2020年中考数学 压轴 圆的证明与计算

2020中考数学压轴专题圆的证明与计算(含答案)

1.如图，在"BC中，ZABC=90°,D是边AC上的一点，连接8。，使乙4=2/1,E

是BC上的一点，以BE为直径的。O经过点D.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若/A=60。，OO的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和兀)

第2题图

⑴证明：如解图，连接。。，

第2题解图

•：OB=OD,：.N1=NODB,

：.ZDOC=Z1+ZODB=2Z1,

XVZA=2Z1,：.ZDOC=ZA,

'：ZABC=90°,：.ZA+ZC=ZDOC+ZC=90°,

：.ZODC=9Q°,即OD±AC,

,.1点D在。。上，。。是半径，

；.AC是。。的切线；

(2)解：*?ZA=60°，,ZDOE=60°,/C=30。，

在RtAOCD中，。。=2,C£)=(9Z)tan60o=20,

_Q„_1r-60兀*22_0Q2

••S阴影=X0CD-S扇形0DE=p<2x2V3-=A/3-铲.

2.如图，点C在以AB为直径的。。上，AO与过点C的切线垂直，垂足为O,A。交。。

于点E.

⑴求证：AC平分NZMB;

(2)连接BE交AC于点F,若cosACAD-1，求性的值.

第2题图

(1)证明：连接0C,如解图①,

第2题解图①

・・・。是。。的切线，

：.OC±CD,

VAD1CD,

・•・OC//AD,

・•・ZDAC=ZOCA,

9：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

・•・ZDAC=ZOAC,

・・・AC平分NO"；

⑵解：如解图②，连接5C,

第2题解图②

VAB是。。的直径，

・・・ZACB=90。，

4

VcosZCAD=^/

设AD=4x,贝!]AC=5x,CD-3x,，tanND4c=-,

4

ZEBC=ZDAC,由（D得，ZBAC=ZDAC,

・•・ZEBC=ZBAC,

3

tanZEBC=tanZBAC=tanZDAC=]，

.CF_BC_3

,•BC-AC-4，

.BCCF_33

,•ACBC_4X4z

.—CF_——9,•.•—CF—_9—•.•A—F_—1—

"AC16AF7FC9'

3.如图，已知。。的直径CD=6,A,B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，

过A点作直线EF//BD,分别交CD、CB的延长线于点E,尸，A。与8。交于G点.

⑴求证：EF是。。的切线；

⑵求AE的长

(1)证明：：CD是。。的直径，.•.BO_LCB

;在平行四边形0ABe中,OA//CB,J.OALBD,

5L'：EF//BD,：.OALEF,

VOA是。。的半径，是。。的切线；

⑵解：；四边形0A8C是平行四边形，在。O中，。4=0C,

四边形0ABe是菱形,

如解图，连接0B，贝［|OB=0C=BC,

即小OBC是等边二角形.

：.ZC=60°,：.ZAOE=60°,

在R3A0E中,AE^AOtanZAOE-3yj3.

4.如图，在R3ABC中，NC=90。，以BC为直径的。。交AB于点。，切线。E交AC

于点E.

(1)求证：ZA=ZADE；

(2)若AO=16,DE=10,求8c的长.

第4题图

⑴证明：如解图，连接

•••。石是。。的切线，

：.ZODE=90°,

：.ZADE+ZBDO=90°.

*.*ZACB=90。，

・•・ZA+ZB=90。，

又・：OD=OB,

4B=4BDO,

ZA=ZADE；

⑵解：如解图，连接

第4题解图

ZADE=ZA,

:.AE=DE,

VBCBOO的直径,ZACB=90°,

EC是。。的切线，

:.DE=EC,

：.AE=EC,

又,：DE=10,

：.AC-2DE-20,

在RtAADC中，DC=.2。2-162=12,

设BD=x.

在RtABDC中，BC2=X2+122,

在RtAABC中,

BC2=(x+16)2-202,

：.X1+122=(X+16)2-202,

解得x=9,

:.BC=7122+92=15.

5.如图，已知AB是。。的直径，CO与。。相切于C,BE〃CO.

