山东省济南市章丘区2024年九年级中考二模数学试题(含解析)

济南市章丘区2024年初中学业水平考试数学模拟试题（二）本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器．选择题部分

共40分一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（）A． B． C． D．2．章丘明水古城国际泉水旅游度假区自试运营以来，人气如虹，截至年月日，共计接待游客余人次，形成了特色鲜明的品牌效应，成为游客旅游目的地的新选择．将数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．如图，三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（

）A．b+c＞0 B．a-b＞a-c C．ac＞bc D．ab＞ac5．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．6．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．7．已知点在反比例函数的图象上．若，则（

）A． B． C． D．8．小高有三件运动上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条运动裤，分别是黑色和红色，一天他准备去运动场锻炼，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为（

）A． B． C． D．9．如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．非选择题部分

共110分二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：．12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是．13．已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是．14．如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为．15．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地以的速度匀速前往乙地，到达乙地后停止在货车出发的同时，另一辆轿车从乙地沿同一公路匀速前往甲地，到达甲地后停止．两车之间的路程与货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是．16．如图，在正方形中，、分别是、边上的动点，且，若，则的最小值是．三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：18．解不等式组并写出不等式组的整数解．19．如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：．20．为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节．(1)求C到地面DE距离；(2)该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服．①求此时点C到手柄AB的距离；②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，）21．某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）a．八年级学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）b．八年级学生成绩在70≤x＜80这一组的是：70

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79c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：平均数中位数众数优秀率79768440%根据以上信息，回答下列问题：(1)在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是年级的学生（填“八”，或“九”）；(2)根据上述信息，推断年级学生运动状况更好，理由为；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）(3)假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，①预估九年级学生达到优秀的约有人；②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到分才可以入选．22．如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C．连接，．(1)求证：；(2)若，求的半径长．23．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元．(1)求，两种跳绳的单价；(2)如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？24．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点

(1)如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且．①求反比例函数的表达式；②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；(2)过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴千点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值．25．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交于点，连接，求与面积的比值的最大值．(3)点为抛物线对称轴上的一动点，连接、，当最大时，求点的坐标．26．【问题发现】（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长．

参考答案与解析

1．B【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．根据从正面看到的形状解答即可．【详解】解：A．从正面看到的形状是正方形；B．从正面看到的形状是圆；C．从正面看到的形状是三角形；D．从正面看到的形状是圆的是矩形．故选：B．2．C【分析】本题考查了科学记数法的表示，根据科学记数法正确表示即可，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键．【详解】解：，故选：C．3．C【分析】可求，即可求解．【详解】解：如图，

，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键．4．A【分析】先根据数轴的定义可得，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得．【详解】由数轴的定义得：，A、，此项正确，符合题意；B、，，，此项错误，不符题意；C、，，此项错误，不符题意；D、，，此项错误，不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．5．C【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．6．C【分析】本题考查了同底数幂的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．根据同底数幂的运算法则逐一运算判断即可．【详解】解：A：，故A错误；B：，故B错误；C：，故C正确；D：，故D错误；故选：C．7．A【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据k值判定反比例函数图象分居的象限是解题关键．据反比例函数的所在的象限，判断即可．【详解】解：∵，∴在反比例函数的图象分居于第一、三象限，点，，，在反比例函数的图象上，且，∴，，．故选：A．8．A【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是红色的结果数，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果，恰好恰好都是红色的有1种情况，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为．故选：A．【点睛】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解答本题的关键．9．C【分析】根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，，，于是可对选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出，可对C、D选项进行判断．【详解】由作法得垂直平分，，，，，所以选项正确，不符合题意；，，为的中位线，，，，，，，，，所以选项正确，不符合题意；∵，∴，∴，∴，∴，∴．，，，，，设，，得，解之得（负舍），∴∴，，故C选项不正确，符合题意；，∴．所以D选项正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．10．D【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为，在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，令，整理得，则，解得把代入得，代入得∴解得；把代入得，代入得∴，解得，综上，c的取值范围为：．故选：D．11．##【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解因式即可，掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．12．【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键．根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解．【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，故答案为：．13．【分析】本题考查根据方程的解的情况求字母系数取值范围．熟练掌握一元二次方程有解，则是银题的关键．注意分类讨论．分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，求解即可．【详解】解：当时，原方程为：，则方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，解得：，综上，关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是．故答案为：．14．【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．根据折叠的性质可得，可得，，可得四边形是正方形，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接，交于点，∵将扇形折叠，点落在弧的中点处，∴，∴，且，∴，∴，∴四边形是正方形，∴，∴，即，解得，（负值舍去），∴，，∴阴影部分的面积为：，故答案为：．15．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出快车的速度，从而可以计算出点E的横坐标，然后即可计算出点E的纵坐标，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，轿车的速度为：360÷2-60=120（km/h），则点E的横坐标为：360÷120=3，纵坐标为：60×（3-2）+120×（3-2）=180，故点E的坐标为（3，180），故答案为：（3，180）．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．【分析】延长到点，使得，继续延长到点，使得，取的中点，连接、、，判定是的中位线，根据正方形的性质、勾股定理，推出，结合三角形中位线的性质，推出，根据“两点之间线段最短”、勾股定理，得出的最小值计算出答案即可．【详解】解：如图，延长到点，使得，继续延长到点，使得，取的中点，连接、、，∵，点是的中点，∴，∵四边形是正方形，，∴，，∴点是的中点，，，，∴是的中位线，，∴，∴，∴的最小值的最小值，∵当、、在同一直线上时，取得最小值，∴的最小值，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键．17．【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、求算术平方根，按照运算顺序计算即可，熟练掌握知识点正确计算是解题的关键．【详解】解：．18．，整数解为整数解为、0、1．【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为，所以其整数解为、0、1．19．见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质、推理证明是解题的关键．根据平行四边形的性质，得出，，结合平行线的性质与判定、角平分线的定义，推出，根据“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”判定四边形是平行四边形，即可证明．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∵平分交于点，平分交于点，∴，，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴．20．(1)；(2)①，②【分析】（1）过C作CN⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDN=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案；（2）①延长NC交AB于M，则CM⊥AB，求出h=MN=1.44（m），由（1）得CN=0.8m，然后求出CM的长即可；②由锐角三角函数定义求出∠ACM≈37°，再由（1）得∠DCN=90°-∠CDN=60°，然后求出∠ACD的度数即可．【详解】（1）解：过点C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△CND中，，∴∠CDN＝30°，CN＝0.5×1.6＝0.8，（2）①延长NC，交AB的延长线于点M∵AB∥DE，∴CM⊥AB，∴h＝MN＝1.8×0.8＝1.44，∴CM＝1.44－0.8＝0.64，②在Rt△ACM中，，∵cos37°≈0.8，∴∠MCA＝37°，∴，由（1）得：∠DCG=90°-∠CDG=60°，∴∠ACD=180°-∠ACF-∠DCG≈180°-37°-60°=83°．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．(1)八(2)九，理由见解析(3)①80②78【分析】此题考查了数据分析，熟练掌握常见的统计量是解题的关键．（1）求出八年级学生成绩的中位数，再分析小腾的成绩即可得到答案；（2）根据优秀率和中位数分别进行分析即可；（3）①总人数乘以百分比即可得到答案；根据中位数的定义进行解答即可．【详解】（1）解：八年级学生成绩的中位数为分；小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，可知其中位数应该不大于74，因此他应该在八年级，故答案为：八；（2）九；理由：①九年级优秀率40%，八年级优秀率30%，说明九年级体能测试优秀人数更多；②九年级中位数为76，八年级为72，说明九年级一半的同学测试成绩高于76，而八年级一半同学的测试成绩仅高于72．（3）①；②总体中“运动达人”占，可得样本中“运动达人”有人，的有9人，而的有3人，因此再从成绩中，从大到小找出第2个为78．即中位数为78故答案为：78．22．(1)证明见解析(2)3【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形等知识．（1）连接，由是直径，与相切于C，得，，从而得出，即，即可证明结论；（2）先解直角三角形得到由题意易证，得，得到，根据，从而求出的长即可得到答案．【详解】（1）证明：连接，∵与相切于C，∴，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：在中，，在与中，，∴，∴，∵，∴，，∴的半径长为3．23．(1)种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元(2)购买跳绳所需最少费用是元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键．（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】（1）解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意可得，解得：，答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元（2）解：设购买型跳绳根．班级计划购买，两型跳绳共48根购买型跳绳根．

