2022-2023学年四川省凉山州安宁河联盟高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高一下期期末联考数学试题考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它〖答案〗；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的〖答案〗无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z在复平面内对应的点为，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：D．2.设m、n为两条不重合直线，α、β两个不重合平面，则正确命题为（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，且，则 D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗若，，则m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；因为，，所以，又，所以，故B错误；若，且，则根据线面垂直的判定可知，故C正确；因为，可设，若，，可能有，，此时，故D错误.故选：C.3.在矩形ABCD中，，P为AB边的动点，则（）A.3 B. C. D.不确定〖答案〗A〖解析〗∵，∴，又，∴.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，两边平方得，所以.故选：B.5.在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（）A. B.5 C. D.〖答案〗C〖解析〗连接BE，BF，取的中点G，连接GF，，∵，∴为平行四边形，∴，∵，∴为平行四边形，∴，∴，∴为平行四边形，即四点共面，∴正方体过点E，F，的截面为平行四边形，又，则为菱形，∵，∴菱形的面积．故选：C．6.已知正四棱锥的各顶点都在球O的球面上，若球O的体积为36π，且，则该正四棱锥体积为（）A.36 B. C. D.18〖答案〗D〖解析〗因为球的体积为，所以，解得：，正方形中，，则，由题意得正方形的外接圆为球的大圆，即的交点即为球心，因为面ABCD，，所以该正四棱锥的体积为：．故选：D．7.中，若，且，那么是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗由及正余弦定理，得，化简得，将代入，得，即，由及正弦定理，得,因为,所以，所以，即，所以，故是等边三角形.故选：B8.用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，为BC的中点，米，米，则彩虹（）的长度约为（）（参考数据：，）A.米 B.米C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗在中，由勾股定理，可得：，连接PO，则在中，，连接OB，OC，OM，则在中，，故，，则彩虹（）的长度约为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.若复数为纯虚数，则，B.若复数，，则C.复数的共轭复数为iD.若复数z满足，则z的实部与虚部至少有一个为0〖答案〗CD〖解析〗对于A，因为复数为纯虚数，所以，故错误；对于B，因为复数，，则，，故错误；对于C，因为复数，则其共轭复数为，故正确；对于D，设，则由，可得，所以z的实部与虚部至少有一个为0，故正确；故选：CD10.设函数，则（）A.最大值为2 B.是偶函数C.图象关于点对称 D.在区间上单调递增〖答案〗BC〖解析〗所以的最大值是，并且是偶函数，当时，，函数关于点对称，当时，，此时函数单调递减.故选：BC11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.满足，，的有两个D.若角B为钝角，则〖答案〗AD〖解析〗对于A，由正弦定理可知：（的外接圆半径），则，由，则，即，故A正确；对于B，由余弦定理，，，由，则，化简可得，故为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理可得：，则，解得，即，故C错误；对于D，由为钝角，则，则且，由正弦函数在上单调递增，则，，即，，易知，故D正确.故选：AD.12.如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，P在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度可以是（）A. B. C.10 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为正方体的边长为6，分别是中点，所以，设到的距离为，因为，得到，如图，连接，，设与，分别交于，易得，当点在线段上，连接，因为面，又面，所以，所以，又易知，所以；当点与点重合时，，符合题意.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，，则向量与向量的夹角为_______．〖答案〗〖解析〗设向量与向量的夹角为，因为，，，所以，得，因为，所以，故〖答案〗为：.14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则______．〖答案〗〖解析〗a，b是关于x的方程的两个实数根，由韦达定理，得，由余弦定理得，即，又，所以，解得．故〖答案〗为：.15.如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，，，将矩形ABCD沿DM剪去，将剩余部分绕直线BM旋转一周，则所得到的几何体的表面积为______．〖答案〗〖解析〗矩形ABCD中，M为BC的中点，，，.将矩形ABCD沿DM剪去，将剩余部分绕直线BM旋转一周，则所得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥形成的组合体，圆柱的底面半径，母线长，故侧面积，底面面积,圆锥的底面半径，母线长，故侧面积，故所得到的几何体的表面积.