人教A版选择性必修时等差数列的概念与通项公式课件

4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第一课时等差数列的概念与通项公式学习目标1.通过生活中的实例,理解等差数列、等差中项的概念,发展数学抽象的核心素养.2.掌握等差数列的通项公式,体会等差数列与一元一次函数的关系,增强逻辑推理、数学运算的核心素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究[问题1]观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯,例如,2017年是鸡年,从2017年开始,鸡年的年份为2017,2029,2041,2053,2065,2077,…;①我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示,常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265,260,255,250,…;②2022年1月中,每个星期日的日期为2,9,16,23,30.③以上数列①②③有什么共同的特点?提示:从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数.知识探究1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于

常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的

,公差通常用字母

表示.同一个公差dABC[问题2]由等差数列的定义可知,如果1,x,3这三个数是等差数列,你能求出x的值吗?提示:由定义可知x-1=3-x,即2x=1+3,x=2.2.等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,

叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=

.Aa+b解析:由题知,2m=1+5=6,m=3.故选C.C[问题3]在等差数列{an}中,a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,能不能用a1与d表示an呢?怎样表示?提示:把各式相加可得an-a1=(n-1)d,移项得an=a1+(n-1)d.3.等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d.an+1-an递推公式通项公式

=dan=

(n∈N*)a1+(n-1)d[思考]等差数列与一次函数有什么关系?提示:(1)公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上.(2)任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b,f(2)=2k+b,…,f(n)=nk+b,构成一个等差数列{nk+b},其首项为(k+b),公差为k.解析:(1)因为an-an-1=2n+5-(2n+3)=2,所以{an}是公差为2的等差数列.故选A.[做一做3](1)已知数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列(

)A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列答案:(1)A解析:(2)an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.(2)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为an=

.

答案:(2)3n-1师生互动·合作探究[例1]在等差数列{an}中,(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;探究点一等差数列的通项公式及应用解:(1)a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;解:(2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n-1)=21,解得n=10.解:(3)由a6=a1+5d得12+5d=27,解得d=3.[例1]在等差数列{an}中,(3)已知a1=12,a6=27,求d;方法总结等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项a1和公差d确定,所以要求等差数列的通项公式,只需运用方程思想求出首项a1与公差d即可.(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,通常称之为“知三求一”.[例2]四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.探究点二等差中项及应用解:法一设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.方法总结(1)由等差数列的定义知an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*),即2an=an-1+an+1,从而由等差中项的定义可知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)三个数或四个数成等差数列的设法:当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解.方法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.[针对训练]已知三个数成等差数列,且是递增数列,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.[例3](1)已知数列{an}是等差数列,设bn=2an+3,求证:数列{bn}也是等差数列;探究点三等差数列的判断(1)证明:因为数列{an}是等差数列,可设其公差为d,则an+1-an=d.从而bn+1-bn=(2an+1+3)-(2an+3)=2(an+1-an)=2d,它是一个与n无关的常数,所以数列{bn}是等差数列.方法总结等差数列的判定方法有以下三种:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列.(3)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.(1)试证明数列{bn}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.[针对训练2]已知数列{an}满足a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n≥2,n∈N*),试判断数列{an}是不是等差数列.备用例题[例1](1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m与n的等差中项是

;

答案:3(2)在-1与7之间顺次插入三个数,使这五个数成等差数列,求此数列.[例3]数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*).(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;[例3]数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*).(2)是否存在实数λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求其通项公式;若不存在,请说明理由.解:(2)不存在.因为a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,所以a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2,即2+2λ2-10λ+16=2(2λ-4),所以λ2-7λ+13=0.因为Δ=49-4×13<0,所以方程无实数解,所以λ不存在,即不存在实数λ使{an}为等差数列.当堂检测ABD1.(多选题)下列数列中,是等差数列的是(

)A.1,4,7,10B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22D.10,8,6,4,2解析:A,B,D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.故选ABD.2.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(

)A.26 B.29 C.39 D.52C解析:因为5,x,y,z,21成等差数列,所以y既是5和21的等差中项,也是