2024年高考数学真题重组卷3（新高考新题型专用）（新七省专用）（解析版）

冲刺2024年高考数学真题重组卷（新七省专用）

真题重组卷03

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1-i_

1.（2023新课标全国I卷）已知2=；；>——,则z-z=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

(l-i)(-i)-一2i一1-1

【详解】因为Z二07所以z=；i,即=故选：A.

2+212(l+i)(l-i)-4-2

2.（2023全国乙卷数学（理））设集合U=R,集合”={闻尤<1},N={x[-l<x<2},则{尤|xN2}=（）

A.屯”N)B.N

C.N）D.MRN

【答案】A

【详解】由题意可得MN={x|x<2},则N）={x|xN2},选项A正确;

^M={x\x>\],则Nl6M={x|x>—l},选项B错误;

M2V={x|-l<x<l},则e("cN)={x|x〈-l或x21},选项C错误；

^N={x|xW-l或x22},则MeN={x|x<l或xN2},选项D错误；故选：A.

1+75Of

3.（2023新课标全国II卷）已知a为锐角，cosa---------，贝人呜=（).

4

-1+百C3-A/5-I+A/5

A.B.D.

8844

【答案】D

【详解】因为cosa=l-2sin24=上@，而a为锐角,

24

解得：sin£=亚T.故选：D.

4

4.（2023•乙卷（文））正方形ABCD的边长是2,E1是的中点，则EC・ED=（）

A.A/5B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【解析】正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，

所以E3-£A=-1,EBLAD,EA1BC,BCAD=2x2=4,

贝！]EC-ED=(E2+2CHE4+AD)=E2-E4+E2-AD+EA-2C+2C-AD=-l+0+0+4=3.

故选：B.

5.(2023•新高考I)设函数/(x)=2，＜i)在区间(0,1)单调递减，则。的取值范围是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+8)

【答案】D

【解析】设f=x(x-a)=-—冰，对称轴为尤=0,抛物线开口向上，

2

；y=2'是/的增函数，，要使“幻在区间(0,1)单调递减，

则r=f一存在区间(0,1)单调递减，即4.」，即a.2,

2

故实数。的取值范围是[2,+00).故选：D.

6.(2023全国乙卷数学(文))已知等差数列也}的公差为高，集合S={cosqj〃wN*},若S={a,b\，则仍=

()

A.-1B.--C.0D.1

22

【答案】B

兀

【详解】依题意，等差数列依,}中,4—+(f号27r=争27r+@得2),

27r27r

显然函数y=cos[7〃+(q-彳)]的周期为3,而几eN"即cos。〃最多3个不同取值，又

{cos|〃cN*}={〃/},

贝!J在cos%,cosa2,cosa3中,cos%=cosa2wcosa3或cos%wcosa2=cosa3,

2冗2冗jr

于是有cos。=cos(夕+7)，即有6+(。+-^-)=2E,左£Z,解得。=而一耳,左EZ,

7一,,j71、,,71、4/CJ7T2i7T1

所以keZ,ab=cos(E——)cosr1(E——)d----J=-COS(AJI——)coskrn=-coskucos—=——.

故选：B

7.（2023全国乙卷数学（文））已知实数羽，满足尤2+V-4x-2y-4=0,则方一丁的最大值是（）

A.1+签B.4C.1+3亚D.7

【答案】C

【详解】法一：令无-＞=左，则无=A+y,

代入原式化简得2丁+（2左一6）y+Y—4左一4=0,

因为存在实数九则AW0,即（2无一6）2-4*2,2-4左一4）N0,

化简得人2-2左一17V0,解得1—30V左V1+30，

故云一，的最大值是3a+1，

法二：x2+j2-4x-2y-4=0,整理得（x-2）2+（,_球=9,

令x=3cosd+2,y=3sin6+l,其中6目0,2可，

贝I」x-y=3cosO-3sinO+l=30cos（夕+：）+1,

同0,2句，所以夕+不:号，则6+：=2兀，即”与时，工7取得最大值3应+1，

法三：由尤2+丁2-4》-2〉-4=0可得。-2）2+（＞-1）2=9,

12—1一人|

设x-y=左，则圆心至I］直线x-y=左的距离d=—万一＜3,

解得1-3应/V1+30故选：C.