故〖答案〗为：.16.在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.〖答案〗〖解析〗取中点，连接，如图，由可得，即，所以三点共线且，即为的重心，所以，因为三点共线，所以，又，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故〖答案〗为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D是棱AB的中点．（1）证明．平面平面；（2）求AC与平面所成线面角的正弦值（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面ABC，因为平面ABC，所以；又因为是等边三角形，，且D是棱AB的中点，所以．由AB、平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）解：由（1）知：平面，∴在平面上的射影为，∴与平面所成的线面角即为，在直三棱柱中，设，∴在底面正中，，在背面正方形中，，∴在中，.18.已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且∥，求向量的坐标；（2）若，且在上的投影向量为，求与的夹角．解：（1）设，因为，且∥，所以，解得，或，所以，或．（2）设与的夹角为θ，因为在上的投影向量为，且，所以，将代入，可解得，因为，所以．即与的夹角为.19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若，，点D在BC边上，，求AD，及的面积．解：（1）∵，∴，即有，由正弦定理边化角得，切化弦得，∵在中，，，∴，又∵，∴.（2）在中，D为BC边上一点，，∴，∴在中，由余弦定理可得：，∴.又的面积为：，∴的面积为：．20.已知函数的部分图象大致如图．（1）求的〖解析〗式，及其单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解和，求实数m的取值范围，及的值．解：（1）由图象可知，又函数过点，，所以，所以，所以．又因为函数过点，所以，，，又，故，则．下面求的单调增区间：令，，整理得，，所以的单调增区间是，．（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C：，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象．由在上有两个不同实数解，即在上有两个不同的实数解，因为，设，则，则需直线与的图象在两个不同的公共点．作出函数，的图像，如下图所示：可得实数m的取值范围为．设在上有两个不同的实数解为和，而方程在上有两个不同的实数解为和，则，，由三角函数的对称性可得：，即有，化简得：.21.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若．（1）求角B的大小；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．解：（1）由得：所以，所以，因为，所以，又因为，所以；（2）在中，由正弦定理，得，同理得，所以可得：因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，因为，所以，得所以的取值范围为.22.如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求棱锥E-DFC的体积；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）平面，理由如下：如图：在中，由分别是、中点，得，又平面，平面．∴平面．（2）∵，，将沿翻折成直二面角．∴∴平面取的中点，这时∴平面，，.（3）在线段上存在点，使.在线段上取点．使，过作于，∵平面∴平面∴，∴∴，又在等边中，∴∵平面∴．∴平面，∴．此时，∴．四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高一下期期末联考数学试题考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它〖答案〗；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的〖答案〗无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z在复平面内对应的点为，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：D．2.设m、n为两条不重合直线，α、β两个不重合平面，则正确命题为（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，且，则 D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗若，，则m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；因为，，所以，又，所以，故B错误；若，且，则根据线面垂直的判定可知，故C正确；因为，可设，若，，可能有，，此时，故D错误.故选：C.3.在矩形ABCD中，，P为AB边的动点，则（）A.3 B. C. D.不确定〖答案〗A〖解析〗∵，∴，又，∴.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，两边平方得，所以.故选：B.5.在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（）A. B.5 C. D.〖答案〗C〖解析〗连接BE，BF，取的中点G，连接GF，，∵，∴为平行四边形，∴，∵，∴为平行四边形，∴，∴，∴为平行四边形，即四点共面，∴正方体过点E，F，的截面为平行四边形，又，则为菱形，∵，∴菱形的面积．故选：C．6.