指数函数的概念

4.2指数函数4.2.1指数函数的概念课标要求指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.素养要求1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.一、指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.温馨提醒指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.二、两类指数型函数模型(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型.(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型.重点题型题型一指数函数的概念例1(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是()A.0 B.1C.2 (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A.(0，1)∪(1，＋∞)B.[0，1)∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案(1)B(2)C解析(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，故⑤不是指数函数.(2)依题意得2a－1>0且2a－1≠1，解得a>eq\f(1,2)且a≠1.思维升华1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.a，并注意a的限制条件.训练1(1)(多选)下列函数是指数函数的是()A.y＝52xB.y＝－4xC.y＝x3D.y＝(6a－3)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)且a≠\f(2,3)))(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________.答案(1)AD(2)2解析(1)根据指数函数的定义知y＝52x＝25x，y＝(6a－3)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)且a≠\f(2,3)))是指数函数.y＝x3是幂函数，y＝－4x不是指数函数.(2)由指数函数的定义知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2.题型二求指数函数的解析式或求值例2(1)已知函数f(x)是指数函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，则f(3)＝________.答案125解析设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝a－eq\f(3,2)＝5－eq\f(3,2)，则a＝5.故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，eq\f(f（1）,f（0）)＝eq\f(1,2)，eq\f(f（2）,f（1）)＝eq\f(1,2)，…，eq\f(f（n）,f（n－1）)＝eq\f(1,2)，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式.解当x增加1时函数值都以eq\f(1,2)的衰减率衰减，∴函数f(x)为指数衰减型函数模型，令f(x)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(k≠0)，又f(0)＝3，∴k＝3，∴f(x)＝3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x).思维升华(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.训练2已知函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，求f(x)的解析式、feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值.解因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，所以2a2－3a＋2＝1，且a>0，a≠1，解得a＝eq\f(1,2)或a＝1(舍去).所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).题型三指数增长(衰减)型函数的实际应用例3(1)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为()250)m eq\s\up6(\f(1,10))m250m eq\s\up6(\f(1,10)))m(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为()A.640 B.1280C.2560 D.5120答案(1)B(2)B解析(1)设每年减少的百分率为a，由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，则1－aeq\s\up6(\f(1,50)).由2017年的耕地面积为m，得2022年的耕地面积为(1－a)5meq\s\up6(\f(1,10))m.(2)依题意，2＝ek，则y＝10ekt＝10×2t.∴当t＝7时，y＝10×27＝1280.思维升华关于函数y＝kax在实际问题中的应用关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率.2.主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.训练3春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.答案19解析设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*).根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.[课堂小结]1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解.3.解题误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.课后训练A一、单选题1．下列函数是指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的特征即可求解.【详解】对于A,是幂函数，对于B，系数不为1，不是指数函数，对于C,是底数为的指数函数，对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C2．下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数，指数函数的概念及性质逐项判断即可.【详解】对于A，是幂函数，定义域为，在上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于B，，定义域是，且在上单调递增，故B正确；对于C，不是幂函数，故C错误；对于D，是指数函数，不是幂函数，故D错误.故选：B.3．若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，则.故选：D4．已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的图象与性质，求出的图象所过定点，再计算的值．【详解】解：函数，且中，令，得，所以，所以的图象过定点，所以，；所以．故选：．【点睛】本题考查了指数函数与指数运算问题，属于基础题．5．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么年后若人均一年占有千克粮食，则关于的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，分别求得年后人口总量和粮食总量关于的表达式，即可求得.【详解】不妨设现在乡镇人口总数为，则现在乡镇粮食总量为，故经过年后，乡镇人口总数为，乡镇粮食总量为，故经过年后，人均占有粮食.故选：D.【点睛】本题考查指数型函数模型的建立，属基础题.6．函数的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.二、多选题7．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD.8．下列函数中，值域是的幂函数是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．【详解】由题意可得选项D的函数为指数函数，故排除D；对于A：函数，定义域为，所以值域为，满足条件；对于B：函数，定义域为，所以值域为，满足条件；对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件.故选：AB.三、填空题9．已知函数和都是指数函数，则.【答案】【分析】根据指数函数解析式的特点即可求出的值，进而可得的值.【详解】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，所以，所以，故答案为：.10．双曲函数是由以为底的指数函数和所产生的．