8.（2023全国乙卷数学（理））已知圆锥P。的底面半径为百，0为底面圆心,出,尸2为圆锥的母线，ZAOB=120°,

若4加的面积等于为叵，则该圆锥的体积为（）

4

A.兀B.娓兀C.3nD.3函兀

【答案】B

【详解】在AO3中，ZAOB=120°,而0A=。8=6，取A3中点C,连接。C,PC,有。C_LAB,PC_LAB,

如图,

ZABO=30,OC=—,AB=2BC=3,由，的面积为晅，W-x3xPC=—,

2424

解得PC=¥，于是/°=Ue。-oc2=/半了_字=瓜,

所以圆锥的体积丫=；兀*。42*尸。=（兀*（6）2、后=遥兀.

故选：B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（2021新课标全国U卷）下列统计量中，能度量样本小%，-，％的离散程度的是（）

A.样本%,马,.,%的标准差B.样本占，%的中位数

C.样本看,9,•，%的极差D.样本国,%,-，%的平均数

【答案】AC

【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.

10.（2022新课标全国n卷）已知函数/（幻=$皿2》+0）（0＜9＜兀）的图像关于点《,01中心对称，则（）

A./⑴在区间（。，工）单调递减

B./1）在区间（若，詈］有两个极值点

C.直线X=:是曲线y=/（x）的对称轴

D.直线y=x是曲线＞=/（尤）的切线

2

【答案】AD

【解析】由题意得：+”=所以1+°=析，keZ,

471

即夕=一一§-+左兀,左£Z,

又。＜夕＜无，所以左=2时，中=个,故/（x）=sin（2x+

对A,当xe10,总时，+由正弦函数y=sina图象知y=/⑶在噌］上是单调递减;

对B,当xe'A，岩)时，2x+^eR,^j,由正弦函数y=sinz/图象知y="x)只有1个极值点，由

\J.乙I乙JJ\乙乙J

2x+笄名，解得x=1j,即尤=誉为函数的唯一极值点；

3乙1Z1，

对c,当x=q7IT时，2x+2,7?t=3兀，/(7冗q)=0,直线x=7：7r不是对称轴;

6366

对D,由y=2cos12x+g）=—l得：cosf2x+2K

5'

解得2x+]2亢=]27r+2E或2%+孑9jr=147i+2左兀次必

、71

从而得：x=E或x=§+E,左EZ,

所以函数y=/(x)在点卜,等)处的切线斜率为k=ME=2cosm=一1'

切线方程为：y-=-(x-0)B|Jy=-x-

故选：AD.

11.(2022新课标全国I卷)已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C:尤2=2处(p>0)上，过点8(0,-1)的

直线交C于P,。两点，贝IJ()

A.C的准线为y=-lB.直线A8与C相切

c.|op|-|oe|>|OA|2D.\BP\\BQ\>\BA^

【答案】BCD

【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2。，所以抛物线方程为炉=,，故准线方程为y=-；,A错误;

KB=与察=2,所以直线A3的方程为、=2尤-1,

1—0

fy=2x—1

联立j%2_y，可得%2一2%+1=0,解得％=1,故B正确；

设过5的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点,

所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁=丘-1,尸&,%),。(々,必)，

,\y=kx-l

联乂j尤2_y，得%2_^Y+]=0,

A=k2-4＞0

所以＜x1+x2=k,所以左＞2或左v—2,%%=（再9）2=1，

x{x2=1

乂|OP|=jH+y；=Jx+y；，|。。|=+'

所以|OP|•|OQ|=+%）Q+%）=帆xg=|口＞2=|Q4f,故C正确；

因为|BP|=Jl+AI,I，|BQ|=Vl+F\x2\,

所以|3尸|・|8。|=（1+石）|网%|=1+如＞5,miBA|2=5,故D正确.

故选：BCD

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2023•乙卷（理））已知｛〃〃｝为等比数列，々2。4a5=。3。6，佝%）=-8,则%=.

【答案】-2.

【解析】••等比数列｛4｝,

/.a2a4a5=a2a3a6=43a6，解得%=1，

l53

而=01ge12d—（%）2qi5=—8,可得q"=（^）=—8,

即d=—2,

%=%,^=]x（—2）=-2.

