2024届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学试题及答案

乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测

数学（问卷）

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位量

上.

2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一

项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若复数z=上2,则彳=（）

2+1

2.命题“七>1,x>2”的否定是()

A.3x<1,x>2B.3x<1,x<2

C.Vx>1,x<2D.Vx>1,x>2

3.已知向量2=(1,2),3=(1,—3),则()

A.Q〃(Q+Z?)B.a〃(a-b)

C.a-L(a-b)D.a-L(a+b)

4.已知数列｛%｝满足%=1,a：］-a；=2,贝!J%=()

A.3B.2或—2C.3或—3D.2

5.(一一%+^『的展开式中//的系数为()

A.-30B.-20C.20D.30

TT

6.设抛物线C:/=2px(P〉0)的焦点为尸，过点/且倾斜角为一的直线与C交于48两点，以48为

直径的圆与准线/切于点M-1,2,则。的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

—►2—►1—►

7.在△45。中，AD=—AB+—AC,ZBAD=0,ACAD=23,则下列各式一定成立的是()

33

A.sin5=cossinCB.sinC=cossin5

C.sin5=sinsinCD.sinC=sin6^sin5

8.在满足2WX,Y%,xj的实数对=…中，使得%+%+…+y._]<15%成立的

正整数〃的最大位为()

A.15B.16C.22D.23

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sin(0x+e)[0,—的部分图像如图所示，则()

B.7(x)在(0,6)上有4个零点

C.\AB\=^

D.将〉=5由工的图祭向右平移2TF个单位，可得y=/(x)的图急

6

10.若函数/(x)的定义域为火，且/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),〃2)=—1,则()

A./(0)=0B./(x)为偶函数

C.7(x)的图象关于点(1,0)对称D.22/(z)=-1

1=1

11.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到

的，贝I()

A.该几何体的顶点数为12

B.该几何体的棱数为24

C.该几何体的表面积为(4800+800G)cm?

D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.已知集合/=｛（x,y）|x—y=l｝,5=｛（X,J）|（X-2）2+（V+3）2=9｝,则-8的子集个数为

13.在工业生产中轴承的直径服从N（3.0,0.0025）,购买者要求直径为3.0±£,不在这个范围的将被拒绝，

要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则£至少为；（若X〜N（〃Q2）,则

产（|X—〃|＜2CT）=0.9545）

22

14.设双曲线=-二=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为片，F2,/是右支上一点，满足/片，幺居，

ab

直线幺鸟交双曲线于另一点8,且怜片|—|/卬=2。，则双曲线离心率的一个值为.

四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明

过程或演算步骤.

15.（13分）设等比数列｛%,｝的前〃项和为S“，已知%+%=30，§4=45.

（I）求｛4｝的通项公式；

（II）设〃求也｝的前〃项和7；.

a”a,”i

16.（15分）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8,4.9,5.0,5.1.视力25.0为正常视

力.否则就是近视.某地区对学生视力与学习成结进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率

分布直方图：

（I）能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关？（不需说明理由）

（II）估计该地区近视学生学习成缆的第85百分位数；（精确到0.1）

（III）已知该地区学生的近视率为54%,学生成绩的优秀率为36%（成绩285分为优秀）,从该地区学生中

任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率.（以样本中的频率作为相应的概率）

17.（15分）如图，在四棱锥尸—45CD中，底面48CD为正方形，尸ZJ_平面48CD,PA=AB,点、

E,尸分别是棱尸8,3c的中点.

p

（I）求直线Zb与平面P8C所成角的正弦值；

（II）在截面ZEE内是否存在点G.使DG_L平面ZEE,并说明理由.

丫22/7

18.（17分）已知椭圆。：彳+==1（。>6>0）的离心率为点尸（0,2）在椭圆。上，过点尸的两条直

ab3

线P4,尸3分别与椭圆。交于另一点4B,且直线R4,PB,Z8的斜率满足

%+%=4如（七"0）・

（I）求椭圆。的方程；

（II）证明直线48过定点；

（皿）椭圆C的焦点分别为片，F2,求凸四边形片幺鸟8面积的取值范围.

19.（17分）已知函数/（x）=lnx+ax2-x+a+i.

（I）证明曲线;；=/（X）在X=1处的切线过原点；

（II）讨论/（X）的单调性；

（III）若/（x）We1求实数。的取值范围.

乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测

数学（答案）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.

1-4ACDC5-8ABBD

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.ABC10.BCD11.ABD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

5一

12.413.0.114.--或5

2

四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明

过程或演算步骤.

a,+%=30fa,+%=30

15.（13分）（I）由题设得24，故724,

S4=45[t/j+tz3=15

（x=21

因为数列｛%,｝为等比数列，所以数列仁_3,所以%=3X2"T；

（II）由（I）得&=」一

%%+1

n

1I-1

18421"211'T

所以＜=一1----

一27427544

4

16.（15分）（I）不能据此判断；

（II）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为7%+13%+20%+24%=64%,因此第85百分

85-6435

位数一定位于［90,100］内，由90+10义-=90+工。95.8,可以估计该地区近视学生的学习成绩

L」100-646

的第85百分位数约为95.8；

（III）设2=”该地区近视学生”，B="该地区优秀学生”，

由题设得尸=0.48,尸(Z)=0.54,尸(8)=0.36,

P(AB)P(B\A)P(A)0.48X0.54

所以尸（幺忸）==0.72.