其定义为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为．①②③④【答案】②④【分析】根据所给的函数解析式逐个选项判断即可.【详解】①，错误；②，正确；③，错误；④，正确．故答案为：②④11．定义在上的奇函数满足，且当时，，则【答案】【分析】由，得到函数为周期函数，再结合函数为奇函数求解.【详解】因为，所以，所以函数周期为4，所以，因为函数奇函数，所以，所以.故答案为：12．已知函数．若对，使成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】分别求解出、的值域、，根据题意可得是的子集，即得不等式组，求解不等式组即可.【详解】试题分析：由题意知的值域是，的值域是，由题意知是的子集，故，解得，所求的范围是.故答案为：四、解答题13．设函数，，.（1）若，求；（2）是否存在正实数，使得是偶函数.【答案】（1）；（2）存在.【分析】（1）由函数解析式求、，结合已知可得，即可求；（2）假设存在正实数使是偶函数，即，整理求出，判断所得参数是否符合题意即可.【详解】（1）由题意，，，由，即，整理可得，即；（2）假设存在正实数，使得是偶函数，即，则，∴，必有，故存在正实数，使得是偶函数.14．已知指数函数的图象经过点，(1)求函数的解析式；(2)设函数，证明：函数的图象与函数的图象关于y轴对称．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设指数函数且，由函数图象过点即可求解；（2）任取函数的图象上一点，证明该点关于y轴的对称点为在另一个函数图象上即可.【详解】（1）解：由题意，设指数函数且，因为函数的图象经过点，所以，解得，所以函数；（2）证明：由（1）知，任取函数的图象上一点，则，因为关于y轴的对称点为，且，所以在函数的图象上，设上任意一点，则，因为关于y轴的对称点为，且，所以在函数的图象上，所以函数的图象与函数的图象关于y轴对称．15．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为（其中表示初始废气中污染物数量）.经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物.问：（1）15小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少36%需要花多长时间？【答案】（1）15个小时后还剩51.2%的污染物；（2）污染物减少36%需要花.【分析】（1）根据题意列出，求得，再将代入即可求解.（2）根据题意列出，利用（1）中的结果代入即可求解.【详解】（1）由题意得，则，故当时，.故15个小时后还剩51.2%的污染物.（2）由题意，，即，所以，所以，即，故污染物减少36%需要花.【点睛】本题考查了指数函数的生活中的应用、指数的运算，解题的关键是建立指数型函数模型，属于基础题.16．求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）定义域，值域为且；（2）定义域，值域；（3）定义域，值域【解析】（1）由得定义域，求出的范围，结合函数的性质可得值域；（2）由可得定义域，求得的取值范围，结合的性质可得值域；（3）函数无限制条件，定义域为，求出的取值范围，结合的性质可得值域．【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.（2）要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.（3）函数的定义域为.因为，所以.又，所以函数的值域为.【点睛】本题考查指数型复合函数的定义域与值域，定义域只要使函数式有意义即可，求值域时，一个是指数作为一个整体先求得其取值范围，然后要结合指数函数性质得出所求函数的值域．课后训练B一、基础达标1.下列函数是指数函数的是()A.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))eq\s\up12(x) B.y＝(－8)xC.y＝2x－1 D.y＝x2答案A解析对于A，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))eq\s\up12(x)中，a＝eq\f(π,2)>1，是指数函数；对于B，函数y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指数函数；对于C，函数y＝2x－1＝eq\f(1,2)×2x，不是指数函数；对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数.f(x)的图象过点(4，81)，则f(x)的解析式为()A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3xC.f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D.f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,3))答案B解析设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为()A.2 C.2或－1 D.－1答案C解析∵函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.4.(多选)若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－3))·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是()A.a＝8 B.f(0)＝－3C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eq\r(2) D.a＝4答案AC解析因为函数f(x)是指数函数，所以eq\f(1,2)a－3＝1，解得a＝8，所以f(x)＝8x.所以f(0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝8eq\f(1,2)＝2eq\r(2)，因此选项A、C正确.5.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%的衰减率衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式为()A.w＝500×t B.w＝500×t－1C.w＝500×t D.w＝500×t－1答案A解析最初的质量为500g，经过1年，w＝500(1－10%)＝500×1；经过2年，w＝500×2，…，由此推出，t年后，w＝500×t.f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.答案(eq\r(2))x解析由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝eq\r(2)，所以f(x)＝(eq\r(2))x.y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________.答案(1，2)解析∵函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，∴0<a－1<1，解得1<a<2.8.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2，4)，则f(f(－1))＝________.答案eq\f(1,4)解析设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，所以f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时？解因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ker×0＝100，,ker×5＝80，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝100，,er＝\r(5,\f(4,5))))，所以y＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5,\f(4,5))))eq\s\up12(x)，所以当x＝10时，y＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5,\f(4,5))))eq\s\up12(10)＝64.故在10℃的冰箱中保鲜时间是64小时.f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.解(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.(2)F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，∴F(x)是奇函数.二、能力提升y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)f(2)等于()A.8 C.32 答案D解析由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，可得a－2＝eq\f(1,4)，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64.55＝0.7779)()A.赚723元 C.亏145元 答案D解析由题意