

设扇形048的面积为d,则邑3C>E>S“BO，即:tana>；sintz,故

因为:e(0,g]，所以tan!>!>sin!,

J1乙JJJJ

又cos：>0,由tang〉(得sin[>(cos[,即入

令%<0,

则7''(1)=e=l,当x<0时，/,(x)=er-l<0,

故/(x)在(-8,0)上单调递减，

所以/1—gj>/(o)=o,所以

故c>b,

综上，a<b<c.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.已知随机变量J服从二项分布：J〜设〃=24+1,则〃的方差。(〃)=3

B.数据1,3,5,7,9,11,13的第60百分位数为9

C.若样本数据看,》2,…,x”的平均数为2,则3否+2,3%+2,…,3%+2的平均数为8

D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是、

【答案】BC

【解析】对于A,易知Q(3=8x：x1l-：=(而"2J+1,

所以。⑺=22x0团=6,A错误；

对于B,共有7个数据，而7x60%=4.2,故第60百分位数为9,B正确；

对于C,若样本数据占户2,…，%的平均数为2,

则3X1+2,3x?+2,---,3xn+2的平均数为3x2+2=8,C正确；

对于D,由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，

2

每个个体被抽到的概率都是五，D错误.

故选：BC

10.在正四棱台—44Goi中，AB=3,44=2,44]=友贝IJ()

A.该正四棱台的体积为吆2

6

B.直线44]与底面N8C。所成的角为60°

c.线段4c的长为10

D.以4为球心，且表面积为6兀的球与底面48C。相切

【答案】BD

【解析】连接/c,4C,过4作垂足为

因为48=3,4及=2,所以ZC=3后，4G=2后，

r-r-|>|3V2—2V2V2I2ATT2V6

所以/A〃TT=----------=——，A.H=JAA：-AH-=—,

22।।2

所以该正四棱台的体积％=竿X卜1+1AB2.A®+4用）=TR,A错误.

TAH1

直线44I与底面48。。所成的角为///〃，由COSN4/〃=77=J,所以N&4H=60。，B正

确.

4c=Jc“2+4H2=3V2-—+—=y/14,c错误

W2JI2,

设以4为球心，且表面积为67r的球的半径为22,则4位2=6兀，解得尺=半=477,

所以以4为球心，且表面积为6兀的球与底面,43。相切，D正确.

故选：BD.

11.己知双曲线x2-1-=i,直线/：y=h+7"(后力±2)与双曲线有唯一的公共点〃，过点"且

4

与/垂直的直线分别交X轴、y轴于/(x0,0),3(0,.%)两点.当点〃变化时，点尸(%,%)之

变化.则下列结论中正确的是()

k

727

A.k=111+4B.yQ=­x0

C.尸点坐标可以是(7,6)D.广一〒■有最大值±

【答案】ACD

2v2

Y2_—1

【解析】对于A,联立，4~消y可得(4—产)¥一2初战_7〃2-4=0,

V=Ax+m

直线与双曲线只有一个公共点，且左工±2,则A=0,

4^2W/2-4(4-A-2)(-7M2-4)=0,：.k2=m2+4.即选项A正确；

k/〃/—左2-4（k4

对于B,由方程可得x”=,则y=----+〃?=-------=——,----,---

初mmm\mrn

4\k\5k

则4B的直线方程为y+一二—工X+一,令y=o,X°=——,

rnk\inJm

令X=O,yQ=--9所以为二履0,即B错误；

m

对于C,则易知尸（一盘，一若——=y/6,则7〃=--,

\mm）m，6

7

产=高+4=孩，取左=京，_\_5x丹=7,即尸(7,灰)，所以C正确;

m飞

2

in2til_Z»2后2_(.24)(]k2)_-才4+5后2一4

对于D,可得—5---------2

-25—25k2-25k2~25k2

X。%25F

=一去+白+3T/+9A，当且仅当立=±五时'等号成立，即D正确;

故选：ACD

12.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,它们的导函数分别为了'(x),g'(x),且

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=3,若g(x+2)是偶函数，则下列正确的是().

A.g<2)=0

B./(x)的最小正周期为4

C./(x+1)是奇函数

2024

D.g(2)=5,贝1]Z/(左)=2024

【答案】ABD

【解析】A选项，g(x+2)为偶函数，故g(-x+2)=g(x+2),

两边求导得，-g'(-x+2)=g'(x+2),

令x=0得-g<2)=g<2),解得g，(2)=0,A正确；

B选项，因为/(x)+g(2-x)=5,g(-x+2)=g(x+2),

所以/(x)+g(x+2)=5①，

因为g(*)—/(x—4)=3,所以g(x+2)-/(x—2)=3②,

则①②相减得，/(x)+/(x-2)=2@,

X/(x-2)+/(x-4)=2@,

则③④相减得/(x)—/(x-4)=0,即〃x)=/(x—4),

又—2),故/(x)的最小正周期为4,B正确;