已知正四棱锥的各顶点都在球O的球面上，若球O的体积为36π，且，则该正四棱锥体积为（）A.36 B. C. D.18〖答案〗D〖解析〗因为球的体积为，所以，解得：，正方形中，，则，由题意得正方形的外接圆为球的大圆，即的交点即为球心，因为面ABCD，，所以该正四棱锥的体积为：．故选：D．7.中，若，且，那么是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗由及正余弦定理，得，化简得，将代入，得，即，由及正弦定理，得,因为,所以，所以，即，所以，故是等边三角形.故选：B8.用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为．如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角．若平面ABC为水平面，BC为彩虹面与水平面的交线，为BC的中点，米，米，则彩虹（）的长度约为（）（参考数据：，）A.米 B.米C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗在中，由勾股定理，可得：，连接PO，则在中，，连接OB，OC，OM，则在中，，故，，则彩虹（）的长度约为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.若复数为纯虚数，则，B.若复数，，则C.复数的共轭复数为iD.若复数z满足，则z的实部与虚部至少有一个为0〖答案〗CD〖解析〗对于A，因为复数为纯虚数，所以，故错误；对于B，因为复数，，则，，故错误；对于C，因为复数，则其共轭复数为，故正确；对于D，设，则由，可得，所以z的实部与虚部至少有一个为0，故正确；故选：CD10.设函数，则（）A.最大值为2 B.是偶函数C.图象关于点对称 D.在区间上单调递增〖答案〗BC〖解析〗所以的最大值是，并且是偶函数，当时，，函数关于点对称，当时，，此时函数单调递减.故选：BC11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.满足，，的有两个D.若角B为钝角，则〖答案〗AD〖解析〗对于A，由正弦定理可知：（的外接圆半径），则，由，则，即，故A正确；对于B，由余弦定理，，，由，则，化简可得，故为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理可得：，则，解得，即，故C错误；对于D，由为钝角，则，则且，由正弦函数在上单调递增，则，，即，，易知，故D正确.故选：AD.12.如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，P在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度可以是（）A. B. C.10 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为正方体的边长为6，分别是中点，所以，设到的距离为，因为，得到，如图，连接，，设与，分别交于，易得，当点在线段上，连接，因为面，又面，所以，所以，又易知，所以；当点与点重合时，，符合题意.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，，则向量与向量的夹角为_______．〖答案〗〖解析〗设向量与向量的夹角为，因为，，，所以，得，因为，所以，故〖答案〗为：.14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则______．〖答案〗〖解析〗a，b是关于x的方程的两个实数根，由韦达定理，得，由余弦定理得，即，又，所以，解得．故〖答案〗为：.15.如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，，，将矩形ABCD沿DM剪去，将剩余部分绕直线BM旋转一周，则所得到的几何体的表面积为______．〖答案〗〖解析〗矩形ABCD中，M为BC的中点，，，.将矩形ABCD沿DM剪去，将剩余部分绕直线BM旋转一周，则所得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥形成的组合体，圆柱的底面半径，母线长，故侧面积，底面面积,圆锥的底面半径，母线长，故侧面积，故所得到的几何体的表面积.故〖答案〗为：.16.在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.〖答案〗〖解析〗取中点，连接，如图，由可得，即，所以三点共线且，即为的重心，所以，因为三点共线，所以，又，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故〖答案〗为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D是棱AB的中点．（1）证明．平面平面；（2）求AC与平面所成线面角的正弦值（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面ABC，因为平面ABC，所以；又因为是等边三角形，，且D是棱AB的中点，所以．由AB、平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）解：由（1）知：平面，∴在平面上的射影为，∴与平面所成的线面角即为，在直三棱柱中，设，∴在底面正中，，在背面正方形中，，∴在中，.18.已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且∥，求向量的坐标；（2）若，且在上的投影向量为，求与的夹角．解：（1）设，因为，且∥，所以，解得，或，所以，或．（2）设与的夹角为θ，因为在上的投影向量为，且，所以，将代入，可解得，因为，所以．即与的夹角为.19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若，，点D在BC边上，，求AD，及的面积．解：（1）∵，∴，即有，由正弦定理边化角得，切化弦得，∵在中，，，∴，又∵，∴.（2）在中，D为BC边上一点，，∴，∴在中，由余弦定理可得：，∴.又的面积为：，∴的面积为：．20.已知函数的部分