13.（2023新高考天津卷）在12V-的展开式中，/项的系数为.

【答案】60

【详解】展开式的通项公式Tk+l=C：（2//[-J1=（-球x26TxC：x尤f,

令18-4左=2可得，k=4,

贝I%2项的系数为（-1）4x26-4xC^=4x15=60.

14.（202卜新高考11）已知函数/（幻=|/-1|,看＜0,%＞。，函数/（无）的图象在点A（国，]（再））和点8（%，

/（电））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则喘^的取值范围是.

【答案】（0,1）

【解析】当x＜0时，f（x）=l-ex,导数为广（x）=-e

可得在点A.,1-/」)处的斜率为尢=-e"」，

切线AM的方程为,_(1_/」)=_/」(％_菁)，

令％=0,可得y=1-6“'+玉e"」，即M(O,1—e',+玉/」)，

当犬＞0时，f(x)=ex-1,导数为r(x)=e",

可得在点3(w，1)处的斜率为22=//,

x2x2

令1=0,可得y=e"?—1一%2然一2,BPN(0,e--1-x2e-),

由f(x)的图象在A,5处的切线相互垂直，可得桃2=-然‘•/'=-!,

即为石+々=0，玉＜0,x2＞0,

IAM|Jl+e?%(-再)Jl+e-

所以=3(0,1)

西T&+一了日

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明'证明过程及验算步骤。

15.(本小题满分13分)(2023•新高考D)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项

医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于C的人判

定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为0(C)；误诊率是将未患病者判定为

阳性的概率，记为q(C).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率。(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

(2)设函数/(c)=p(c)+q(c).当ce[95,105],求/(c)的解析式，并求/(c)在区间[95,

105]的最小值.

【解析】（1）当漏诊率p（c）=0.5%时,

则（c-95）•0002=0.5%,解得c=97.5；

q(c)=0.01x2.5+5x0.002=0.035=3.5%；

(2)当ce[95,100]时，

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)-0.002+(100-c)-0.01+5x0.002=-0.008c+0.82..0.02,

当ce(100,105]时，f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)-0.012+(105-c)-0.002=0.01c-0.98>0.02,

「-0.008c+0.82,95黜100

故/(c)=〈，

」[0.01c-0.98,100<c„105

所以，(c)的最小值为0.02.

16.(本小题满分15分)(新题型)已知椭圆C的中心为坐标原点，记C的左、右焦点分别为耳，F2,上下

顶点为耳，层，且△月4星是边长为2的等边三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若过点。（0,2）的直线与椭圆C交于M,N两点，且OM-ON>0，求直线MN斜率范围.

【解】（1）由题意知13四|=2,贝！|b=l；由1482b2,则。=2,

由题意知，直线"N的斜率存在且不为0,设其方程为>=丘+2,

y=kx+2

联立2，得(1+4左2)/+16区+12=0,

彳+>=i

由A=(16左y-4x(l+4左2b12=16(4左2-3)>0,得女?3

16k12

设M(占,％),N(x,y),贝i|玉+%=—-----,=-----7

221+4左2121+442

4.4%2

2

贝ljyxy2={kxx+2)(AX2+2)=kxxx2+2左(％+x2)+4=-—

因为OM-ON>0，所以％为+yy,=I2+4.4£=4（4-：）>0,EP<4,

1122

-1+4左2l+4k1+4/

：.^-<k2<4,则-2〈人〈一且或且〈人<2,

422

综上，斜率范围为1-2,-

17.（本小题满分15分）（2022•新高考I）如图，直三棱柱ABC-A用G的体积为4,△A^C的面积为2虚.

（1）求A到平面ABC的距离；

（2）设。为AC的中点，AAl=AB,平面ABC,平面AB4A，求二面角A—8D—C的正弦值.

14

【解析】（1）由直三棱柱ABC-A46的体积为4,可得KVMC二3981G一ABC=耳，

设A到平面A3C的距离为d,由匕「MC=%MBC，

，gS4BC,1=]，-X2A/2'd=->解得d=也.

