数学（全国卷理科02）-2024年高考押题预测卷（全解全析）

第第页2024年高考押题预测卷【全国卷02】理科数学·全解全析第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【详解】由，解得或，所以，则，由，即，所以，解得，所以，所以.故选：C2．已知复数，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．【详解】因为，又，，，所以，所以，所以的虚部为.故选：A3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【详解】若，，，则与的位置关系不能确定；若，因为，所以，又，所以成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【详解】对于A，函数的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；对于B，当时，，不符合图象，排除.对于C，当时，，不符合图象，排除；故选：D5．已知平面向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【详解】由题意知平面向量满足，故，所以，所以，所以，则，，故，故选：B.6．已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【详解】由于为奇函数，所以，由得，由于所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选：A7．2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（

）A．18 B．36 C．54 D．72【详解】若五位同学最终选择为，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择，若五位同学最终选择为，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有种选择，综上，共有种选择.故选：B8．已知，则（

）A． B．C． D．【详解】解：因为，所以，两式相加得：，即，化简得，所以，故选：A9．已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，且时，，则，即，所以，因为且，所以，又，所以.故选：C10．已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【详解】依题意，椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，由，得，，则，设，则有，，由，两式相减得，则有，所以.故选：B.11．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（

）

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为【详解】

在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为，分别为的中点，则，，，，所以，设，则，因为，所以，，当时，；当时，；取，，，，连接，，，，则，，所以四边形为矩形，则，，即，，又，且平面，平面，所以平面，又，，所以为中点，则平面，所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为四边形，因此点不可能是棱的中点，即A错；又，，所以，则点的轨迹不是正方形；且矩形的周长为，故C错，D正确；因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错.故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由，求出动点轨迹图形，即可求解.12．若函数有两个不同的极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【详解】依题意得，若函数有两个不同的极值点，则方程有两个不相等的正实数根，可得，解得，因为，可得．设，则，则单调递减，，可知．所以实数的取值范围是.故选：B．第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若数列满足，，则．【详解】因为数列满足，，所以，，，……，以上各式相加得，所以.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.14．已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为.【详解】由题意可知，因为在取得极大值，所以在取得最大值，所以，，即，又因为，所以，当且仅当时，满足条件，所以，故答案为：.15．已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是．【详解】解：因为，所以的最大值为，易知函数有三个零点，等价于函数的图象与直线有三个交点，因为，所以当或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以，，又当时，；当时，，函数的图象如下所示：结合函数图象可知，若函数的图象与直线有三个交点，则．故答案为：16．已知四棱锥的高为，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为；三棱锥的外接球的表面积的最小值为．【详解】如图，设，连接，，易知分别为中点，，所以，，四边形是菱形，，为全等的正三角形，，；因为是边长为的正三角形，记其中心为，则的外接圆的半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，则底面过作底面交于，则，结合图象可知，其中，，因为到平面的距离为2，即，所以，易知关于的函数在上单调递增，所以当且仅当时，取得最小值，此时，三点共线，由，解得，所以棱锥的外接球的表面积的最小值为.故答案为：；.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知的内角的对边分别为．(1)求的值；(2)若的面积为，且，求的周长．【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 1分可得，即， 3分因为，可得，所以，即，所以. 6分（2）解：由（1）知，因为若的面积为，可得，即，解得， 8分又因为，由余弦定理得，整理得，解得， 10分所以，所以的周长为. 12分18．某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为、、，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用、分别表示1班和2班的总得分．(1)求随机变量、的数学期望；(2)若，求2班比1班得分高的概率．【详解】（1）依题意可得的可能取值为、、、，所以，，，，所以随机变量的分布列为0123 3分所以． 4分又班的总得分满足，则． 6分（2）设“”为事件，“班比班得分高”为事件， 7分则， 9分，所以， 11分所以班比班得分高的概率为． 12分19．如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点在底面圆周上，且过底面圆心，点D，E分别满足，过的平面与交于点，且.(1)当时，证明:平面平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求的值.【详解】（1）当时，得，又，，所以，， 2分平面，平面，平面，同理得平面， 4分因为是平面内两条相交直线，所以平面平面. 5分（2）因为，为圆柱的母线，所以垂直平面，又点C在底面圆周上，且过底面圆心O，所以，所以两两互相垂直.以点为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 6分设，则，，，，，所以，，，， 7分因为，所以，则， 8分设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，，所以， 10分所以与平面所成角的正弦值为，，解得或， 11分，. 12分20．已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，求证：直线的倾斜角为定值.【详解】（1）因为动圆经过定点，且与直线相切，即动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等， 1分又点不在直线上，由抛物线的定义可知动圆圆心是以为焦点，直线为准线的抛物线， 3分所以动圆圆心的轨迹为. 4分（2）依题意设直线方程为，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，的方程为．联立方程组，消元得，， 6分因为此方程的一个根为，设，，则，同理可得， 8分，．．， 10分设直线的倾斜角为，则，又，所以， 11分直线的斜率为定值，倾斜角为定值． 12分

21．已知函数．(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；(2)若函数的最小值为，求的值．【详解】（1）因为，所以，则，又，所以函数在处的切线方程为． 2分由题意，显然，令得，令得，所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得或． 4分（2）由（1）知，令，所以，当时，在上单调递减，当时，，在上单调递增． 6分因为，所以当时，，又所以在上必存在唯一零点，使得． 8分当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增．所以在处取得最小值，即，且，即，所以． 10分设，所以，当时，单调递增，，当时，，单调递减，，又，所以函数在上存在唯一的，使得成立，所以，所以，即． 12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的极坐标为且点在曲线上.(1)求曲线的普通方程以及曲线的极坐标方程；(2)已知直线与曲线分别交于，两点，其中，异于原点，求的面积.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，所以，由，得曲线的直角坐标方程为；由曲线的参数方程为（为参数），又，得， 2分因为，所以，即，即曲线的极坐标方程为.又点在曲线上，所以，解得，所以曲线的极坐标方程为； 4分（2）因为点，则，即点的直