2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期6月月考（理）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将〖答案〗填涂在答题卡上）1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，则.故选：D.2.已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由题意，复数z满足，可得，所以z的虚部为.故选：B.3.函数图象的对称轴可以是（）A.直线 B.直线C.直线 D.直线〖答案〗A〖解析〗，令，解得，所以的对称轴为直线，当时，.故选：A.4.在的展开式中，的系数为（）A.12 B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以只有中的与中的相乘才会得到，即，所以的系数为.故选:D.5.如图所示，已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下：x681012y6532其线性回归方程为，则（）．A. B.0.7 C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，，将带入得：，解得，所以.故选：A.6.若实数满足约束条件则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示作出可行域，当过直线和的交点即时，此时.故选：C.7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为时，执行循环体，时结束循环，输出，所以执行程序框图，；；；，结束循环，因此的取值范围为.故选：C.8.已知命题：，，则“”是“是真命题”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，可得，，所以“是真命题”对应的的范围是，所以“”是“是真命题”的充分不必要条件，故选：A.9.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.16 B.12 C.8 D.4〖答案〗D〖解析〗对求导得，由得，则，即，所以，当且仅当时取等号．故选：D．10.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗过滤第一次污染物的含量减少，则为；过滤第两次污染物的含量减少，则为；过滤第三次污染物的含量减少，则为；过滤第n次污染物的含量减少，则为；要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，故排放前需要过滤的次数至少为次．故选：A．11.，则的大小顺序为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减；因为，所以，又，所以，故选：B.12.已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗双曲线的两条渐近线为，联立直线与渐近线，解得，，所以的中点坐标，所以，又，所以，即点在第一象限，即，又直线与圆相切，即，解得（负值舍去），则直线，联立直线与圆，解得，即，即，解得，所以双曲线的离心率.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二､填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将〖答案〗填在答题卡上．13.抛掷一粒骰子，设“得到的点数是奇数”为事件，“得到的点数是3点”为事件，则__________．〖答案〗〖解析〗抛掷一粒骰子所得点数的样本空间为，，，所以，，，所以.故〖答案〗为：.14.若抛物线上的点到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的方程是_________.〖答案〗〖解析〗根据抛物线定义，，解得，故抛物线的方程是.故〖答案〗为：.15.若三角形的内角所对的边分别为，且，，其面积，则边=________．〖答案〗或〖解析〗∵的面积，即，解得，注意到，故或，若，由余弦定理：，即；若，由余弦定理：，即；综上所述：或.故〖答案〗为：或.16.关于函数，有以下四个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；②函数的极值点不可能是；③函数必有最小值．④对于，在上是增函数．其中正确结论的序号是______．〖答案〗①②③〖解析〗令，即，因为恒成立，恒有两个不相等实数根记为，则，①正确；，，即函数的极值点不可能是，②正确；令，即，恒成立，即恒有两个根，记为，且，则在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，结合，恒有两个不相等实数根，则函数的草图为：即在处取得最小值，③正确，④错误.故〖答案〗为：①②③.三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．（一）必考题17.已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前项和.解：（1）∵，∴，，解得，∴；（2）由题可知，∴，∴.18.###第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十大”进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．解：（1）由题意X的取值可能为－1，0，1，则，，那么X的分布列为：X－101P（2）第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．所以．19.如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.（1）证明：B，E，D1，F四点共面；（2）若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.（1）证明；取的中点为G，连接AG，GE，由E，G分别为，的中点，∴EG∥DC∥AB，且，∴四边形ABEG为平行四边形，故.又F是的中点，即，∴，故B，F，，E四点共面.（2）解：连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，以O为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A（，0，0），B（0，1，0），，F（，0，1），∴设面的一个法向量为，则，即，取，设直线AE与平面BED1F所成角为θ，故，∴直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为.20.已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线恒过一定点；②设的面积为，求的最大值.（1）解：由题意，得，化简得，所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左､右顶点.（2）如图，①证明：设.因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线的斜率必不为0.设直线的方程为.由得，所以，且因为点是曲线上一点，所以由题意可知，所以，即因为所以，此时，故直线恒过轴上一定点②解：由①可得，，所以当且仅当即时等号成立，所以的最大值为.21.若函数有两个零点，且．（1）求a的取值范围；（2）若在和处的切线交于点，求证：．（1）解：，当，，在上单调递减，不可能两个零点；当时，令得，，单调递增，，，单调递减，，，时，，单调递减，，，单调递增，所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号，所以，而，所以；；，∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意，综上：；（2）证明：曲线在和处的切线分别是，联立两条切线得，∴，由题意得，要证，即证，即证，即证，令，即证，令，，∴在单调递减，∴，∴得证．