⑴求证：BC是/ABE的平分线；

⑵若OC=8,。0的半径。4=6,求CE的长.

第5题图

⑴证明：9：BE//C0,

：.ZOCB=ZEBC,

•；OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZOBC=ZEBC,

・・・是NA旗的平分线；

⑵解：设AD=x,则DO=x+6,

・・・。。是。。的切线，・・・CO_LCO,

・•・ZDCO=90°z

在RtAJ)CO中，^DC2+CO2=DO2,

：.82+62=(x+6)2,解得x=4,

：.DO=W,

・・〃.CEBO

,:CO〃BE1：.京-京,

.CE6.「万_24

8105,

6.如图，在△ANC中，A5=AC,以A5为直径的。。交AC边于点。，过点C作。/〃A3,

与过点B的切线交于点F,连接BD.

⑴求证：BD=BF；

(2)若4B=10,8=4,求5c的长.

第6题图

⑴证明：・・・5尸是。。的切线，

JZABF=90°,

'：CF//AB,

JN尸=90。，ZABC=ZFCB,

「AB是。。的直径，

JZADB=ZBDC=90°,

工ZF=ZBDC,

U：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

・•・ZACB=ZFCB,

在小BCD和小BCF中，

NF=ZBDC

|ZFCB=ZDCB,

^BC=BC

：.ABCD^ABCF(AAS),

：.BD=BF；

⑵解：\9AB=AC,AB=10,

：.AC=10,

VCZ)=4,

.9.AD=6,

在RtAADB中，由勾股定理得BD=q1。2-62=8,

在RtABCD中，由勾股定理得BC=yj82+42=4#,

：.BC的长为4下.

7.如图，在。。中，4C与双)是。。的直径，BELAC,CFLBD,垂足分别为E,F.

⑴四边形ABC。是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；

(2)求证：BE=CF.

第7题图

⑴解：四边形ABC。是矩形，理由如下：

•；AC与30是。。的直径，

ZABC=ZADC=90°,ZBAD=ZBCD=90°,

.••四边形A8CZ)是矩形；

⑵证照：,：BE±AC,CF±BD,

：./BEO=/CFO=90°,

在ABOE^UAco尸中，

ZBEO=/CFO

|ZBOE=ZCOF,

IOB=OC

：.ABOE^ACOF(AAS).

：.BE=CF.

8.如图，PB为。O的切线，8为切点，直线R9交。。于点&F.过点5作R9的垂线

BA,垂足为点。，交。。于点A,延长AO与。。交于点。，连接3c,AF.

⑴求证：直线以为。。的切线；

(2)若3C=6,tanF=^,求。。的半径.

第8题图

⑴证明：如解图，连接。B,

第8题解图

•；尸8是。。的切线，

ZPBO=90°,

OA=OB,BALPO于点D,

：.AD^BD,

点〃为A8的中点，即OP垂直平分AB,

・•・ZAOP=ZBOP,

在4出0和4PBO中，

OA=OB

|ZAOP=ZBOP,

[OP=OP

•・.△BAO之△P50(SAS),

・•・ZPAO=ZPBO=90°,

•・,O4为。。的半径，，直线以为。。的切线；

9

(2)解：：OA=OC,AD=BDrBC=6,

：・0D=,BC=3,

设AD=x,

贝[]tanF=^=',

DFDF2

：.DF-2x,：.OA^OF^2x-3,

在RtAAOD中，由勾股定理得(2x-3)2=X2+32,

解得X=4,X2=0(不合题意,舍去),

/.OA=2x-3=5,即。。的半径为5.

9.如图，AB是。。的直径，弦COLAB于点E,点尸在。。上，/1=/BCD.

(1)求证：CB//PD；

(2)若8c=3,sinZBPD，求°。的直径•

第9题图

⑴证明：：ZBPD=ZBCD,Zl=/BCD,

，N1=ZBPD,

：.CB//PD；

⑵解：如解图，连接AC,

第9题解图

*/AB是。。的直径,

ZACB=90°,

\UCD±AB,

・•・ZBPD=/CAB,

3

/.sinZBPD=sinZCAB=g，

即5H，

,:BC=3,

：.AB=5,

即。。的直径是5.

