福建省龙岩市高三下学期教学质量检查(4月)数学（文）试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，为虚数单位，若，则在复平面内复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数，则函数的图象是（）4．党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013年至2016年4年间，累计脱贫5564万人，2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地3000户家庭的2017年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为，则年收入不超过6万的家庭大约为（）A．900户B．600户C．300户D．150户5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为6，5，1，则输出的结果为（）A．B．C．D．方程没有实数根7．如果函数的图象关于直线对称，那么该函数的最大值为（）A．B．2C．D．38．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B.C.D.9．已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（）A．B．C．D．10．如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切，则球的半径最大时，球的体积是（）A．B．C．D．11．已知为抛物线准线上一点，过点作抛物线的切线，若切线的斜率为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．12．设函数.若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，若，则.14．已知点在直线上，则圆锥曲线：的离心率为.15．已知实数满足，则的最大值为.16．在锐角三角形中，，的对边长分别是，则的取值范围为.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知正项等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．2017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.（1）求获得台历是三人中至少有一人的红包超过5元的概率；（2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数与商家每天的净利润元，得到7组数据，如表所示，并作出了散点图.（i）直接根据散点图判断，与哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.（的值取整数）（ii）根据（i）的判断，建立关于的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天的净利润.参考数据：22.86194.29268.863484.29附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.19．如图，平面，平面，分别为上的点，且.（1）求证：平面；（2）若是边长为2的正三角形，，平面平面，求四面体的体积.20．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上.不过原点的直线与椭圆交于两点，且（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.21．已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）若函数有两个极值点，且，证明：.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设，直线的参数方程是（为参数），已知与圆交于两点，且，求的普通方程.23．选修45：不等式选讲已知函数.（1）时，求不等式的解集；（2）若函数的图象恒在直线的图象的上方（无公共点），求实数的取值范围.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112选项CDDAACBDDBBA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．15．16．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，可得，∴，∴.又，∴，∴.∵数列是等比数列，∴公比，∴数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴数列的前项和＝18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为，不足5元的三人分别记为，从这5名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下：，共10种.其中至少有一人的红包超过5元的是前9种情况，所以.（Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择作为每天的净利润的回归方程类型比较适合.（ⅱ）由最小二乘法求得系数，所以所以关于的回归方程为.当时，商家当天的净利润元，故使用支付宝付款的人数增加到35时，预计商家当天的净利润为352元.19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：∵平面，∴.又平面，∴，又，∴平面.（3分）又，∴平面，∴………………4分∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）取的中点，连接.∵为正三角形，∴，∵平面平面，且平面∩平面，∴平面.又平面，∴.又，∴，∴平面，即.∵平面，∴，且，∴四边形为矩形，∴，∴，故四面体的体积为.20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，又，∴，∴.又点在椭圆上，∴，即，∴，则，∴椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，∵分别为椭圆上的两点，且，即，∴直线的方程为.设，把代入椭圆：，得，∴，同理，∴，∴当直线中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，此时.综上所述，为定值.21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，得：设函数当时，即时，，，所以函数在上单调递增.当时，即时，令得，，当时，即时，在上，，;在上，，.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.当时，即时，在上，，;在上，，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）证明：∵函数有两个极值点，且，∴有两个不同的正根，∴∴.欲证明，即证明，∵，∴证明成立，等价于证明成立.∵，∴.设函数，求导可得.易知在上恒成立，即在上单调递增，∴，即在上恒成立，∴函数有两个极值点，且时，.22．解：（Ⅰ）将代入圆的极坐标方程，得，化为圆的标准方程为.（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程中，化简得，设两点所对应的参数分别为，由韦达定理知①∴同号又∵，∴②由①②可