C选项，假如/(x+1)为奇函数，则/(—x+l)+/(x+l)=0,

当x=l时，可得/(0)+/(2)=0,

但/(X)+/(X-2)=2,当x=2可得/(2)+/(0)=2,

显然不满足要求，故/(x+1)不是奇函数，C错误；

D选项，因为/(x)+g(2-。=5,所以/(0)+g(2)=5,

又g⑵=5,故/(0)=0,

由B选项得〃x)+/(x—2)=2,故/(2)+〃0)=2,解得/(2)=2,

且/(3)+〃1)=2,

由B选项知/(X)的一个周期为4,故/(4)=/(0)=0,

所以〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2024

贝(左)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x4=2024,D正确.

k=[

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式(x-2)(l+x)"的展开式中，所有项系数和为-256,则f的系数为(用数字作

答).

【答案】-48

【解析】令x=l可得二项式(x-2)(1+%)"的所有项系数和为-20=-256,所以〃=8.

二项式(l+x)8的展开式的通项公式为7；+1=C/，，r=Q,b8,

所以(x-2)(1+x)n的展开式中，x2的系数为C；-2C；=-48.

故答案为：-48

14.随机变量占有3个不同的取值，且其分布列如下：

44sina4cosa2sin2a

Pa

44

则£《)的最小值为______,

【答案】[

【解析】依题意知,+工+。=1,则。=工，则£C)=sini+cosa+sin2。，

442

设，=sina+cosa=行sin(a+：

,贝Ufe|^_V2,V2J,

故sin2a=(sina+cosa)2-l=t2-1,所以£(J)=/+%-1=1+；

当"-ge[-后，行]时，E化)取最小值—；，

故答案为：-二

4

15.已知数列｛为｝满足%+2%+…+2"%”=n-T,记数列｛%-勿｝的前〃项和为邑,若

S“<E0对任意的〃eN*恒成立，则实数/的取值范围是.

…「121T

【答案】［TT何

【解析】由4+2%+…+214=〃-2",

当〃=1时，q=2,

1121

当〃22时，由q+2a?H----F2'cin=H,2"得a1+2a2~1----1~2〃dn_i=(〃-1),2〃,

两式相减并化简得%=〃+1(〃22),

生也符合上式，所以为=〃+1,

令〃=4〃一切=〃+1一切=（1一，）〃+1,

4+1-4=（1一。（〃+1）+1-[（1一，）〃+1]=1-，为常数，

所以数列出｝是等差数列，首项4=27,

「「Mo2-f+（l7）〃+l1-t23-t

所以S“=---------------XM=--n~+----n，

222

3-t

对称轴为石—3—t,

n----=-------

1-t2-2?

由于S“<Sw对任意的“eN*恒成立，

年<。

21211

所以，，解得二工三示，

9.5<-^<10,51110

〔2-2t

所以》的取值范围是.

故答案为：

16.已知正实数x,y满足ye"=lnx-lny,则J+ln）的最小值为—

x

【答案】e-l##-l+e

,AVyvx1m—x

【解析】由yex=lnx—Iny得歹v/=111一,即加工=2ln二=ln二-e>

设/。）=汨，则y（x）=/In-,=+,

Iy）

当/>-1时，/'⑺>0,所以〃/）在（一1,+8）上单调递增.

因为X,y均为正实数，所以"、=ln—>0,

y

yYY

由/（X）=/In—,可得x=ln_,即y=（x〉o）.

Vy）ye-

1—xY

由y=一；知，当Ovxvl时，y>0,y=不单调递增，

ee

当时，y<o,歹二三单调递减，所以y=彳£（o,‘.

eeIe」

e%]]]]

则\-]ny=——blny,O<y«—.g（u]=--\-]nu,0<u<—,

xyeue

则8'3=-4+,=可＜0,所以g(")在［o-］上单调递减，

uuuye_

所以g(")mM=gH=e—l,所以：+lny»e—l,即J+ln)的最小值为e-l.

故答案为：e—1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在445c中，角4B,。的对边分别为a,b,c,

sin2A+sin2B=sinC-----sinAsinBsinC.

I3J

(1)求a

(2)若c=2&i，a=3b,点〃在边熊上，^.ZACD=ZBCD,求切的长.

(2)

【答案】⑴Y1

【解析】(1)由已知借助正弦定理可得:

(26)

sin2A+sin2B=sinC-----sinAsinBsinC=>tz2+62=也—"abslnC,

33

7

2、h

即labcosC二-----absinC，即tanC=—A/3,

3

CG(0,71),故。=—;

3

(2)由余弦定理知/+9/-52=2b,3b6=2,

TT万

由S“BD+S„CAD=S^ABC知，-I6•CO•Sin々77+-13b-CD-sm-=-1b-3b-sin—2,

33

即CQ=—b=—.