P(B)—P(5)-_036~

17.（15分）（I）以Z为坐标原点，48的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Z-型,

不妨设48=2,则幺(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),£)(0,2,0),7(0,0,2),£(1,0,1),尸(2,1,0),

•=(2,1,0),丽=(—2,0,2),元=(0,2,0),

n-BP-0I—2x+2z=0

设平面尸AC的法向量万=(x,%z),贝।乂一，即＜,可取力=(1,0,1),

n-BC=012v=0

因为cos(n,AF)='.匕-=叵，所以ZE与平面PBC所成角的正弦值为—；

\n\-\AF\55

（II）假设截面NEE内存在点G满足条件，设下:=力衣+〃/，2>0,//>0,2+/z<l,

所以。G=£M+ZG=(/l+2〃,〃—2,/l),ZE=(1,0,1),AF=(2,1,0),

DG,AE=O2X+2〃=0

因为。GJ_平面4£尸，所以一一，所以."，解得＜

DGAF=O[22+5//-2=02

3

这与假设矛盾矛盾，所以不存在点G,使。G,平面ZEE.

b=2

is.（17分）（D由题设得，解得力=12,所以。的方程为土+工=1；

a3124

a1=b2+C1

（II）由题意可设/小y=丘+加（加w2）,设4（%口必）,川马，％），

y-kx+m

由＜W,整理得（1+3左2）/+6初+—12=0,

1124

A=36k2ml-4（1+3A:2）（3m2-12）=12（12yl2-m2+4）.

3--12_-6mk

mX]+x

由韦达定理得项/=；：3j2―1+3左2

,,,,,z„y,-2y,-2ankx,+m-2kx7+m-2.,

由左9+左.=4七B得以——+———=4k,即」-------+」--------=4左，

整理得2根左（机-2）=2（4-机，左，因为左NO,得机2-机-2=0,解得加=2或机=一1,

加=2时，直线48过定点尸（0,2）舍去;

加=—1时，满足A=36（4左2+1）＞0,所以直线48过定点（0,—1）.

（III）由（II）得直线J：了=丘-1，所以x=4（y+l）,

k"

1，1、

x=7（y+l）

+3卜+口+3-12=0,A=36

由＜，整理得0,

X9y91

——+—=1

〔124

由题意得'岬=系"一为=2亚瓦一闾=12正当一，

~庐+3

因为幻与=泰，所以左2〉/，所以0＜，＜8,令f+4,fe(2,2折,

所以SF、AFB=12亚――=12虚」y,在才e(2,273)上单调递减，

厂Tt--

t

所以邑加泗的范围是［专$，8五;•微信公众号：智慧学库

19.(17分)(I)由题设得/'(x)=』+2ax—l(x〉0),所以/'(1)=1+2a—1=2a,

X

又因为/(I)=。一1+。+1=2a,所以切点为(1,2a),斜率左=2Q,

所以切线方程为y—2Q=2Q(X—1),即V=2QX,恒过原点.

、+/、/日“、2a--x+1

(II)由(I)得/(、)=-----------(%>0),

x

_y1

①Q=0时，/'(%)=-----，

X

当(0,1)时,r(x)>0,/(X)在(0,1)上单调递增,

当X£(l,+oo)时，/(X)<0,/(X)在(1,+8)上单调递减;

②。>0时，A=1-8Q,时，A<0,/'(x)20,7(x)在(0,+oo)上单调递增，

8

八A/(八1一J1—8a)匕的、巾、圣J•品丹(1—J1—8a1+J1—8a)匕龄、巾吃1+

0<a<一时，A>0,/(x)在0,----------上单调递增，在----------,----------上单调递减，在

814QJ(4Q4Q,

1+J1-8a)L品、由、¥

----------,+oo上单调递增;

4a,

(1—Ji_8al(i_8a)

③。<0时，A>0,/(x)在0,--——上单调递增，在一-——,+oo上单调递减;

I4a)14aJ

(III)当x=l时，/(I)<e,即aW、,

下面证明当aW|•时，/(x)＜ex,

xG(0?+oo),即证Inx+M-x+a+lVe”,

令g(a)=(*+l)a+lnx—x—e*+1,因为％2+1>°,所以g(。)，只需证g1|JvO,

2x

即证+1nx_%―/+]+1<0,令h(x)=-1x+lnx-x-e+-1+l,A(l)=0,

/z'(x)—ex_cxH----],令加(x)=ex-cxH----],加'(x)=e_cx——,

X