（2）连接做交AB于点E,9=43,.•.四边形ABAA为正方形，

.-.AB.LAiB,又一平面ABC，平面AB及A，平面A^CC平面=4台，

AB]±平面A^BC,AB]1BC,

由直三棱柱ABC-A瓦G知2百，平面ABC,2瓦，BC,又AB.BBX=B{,

.•.JBC_L平面AB4A，:.BC±AB,

以3为坐标原点，BC,BA,B与所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

LIL]

AA^=AB,「.3C*xJ2ABX]=2,2,X—ABxBCxAA^=4,解得AS=5C==2,

则5(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),4(0,2,2),D(1,1,1),

则胡=(0,2,0),BD=(1,1,1),BC=(2,0,0),

设平面ABD的一个法向量为〃=(尤，y,z),

n•BA=2y=0

则<，令x=l,贝！Jy=。，z=-L,

n•BD=x+y+z=0

二.平面ABD的一个法向量为〃=(1,0,-1),

设平面3co的一个法向量为机=(a,b,c),

m-BC=2a=0

<,令b=\,贝！Ja=0,c=—lf

m•BD=a+b+c=0

平面5CD的一个法向量为根=(0,1,-1),

11

cos<n,m>=—=--==—,

v2,"\/22

二面角A——C的正弦值为Jl-(1)2=£.

18.(本小题满分17分)(2023•新高考II)(1)证明：当0<x<l时，x-尤2<sinx<x；参考答案

⑵已知函数/(%)=85办-例(1-12),若%=。为/(%)的极大值点，求〃的取值范围.

【解析】(1)证明：设g(x)=x—%2—sinx,尤£(0,1),

fff

则g(x)=l-2x-cosx9g(x)=-2+sinx<0,

g<x)在(0,1)上单调递减，

•••，⑴</(o)=o，

・•.g(x)在(0,1)上单调递减,

g(X)<g(。)=0，

即x-x2,-sinx<0,xe(0,l),

/.x-x2<sinx,XG(0,1),

设h(x)=x—sinx,xe(0,1),

贝ljhr(x)=l-cosx>0,

二.%(%)在(0,1)上单调递增，

/./z(x)>/z(0)=0,XG(0,1),

即x-sinx>0,xe(0,1),

.,.sinxvx,xG(0,1),

综合可得：当Ovxvl时，x-x2<sinx<x；

2兀2+2x2

(2)fr(x)=-asinaxH------f"(x)=-a2cosax+

l-x72(1-x2)2

且r(0)=0,r，(o)=-/+2,

①若"(x)=2-/>0,即-拒<a<0时,

易知存在％>0,使得xe(0,%)时,f"(x)>0,

广(x)在(0，G上单调递增，f'(x)>r(0)=0,

.•・A尤)在(0，G上单调递增，这显然与x=0为函数的极大值点相矛盾，故舍去；

②若r'(x)=2-〃<0,即应或a>夜时，

存在才2>0，使得xe(F，下时，f"(x)<Q,

.•.广(功在(-/2,G)上单调递减,又/'(0)=0,

.•.当T2Vx<0时，r(x)>0，/(X)单调递增；

当。<尤时，f'(x)<0,/(x)单调递减，满足x=0为f(x)的极大值点，符合题意；

③若尸(x)=2-〃=0,即4=±0时，〃尤)为偶函数，

只考虑。=夜的情况，

止匕时尸(x)=-J5sin(J5x)+二,xe(0,l)时，

1-x

2x1

r(x)>-2x+=2x(-l)>0,

:.7'(无)在(0,1)上单调递增，与显然与x=0为函数的极大值点相矛盾，故舍去.

综合可得：。的取值范围为(-00,-应)D(0,+oo).

19.(本小题满分17分)(新题型)已知定义域为R的函数网句满足：对于任意的xeR,都有

Tz(x+27t)=/z(x)+/?(27i),则称函数/z(x)具有性质p.

⑴判断函数y(x)=2x,g(x)=co族是否具有性质尸；(直接写出结论)

⑵已知函数/(x)=sin(0x+9)［：<0<：,|可〈,，判断是否存在。，。，使函数〃元)具有性质尸？若存在,

求出的值；若不存在，说明理由；

⑶设函数〃x)具有性质P,且在区间［0,2可上的值域为［〃