综上：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系中，曲线的方程为．为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求的最大值．解：（1）由题意可知，将代入得，则曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，则，点的极坐标为，由得，即，将代入得，所以点轨迹曲线的极坐标方程为；（2）曲线直角坐标方程为，设点，曲线的直角坐标方程为，则圆心为，，即当时，，所以.23.设不等式的解集为，且，.（1）求的值；（2）若、、为正实数，且，求的最小值.解：（1）因为，，所以，，即，因为，则.（2）由（1）可知，，由柯西不等式可得，当且仅当时，即当，时，等号成立，所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立，因此，的最小值为.四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将〖答案〗填涂在答题卡上）1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，则.故选：D.2.已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由题意，复数z满足，可得，所以z的虚部为.故选：B.3.函数图象的对称轴可以是（）A.直线 B.直线C.直线 D.直线〖答案〗A〖解析〗，令，解得，所以的对称轴为直线，当时，.故选：A.4.在的展开式中，的系数为（）A.12 B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以只有中的与中的相乘才会得到，即，所以的系数为.故选:D.5.如图所示，已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下：x681012y6532其线性回归方程为，则（）．A. B.0.7 C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，，将带入得：，解得，所以.故选：A.6.若实数满足约束条件则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示作出可行域，当过直线和的交点即时，此时.故选：C.7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为时，执行循环体，时结束循环，输出，所以执行程序框图，；；；，结束循环，因此的取值范围为.故选：C.8.已知命题：，，则“”是“是真命题”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，可得，，所以“是真命题”对应的的范围是，所以“”是“是真命题”的充分不必要条件，故选：A.9.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.16 B.12 C.8 D.4〖答案〗D〖解析〗对求导得，由得，则，即，所以，当且仅当时取等号．故选：D．10.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗过滤第一次污染物的含量减少，则为；过滤第两次污染物的含量减少，则为；过滤第三次污染物的含量减少，则为；过滤第n次污染物的含量减少，则为；要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，故排放前需要过滤的次数至少为次．故选：A．11.，则的大小顺序为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减；因为，所以，又，所以，故选：B.12.已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗双曲线的两条渐近线为，联立直线与渐近线，解得，，所以的中点坐标，所以，又，所以，即点在第一象限，即，又直线与圆相切，即，解得（负值舍去），则直线，联立直线与圆，解得，即，即，解得，所以双曲线的离心率.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二､填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将〖答案〗填在答题卡上．13.抛掷一粒骰子，设“得到的点数是奇数”为事件，“得到的点数是3点”为事件，则__________．〖答案〗〖解析〗抛掷一粒骰子所得点数的样本空间为，，，所以，，，所以.故〖答案〗为：.14.若抛物线上的点到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的方程是_________.〖答案〗〖解析〗根据抛物线定义，，解得，故抛物线的方程是.故〖答案〗为：.15.若三角形的内角所对的边分别为，且，，其面积，则边=________．〖答案〗或〖解析〗∵的面积，即，解得，注意到，故或，若，由余弦定理：，即；若，由余弦定理：，即；综上所述：或.故〖答案〗为：或.16.关于函数，有以下四个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；②函数的极值点不可能是；③函数必有最小值．④对于，在上是增函数．其中正确结论的序号是______．〖答案〗①②③〖解析〗令，即，因为恒成立，恒有两个不相等实数根记为，则，①正确；，，即函数的极值点不可能是，②正确；令，即，恒成立，即恒有两个根，记为，且，则在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，结合，恒有两个不相等实数根，则函数的草图为：即在处取得最小值，③正确，④错误.故〖答案〗为：①②③.三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．（一）必考题17.已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前项和.解：（1）∵，∴，，解得，∴；（2）由题可知，∴，∴.18.###第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十大”进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．解：（1）由题意X的取值可能为－1，0，1，则，，那么X的分布列为：X－101P（2）第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．所以．19.如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.（1）证明：B，E，D1，F四点共面；（2）若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.（1）证明；取的中点为G，连接AG，GE，由E，G分别为，的中点，∴EG∥DC∥AB，且，∴四边形ABEG为平行四边形，故.又F是的中点，即，∴，故B，F，，E四点共面.（2）解：连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，以O为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A（，0，0），B（0，1，0），，F（，0，1），∴设面的一个法向量为，则，即，取，设直线AE与平面BED1F所成角为θ，故，∴直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为.20.已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线恒过一定点；②设的面积为，求的最大值.（1）解：由题意，得，