根据题意得：解得：．

设购买跳绳所需费用为元，则即

，随的增大而减小．当时，取得最小值，最小值为（元）．答：购买跳绳所需最少费用是元．24．(1)①反比例函数的表达式为；②E点坐标为或(2)m的值为或【分析】（1）过P作轴于点C，即，先求出，，即，，根据，可得，即：，可得，即，将代入反比例函数，可得反比例函数的表达式；②由①可得，，设，，当点B，D，E，P组成平行四边形时，根据平行四边形中对角线相互平分，结合中点坐标公式可得：，即可得，即；当点B，D，E，P组成平行四边形时，同理有，可得，问题得解；（2）根据直线，可得P点坐标为，即可得反比例函数的表达式为，①当Q在线段上时，由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，证明，即有，则，进而可得，将代入直线得；②当Q在线段延长线上时，由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，同理可得，将代入直线得，问题得解．【详解】（1）①过P作轴于点C，即，

当时，即，解得：，当时，即，即，，∴，，根据，可得，即：，∵，∴，∴，，即：，即，将代入反比例函数，得，∴反比例函数的表达式为；②由①可得，设，，当点B，D，E，P组成平行四边形时∵，∴，即，∴；当点B，D，E，P组成平行四边形时，∵，∴即，∴，∴E点坐标为或；（2）∵直线，即当时，即，则过定点，∴P点坐标为，代入反比例函数，得，∴反比例函数的表达式为，①如图1，当Q在线段上时，

∵，∴，即，作轴于点K，轴于点L，由P点坐标为可得：，∴，∴，∴，即，则：，∴，将代入直线得；②如图2，当Q在线段延长线上时，

∵，∴，即，作轴于点K，轴于点L，同理，∴，∴，∴，即，∴，将代入直线得，综上所述m的值为或．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，根据三角形的面积得出相应边的比，是解答本题的关键．解答时需注意分类讨论的思想．25．(1)(2)(3)或【分析】（1）把、代入求解，得出抛物线的解析式即可；（2）过点作，交于，根据抛物线的解析式，求出点的坐标，结合点的坐标，求出直线的解析式，设点（），得出点的纵坐标点的纵坐标，代入直线的解析式，表示出点的横坐标，根据的边上的高与的边上的高相同，得出，证明，根据相似三角形的性质推出关于的函数关系式，根据二次函数的性质，求出最大值即可；（3）分“点在轴上方”和“点在轴下方”两种情况讨论；作经过点、，圆心在轴上方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴上方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接，根据“同弧所对圆周角相等”推理证明出当点在点的位置时，最大，根据图形与坐标，结合勾股定理，求出点的坐标；作经过点、，圆心在轴下方的，与抛物线对称轴相切与点，在轴下方、抛物线对称轴上取异于点的点，连接、、、，交于点，连接，根据“同弧所对圆周角相等”推理证明出当点在点的位置时，最大，根据图形与坐标，结合勾股定理，求出点的坐标即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点