42

18.已知数列｛%｝的前“项和为S〃，且满足S"一a",q=1.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2册，〃为偶数

⑵设数列也｝满足6"=1%+2an0不在将，求数列也｝的前2〃项和零”.

------1--------2,"为黄致

anan+2

4"+i-44n

【答案】(1)an=n(2)-——-+—

32«+1

〃+1

【解析】(1)因为s“=三一%,

“22时，S“T=2%T，

n

两式相减得

〃一1

生=2曳=3L*_n

«i'a22'，—1

相乘得。=〃，所以％,=〃（〃22）,

a\

当〃=1时符合上式，

所以4〃二〃；

2\〃为偶数

(2)b—<774-2n.4大姐，

n----+—^-2,〃为奇数

、〃ri+2

22(11

当〃为奇数时4=1+―+1——7-2=2一

n〃+2\n〃+2

1

^=22+24+---+22〃+21---1-----1--1----

W[3352w-l2/7+1

4（1—4”）4〃

1-42〃+1

4»i—44〃

=-----H-----.

32w+l

19.如图，直三棱柱43C-44G中，A45c为等腰直角三角形，CA=CB,E,尸分别是棱

明,。。1上的点，平面3£歹_1平面48片4,〃是48的中点.

（1）证明：CW〃平面AE产；

（2）若ZC=/E=2,求平面麻尸与平面4BC所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）逅

3

【解析】（1）过尸作即_LE3交BE于D,因为平面平面48与4,

平面AEFI平面4544=3E,

FDu平面BEF,则如J_3E，

.•.尸。_1平面4544，

•.•M"为中点，且。=C3,CMLAB,

又可，平面N5C,CMu平面4C,

/.AA1±CM,又AB,AA^u平面ABBXAi,

48c44,=月，CMJ_平面,

：.CM//FD,CM<Z平面跳下，FDu平面

:.CM//平面BEF.

(2)-.-CMf/DF,

：.可确定一平面CMDF,

CF/IAAX,CP6平面48四4,44u平面43片4

.•.CF〃平面48用4，CFu平面。/。尸，

平面CMDFc平面ABB^=MD,

:.CF//MD,

二四边形。位。尸为平行四边形，

AV

:.CF=MD=——=1

2

以C4,CB,CCi为x,y,z轴建系，

则5(0,2,0),E(2,0,2),尸(0,0,1),

设力=(x,y,二)为平面BEF的法向量，

而=(-20,-1)屈=。-2D，

ni•EF-02x+z=0

则〈一，即〈2,一二。’令x=l，贝仃=T，z=.2,

币,BF=Q

.-./«=(1,-1,-2)是平面BEF的一个法向量,

方=(0,0,1)为平面08C的一个法向量，

由伍小扁|冷

平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为立

3

20.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为L2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入

一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四

个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打

开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲

的选择之外的一个空箱子.

（1）计算主持人打开4号箱的概率；

（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还

是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）

【答案】（1）|（2）甲应该改选1号或3号箱.

【解析】（1）设4,4,4,4分别表示1，2,3,4号箱子里有奖品，

设司,功,员,4分别表示主持人打开1,2,3,4号箱子,

则。=4口4口4，且两两互斥.

由题意可知，事件的概率都是:，尸（见4）=；，尸（&4）=}尸（&4）=；，

尸（囱4）=0.

41A111Ai

由全概率公式，得？（4）=\＞（4产回=7-

i=i41/3，/J

（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱、2号箱、3号箱里有奖品的条件概率分别为

\B）d（4自）P（4）P（&4）一3

p（AJJ-p（Bj-P（Bj-8'

*IRP（4）P㈤4）/

r尸⑶-尸⑶-41

尸⑷刀”誓"一⑷”以）一

I7P（Bj尸（见）8

通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.

21.已知椭圆氏二+匕=1,椭圆上有四个动点4B,C,D,CD//AB,4）与宽相交于尸点.

164

（1）当4分恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线/〃与灰的斜率之积是否为定

值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；

（2）若点尸的坐标为（8,6）,求直线4?的斜率.

【答案】（1）是定值，定值为!（2）

43

【解析】（1）由题意知，a=4,b=2,所以4（0,2）,5（4,0）,所以心=

2

设直线5的方程为.y=—gx+/（，w2）,设。（演,必），C（x2,j2）,

（

X2V21

——+」=1

联立直线力与椭圆的方程164,整理得Xa一2氏+2，-8=0,

y=——x+7

I2

由A=4产一4（2产—8）＞0,解得-2亚＜，＜2五，且,工2,

2

则再+工2=21,xxx2=2t-8,

5-2加65-2）（-卜2+/）

所以4k

nADnBC

Xi