浙江省金华市2023-2024学年高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析

浙江省金华市2023-2024学年高一下数学期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30° B．45° C．60° D．90°2．某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（）A．20 B．25 C．30 D．353．在等差数列中，，是方程的两个根，则的前14项和为（）A．55 B．60 C．65 D．704．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A． B． C． D．5．若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（）A． B． C． D．6．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12π B．45π C．57π D．81π7．已知数列的前项和为，且，则()A． B． C． D．8．已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值为（）A．13 B．3 C． D．9．已知圆：及直线：，当直线被截得的弦长为时，则等于（）A． B． C． D．10．数列，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．经过两圆和的交点的直线方程为______．12．在数列中，，当时，．则数列的前项和是_____.13．辗转相除法，又名欧几里得算法，是求两个正整数之最大公约数的算法，它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．下图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法．若输入、的值分别为、，则执行程序后输出的的值为______．14．若数列满足，，则数列的通项公式______．15．在中，是斜边的中点，，，平面，且，则_____．16．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，.（1）求（2）若与垂直，求实数的值.18．眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.19．已知.（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.20．本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.21．如图，墙上有一壁画，最高点离地面4米，最低点离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的处观赏该壁画，设观赏视角（1）若问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若当变化时，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】连接，由三角形中位线定理及平行四边形性质可得，所以是与所成角，由正方体的性质可知是等边三角形，所以，与所成角是,故选C.2、B【解析】

通过计算三个年级的人数比例，于是可得答案.【详解】抽取比例为753000=140，高一年级有【点睛】本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小.3、D【解析】

根据根与系数之间的关系求出a5+a10，利用等差数列的前n项和公式及性质进行求解即可．【详解】∵，是方程的两个根，可得，∴.故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，考查了等差数列的性质的运用，根据根与系数之间的关系建立方程关系是解决本题的关键．4、B【解析】

模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案.【详解】模拟程序运行过程如下:0),判断为否,进入循环结构,1),判断为否,进入循环结构,2),判断为否,进入循环结构,3),判断为否,进入循环结构,……9),判断为否,进入循环结构,10),判断为是,故输出,故选:B.【点睛】本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论.5、B【解析】

根据正弦型函数的图象平移规律计算即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变化，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.6、C【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C7、D【解析】

通过和关系，计算通项公式，再计算，代入数据得到答案.【详解】，取，两式相减得：是首项为4，公比为2的等比数列.故答案选D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，前N项和，意在考查学生的计算能力.8、C【解析】

先求出直线方程，然后计算出圆心到直线的距离，根据面积的最大时，以及高最大的条件，可得结果.【详解】由，利用直线的截距式所以直线方程为：即由圆，即所以圆心为，半径为则圆心到直线的距离为要使面积的最大，则圆上的点到最大距离为所以面积的最大值为故选：C【点睛】本题考查圆与直线的几何关系以及点到直线的距离，属基础题.9、C【解析】

求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算弦长可解得．【详解】由题意，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以，解得．故选：C.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法由垂径定理得垂直，由勾股定理列式计算．10、D【解析】试题分析：由题意得，可采用验证法，分别令，即可作出选择，只有满足题意，故选D．考点：归纳数列的通项公式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用圆系方程，求解即可．【详解】设两圆和的交点分别为，则线段是两个圆的公共弦．令，，两式相减，得，即，故线段所在直线的方程为．【点睛】本题考查圆系方程的应用，考查计算能力．12、【解析】

先利用累加法求出数列的通项公式，然后将数列的通项裂开，利用裂项求和法求出数列的前项和.【详解】当时，．所以，，，，，.上述等式全部相加得，.，因此，数列的前项和为，故答案为：.【点睛】本题考查累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.13、【解析】

程序的运行功能是求，的最大公约数，根据辗转相除法可得的值．【详解】由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求、的最大公约数，当输入的，，；，，可得输出的．【点睛】本题主要考查了辗转相除法的程序框图的理解，掌握辗转相除法的操作流程是解题关键．14、【解析】

在等式两边取倒数，可得出，然后利用等差数列的通项公式求出的通项公式，即可求出.【详解】，等式两边同时取倒数得，.所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，同时也考查了等差数列的定义，考查计算能力，属于中等题.15、【解析】

由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．【详解】如图，EC⊥面ABC，而CD⊂面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，∴CD＝5，ED1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定和性质定理，利用勾股定理求线段的长度，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．16、【解析】

利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果.【详解】求得，∵点，关于直线l对称，∴直线l的斜率1，直线l过AB的中点，∴直线l的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)-44；(2)【解析】

（1）利用已知条件求出，然后由向量的数量积坐标表示即可求出．（2）利用向量的垂直数量积为0，列出方程，求解即可．【详解】（1）由题意得：，；（2）由与垂直得：，即，即，解得：.【点睛】本题主要考查向量的数量积的求法与应用．18、(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】

（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，分析可知A事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件恰有k次发生计算即可（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件，分别有互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可.【详解】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率；（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，则，甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，则．【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，涉及n次独立事件中恰有k次发生的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式，属于中档题.19、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.【详解】（1）对任意的，恒成立即恒成立.因为当时，（当且仅当时等号成立），所以即.（2）不等式，即，①当即时，；②当即时，；③当即时，.综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.20、（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.【解析】

（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．【详解】（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，∴q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，得即当n＝1时，d≤2；当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论