专题6.3等比数列-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第六章数列专题6.3等比数列1.理解等比数列的概念.n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．考点一等比数列基本量的运算考点二等比数列的判定与证明考点三等比数列的性质知识梳理1．等比数列有关的概念(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，即G2＝xy.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N+.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))也是等比数列(b，p，q≠0)．(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减．第一部分核心典例题型一等比数列基本量的运算1．若为实数，数列﹣1，，﹣25是等比数列，则的值为（

）A．5 B．﹣5 C． D．﹣10【答案】B【详解】解：根据题意，设该数列的公比为q，则有，联立可得：.故选：B．2．已知等比数列的各项均为正数，若，，则（

）A． B． C．27 D．【答案】D【详解】设的公比为，则，，．因为，所以，因为，所以，所以．因为的各项均为正数，所以．因为，所以．故选：D3．在等比数列中，，则其公比q的值为（

）A． B． C．1或 D．﹣1或【答案】C【详解】∵在等比数列中，，∴当时，成立；当q≠1时，，整理得，解得或（舍），其公比的值为1或故选：C.4．在等比数列中，，，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以由，因此，故选：A5．记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（

）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，整理得，则，解得，所以.故选：A.题型二等比数列的判定与证明满足，.给出下列四个结论：①存在，使得，，成等差数列；②存在，使得，，成等比数列；③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；④存在正整数，且，使得.其中所有正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】对于①，由题意得，故成等差数列，故①正确，对于②，由递推公式可知，，中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误，对于③，，故当时，对任意，，，成等差数列；故③正确，对于④，依次写出数列中的项为，可得，故④正确，故选：C7．数列的前n项和，则（

）A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列【答案】D【详解】当时，；当时，，检验：将代入上式，则，则数列的通项公式，由，，即，则数列不是等比数列；由，，即，则数列不是等差数列.故选：D.8．已知数列的通项公式为，则数列是（

）A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列【答案】A【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.故选：A9．已知数列的前n项和（，，q为非零常数），则数列为（）A．等差数列 B．等比数列C．既不是等差数列，也不是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列【答案】C【详解】当时，，当时，，所以，所以（，q为非零常数），又由，可得，解之得，则，则数列的通项公式为所以数列从第二项起为等比数列，，，则，故以数列既不是等差数列，也不是等比数列故选：C10．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（

）A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列【答案】B【详解】数列是等差数列，设公差为，选项A，数列是等差数列，那么为常数，又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），此时，，则为常数，故数列一定是等差数列，所以该选项正确；选项D，，则，当时，，此时数列可能是常数数列，故该选项正确.故选：B.题型三等比数列的性质11．已知等比数列中，，则（

）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】C【详解】依题意.故选：C12．在各项均为正数的等比数列中，，则（

）A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】A【详解】因为等比数列各项都是正数，，所以，当且仅当时，取等号，所以有最小值12，无最大值.故选：A.13．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【详解】因为是等比数列，所以，所以，所以，，成等比数列，因为是等差数列，所以，，成等差数列，又，，成等差数列，所以，，是等比数列也是等差数列，所以，，是常数列，即，所以，因此.故选：C14．已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（

）A．1或 B．1或 C．2或 D．或【答案】B【详解】设等比数列的公比为，由，，成等差数列可得，，即，化简得，解得或.又，所以，.当时，；当时，．故选：B．15．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（

）A．90 B．135 C．150 D．180【答案】C【详解】由题意，在等比数列中，，由等比数列前n项和的性质可得，，，成等比数列，∴有，即，整理可得，解得（舍）或，∵，∴有，解得，故选：C.第二部分课堂达标一、单选题1．在等比数列中，，，则首项等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【详解】，，，.故选：C2．设是等比数列，且，，则（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】C【详解】在等比数列中，设公比为，∵，，∴，∴，故选：C.3．设为公比为的等比数列的前项和，且，则（

）A． B．2 C．或 D．或2【答案】D【详解】由题意得：，因为，所以，所以，解得或．故选：D4．已知等比数列的公比为2，前项和为.若，则（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】A【详解】依题意，所以.故选：A5．设为等比数列的前项和，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】设等比数列的公比为，因为，则，因为，可得，解得或，则当时，此时，；当时，此时，.故或.故选：D.6．设为等比数列的前项和，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【详解】解：设公比为，由题意可得，且，∴，解得或，∴，故或.故选：C.7．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【详解】设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.易知，所以,故.故选:A.8．已知等比数列的前n项和为．若，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，解得，，当时，，两式相减得，即，且满足上式，故，所以等比数列的首项为1，公比为2，又，则、、、…、构成首项为1，公比为16的等比数列，故．故选：C二、多选题9．在数列中，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】因为，所以，所以为等差数列，且首项为，公差为1，所以，所以，所以，两边同乘以2，得，两式相减，得，所以.故选：AD.10．已知为各项为正数的等比数列，，.记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（

）A．数列的公比为2 B．C．数列为等差数列 D．数列的前项和为【答案】ABC【详解】对于A：已知数列为各项为正数的等比数列，，所以，解得；故A正确；对于B：由条件得：，所以，故也为等比数列，且公比为4，故，，所以，故B正确；对于C：由于（常数），故C正确；对于D:，故，故D错误．故选：ABC．三、填空题11．在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则.【答案】32【详解】因为成等差数列，成等比数列，所以成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列，所以可得的前8项为0，2，4，8，12，18，24，32.故答案为：3212．已知数列满足以下规律：，，，，，，…，，…，，，，…，，…，数列的前n项和为，则．【答案】/【详解】根据题意，各分母相同的项的个数分别为，所以项数之和为，令，解得，数列，所以．故答案为：.四、解答题13．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，试求的公比．【详解】设等比数列的公比为.因为，，成等差数列，所以，，整理可得，即.14．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，(1)若，求数列的通项公式；(2)若，求【详解】（1）设的公差为，的公比为，由，得，又，得，与联立，解得（舍去）或d=−1q=2，因此数列的通项公式为.（2）由，得，解得或，当时，由得，则，当时，由得，则，综上，或.15．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）．(1)当时，求、的值；(2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由．【详解