10.如图，AB是。。的直径，点尸是AB延长线上一点,PC切。O于点C,在线段PA上

截取PD=PC,连接CD并延长交。。于点E,连接BC、BE.

(1)求证：NABE=ZBCE；

⑵若。。的半径为|，BC=3,求tanNBEC的值•

第10题图

⑴证明：如解图，连接CO并延长交。O于点F,连接BF,^]ZBFC=ZBEC,ZFBC=90°.

第10题解图

*：PD=PC,

ZPDC=ZPCD.

・・,尸。切。。于点c,

・•・ZPCB+ZBCF=90°,

又ZBFC+ZBCF=90。，

ZPCB=ZBFC,

：.ZPCB=ZBEC.

ZABE=ZPDC-/BEC,ZBCE=ZPCD-ZPCB,

I.ZABE=ZBCE；

(2)解：VBC=3rCF=2OC=5r

・・・在RtABCF中，由勾月殳定理得，BF=yJcFz-BC?=4,

tanZBFC==4，

BF4

由(1)知NB尸。二ZBEC,

3

tanZBEC=tanZBFC=7

H.如图，AB是。O的直径，点C是。。上一点，A。和过点C的切线互相垂直，垂足为

。，直线。C与A8的延长线相交于点P,弦CE平分/ACB,交直径AB于点F,连接

BE.

⑴求证：AC平分/D4B；

(2)若tanZPCB=(，BE=5娘，求的长.

第11题图

⑴证明：如解图，连接0C,

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

是。。的切线，且AOLCZ),

：.ZOCP=ZD^90°,

：.OC//AD,

：.ZCAD=ZOCA=ZOAC,即AC平分ND48；

⑵解：如解图，连接AE,

第11题解图

•.•弦CE平分NACB,

ZACE=/BCE,

：.AE^BE,

:.AE=BE,

又是直径，

ZAEB=90°,AB=@BE=10,；.OB=OC=5,

,/ZPCB=APAC,NP=NP,

.PBBC

△APCBs/VAHC,赤=用，

2(_z/l

3・PB_BC_3

tanZ.PCB-tanNCAB=

PCCA4

设PB=3x,则PC=4x,

在RtAPOC中，根据勾股定理得，(3x+5),=(4X)2+52,

角军得X1=0,4=耳.

:>0".x=3，，PC=空.

又丁ZPCB=ZPAC,ZBCE=ZACF,

，ZPCB+ZBCE=ZPAC+ZACF,^ZPCF=ZPFC,

.120

：.PF=PC=—.

12.如图，已知ZXABC的边AB是。。的切线，切点为B,AC经过圆心。并与圆相交于点

D、C,过C作直线CE±AB,交AB的延长线于点E.

(1)求证：CB平分/ACE；

⑵若8E=3,CE=4,求。。的半径.

第12题图

(1)证明：如解图，连接OB,

第12题解图

「AB是。。的切线,

AOB±AB,

'：CELAB,

J.OB//CE,

AZ1=Z3,

OB=OC,

：.Z1=Z2,

AZ2=Z3,

・・・C5平分NAC5；

⑵如解图，连接5。，

9：CE±AB,

ZE=90°,

：.BC=\jBE2+CE2=#2+42=5,

•・・C。是。。的直径，

・・・ZDBC=90°z

ZE=ZDBC,

:.ADBCsABEC,

・CD_BC

^^C~CE'

:・BC2=CDCE,

•••。=弓=学’

,125

：.OC=^CD=-r>

Zo

的半径为2信5

13.如图，AB为。。的直径，直线CD切。。于点M,BELCD于点E.

(1)求证：ZBME=/MAB；

⑵若=y,sinZBAM,求。°的半径.

第13题图

(1)证明：如解图，连接。

，直线CD切。。于点M,

：.NOMD=90°,

第13题解图

ZBME+ZOMB=90°,

为。。的直径，

NAMB=90°,

・•・ZAMO+ZOMB=90°z

・•・ZBME=ZAMO.

9：OA=OM,

ZMAB=ZAMO.

：.ZBME=ZMAB；

(2)解：由⑴可得，ZBM