超几何分布课件 2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2超几何分布1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).复习回顾：3若X~B(n,p)，则有问题1：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.析：采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4，0.08)，∴X的分布列：问题2：已知100件产品中有8件次品，分别采用无放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.采用不放回抽样，每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不相互独立，因此X不服从二项分布.追问：抽取的4件产品中次品数X是否服从二项分布？问题探究问题2：已知100件产品中有8件次品，分别采用无放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.解：次品数X可能取0,1,2,3,4.

由古典概型的知识，得随机变量X的分布列为一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为:超几何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

N—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量k—样本中的特殊个体数（如次品数)一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为:超几何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

①100件产品中有8件次品，无放回随机抽取4件，则X的的可能取值为________②100件产品中有3件次品，无放回随机抽取5件，则X的的可能取值为_______③10件产品中有7件次品，无放回随机抽取5件，则X的的可能取值为________0,1,2,32,3,4,50,1,2,3,4一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为:超几何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

①总体中含有两类不同的个体；②不放回地抽取；③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.判断一个变量服从超几何分布的条件例1：从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.

设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝1，n＝5.因此甲被选中的概率为：解：例2：一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.

设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为解：∴至少有1件不合格的概率为：练习1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.

设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为：解：练习2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.

设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为：解：若随机变量X服从超几何分布，则有证明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由随机变量的定义：当m>0时，当m=0时，类似可以证明结论依然成立.问题3：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？练习3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求X的分布列与均值；解：由题意可知，X服从超几何分布，所以X分布列为所得金额的均值为例3.

一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列为解：对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为二项分布与超几何分布的联系与区别？（1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布.（2）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近.（3）对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的.此时，超