数学（北师大版选修2-3）课件1.1.2第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用

第一章计数原理§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.2分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用组数问题

8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个，有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．[互动探究]

在例1中将条件“8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字”，改为“4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7”．问可组成多少个不同的三位数？解：要组成三位数，根据百位、十位、个位应分三步．第一步：百位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步乘法计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．【点评】数字问题的解决方法及注意事项方法：对于组数问题，可从数位入手，逐位探究可能的选取方法，再利用两个原理计算．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．注意事项：解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的原则．1．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(

)A．8

B．24C．48 D．120解析：要完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，需分以下4步．第一步：确定个位数字，可以从2和4中选1个，有2种选法；第二步：确定十位数字，可以从余下的4个数字中任取1个，有4种选法；第三步：确定百位数字，可以从余下的3个数字中任取1个，有3种选法；第四步：确定千位数字，可以从余下的2个数字中任取1个，有2种选法．根据乘法原理知符合题意的四位偶数共有2×4×3×2＝48个．故选C．答案：C简单的选(抽)取问题【点评】解决简单的选(抽)取问题的方法对于选(抽)取问题，一般带有某些限制条件，其解答方法是：(1)当数目不大时，可用枚举法．为保证不重不漏，可用树形图法、框图法及表格法进行枚举．(2)当数目较大时，符合条件的情况较多时，可用间接法计数．但一般还是根据选(抽)顺序分步，根据选(抽)元素特点分类，利用两个计数原理进行解决．2．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有(

)A．16种 B．18种C．37种 D．48种解析：方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类．第一类：三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类：有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9种；第三类：有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27种．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37种．方法二(间接法)先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即不同的分配方案有4×4×4—3×3×3＝37种．答案：C

如图，用5种不同的颜料给4块区域(A，B，C，D)涂色，要求共边两块区域颜色互异，则有多少种不同的涂色方案？涂色问题解：方法一按涂色种类进行分类．第一类：涂4种颜色．接下来分步，分四步：A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有2种涂法．∴共有5×4×3×2＝120种．第二类：涂3种颜色，则A，C颜色相同或B，D颜色相同．若A，C颜色相同，有5种涂法；B有4种涂法，D有3种涂法．∴共有5×4×3＝60种．若B，D颜色相同，同理也有60种不同涂法．∴共有60＋60＝120种．第三类：涂2种颜色，则A，C颜色相同且B，D颜色也相同．∴A，C有5种涂色方法，B，D有4种涂色方法．∴共有5×4＝20种．根据分类加法计数原理，共有120＋120＋20＝260种不同涂色方案．方法二按A，C颜色相同或不同进行分类．(1)若A，C颜色相同：A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，故共有5×4×4＝80种．(2)若A，C颜色不同：A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D有3种涂色方法，故共有5×4×3×3＝180种．∴根据分类加法计数原理，共有80＋180＝260种．∴共有260种不同的涂色方案．【点评】这里涉及的是简单的涂色问题，根据不同要求可以采用分类法或分步法，一般两种方法会同时运用，因此，一定要处理好“类中有步”，“步中有类”的关系．3．将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：给区域标上记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有1种，但E区域的涂色依赖于B与D的颜色(B与D颜色相同；B与D颜色不相同)，因此应先分类后分步．当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．1．分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．2．应用分类加法计数原理