2023届安徽省滁州市高三第二次教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，故，所以.故选：D.2.若，则在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，则，所以对应点为，在第三象限.故选：C.3.在下列区间中，函数在其中单调递减的区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，的减区间是，，只有选项B的区间，故选：B．4.由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（）A.161 B.162 C.163 D.164〖答案〗B〖解析〗设有个碳质骨架，，由已知可得，如果只有个碳质骨架，则骨架总数少于，所以，所以，且，又解得，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，故选：B.5.如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对B，由，知，但由图象知，故可排除B，对C，因为在上，而由函数图象知函数一个零点在上，而排除C；对D，由知，而由函数图象可知，故可排除D.故选：A．6.如图，在正四棱台中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示的正四棱台取上下两个底面的中心，连接，，，过点作底面的垂线与相交于点，因为四棱台为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线上，在上取一点为球心，连接，则，设，因为，所以，，所以为正方形，故必在延长线上，在中，，即，在中，，即，解得，所以，故选：D.7.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则恒成立，即在上单调递增，且，故，取，则，即，可得，即；令，则恒成立，即在上单调递减，且，故，取，则，即，可得，即；综上可得：的大小关系为故选：B.8.若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（）A.6 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为a，b，c均为正数，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知A，B为两个随机事件，且，，则（）A.B.若A，B为互斥事件，则C.若，则A，B为相互独立事件D.若A，B为相互独立事件，则〖答案〗BCD〖解析〗若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；若A，B相互独立事件，则也相互独立，即，又，而，故，D正确.故选：BCD.10.已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（）A.最小值为2 B.若，则C.若，则 D.若点P不在x轴上，则〖答案〗ABC〖解析〗点，抛物线的准线方程为，设，，所以点P在横轴上时有最小值2，所以选项A正确；若，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，把代入中，得，，此时，于是有，所以选项B正确；因为，显然点P不在横轴上，则有，所以直线方程为代入抛物线方程中，得，设，，，所以选项C正确，点P不在x轴上，由上可知：，，，而，显然，所以选项D不正确，故选：ABC.11.已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为定义域均为R的奇函数，所以，即，所以，即，所以，又为奇函数，所以，当时，，即，，故B正确；又，所以，故，即函数的周期为2，所以，，即，故D正确；由为奇函数可知，即的图象关于成中心对称，不妨取，则满足周期为2，关于中心对称条件，因为，，，可知AC错误.故选：BD.12.在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，顶角，点为AB的中点，记△OAB的面积，则（）A. B.S的最大值为6C.的最大值为6 D.点B的轨迹方程是〖答案〗ABD〖解析〗由，，为AB的中点，若且，则，故，整理得：，则轨迹是圆心为，半径为2的圆（去掉与x轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令在轨迹圆的上半部分，即，令，则，所以，则，所以，A正确；由，则S的最大值为6，B正确；由下图知：，所以无最大值，C错误；令，则代入轨迹得，即，所以轨迹为且，D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为________.〖答案〗〖解析〗由题意的通项公式为，令，故展开式中的常数项为，故〖答案〗为：14.已知椭圆与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则的值为________.〖答案〗〖解析〗由题意可知：，因为，所以，因为△ABF是等腰三角形，所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点，所以，故〖答案〗为：.15.已知平面向量，满足，，则的最大值为________.〖答案〗20〖解析〗不妨设，，则则，即，，取，，，设点在圆上，表示，因此的最大值为，从而最大值为．故〖答案〗为：20.16.如图，正方体的棱长为2，点E，F在棱AB上，点H，G在棱CD上，点，在棱上，点，在棱上，，则六面体的体积为________.〖答案〗〖解析〗取，连接，如图，所求几何体可以看作正方体去掉4个体积相同的三棱柱（如图中三棱柱），再去掉四个五面体（如图中）,五面体可分割为一个四棱锥与一个三棱锥，因为，,,所以，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）若等差数列的公差为，由，则，所以或，当时，，与，，成等比数列矛盾，排除；所以，则.（2）由（1）知：，则，所以.18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）已知，，求△ABC的面积.解：（1）由已知，所以，结合余弦定理，，化简得：，所以．（2）由正弦定理知，即，又，所以，显然，即，故，由，又，则，所以的面积.19.大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中的平均浓度（单位：），得到的数据如下表：城市编号汽车流量浓度城市编号汽车流量浓度11.3066111.8213521.4476121.439930.7821130.923541.65170141.445851.75156151.102961.75120161.8414071.2072171.114381.51120181.656991.20100191.5387101.47129200.9145（1）根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，大于等于属于空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？（2）设浓度为y，汽车流量为x.根据这些数据建立浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）.附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635，，，，在经验回归方程中，.解：（1）由表格，可得如下列联表，车流量小车流量大合计空气无污染819空气污染4711合计12820所以，故依据小概率值的独立性检验，能认为车流量大小与空气污染有关联.（2）由，，，，所以，则，故回归直线为.20.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.（1）证明：设线段的中点为，连接，因为，所以，又因为，所以，因平面，所以平面，平面，所以；（2）解：过点作垂直直线于，则有，因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，所以平面ABCD，连接，因为，，所以可得，而，所以四边形是菱形，而，所以四边形是正方形，因此建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，，同理可得平面的法向量为，，因为平面平面PBC，所以.21.已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.（1）求双曲线C的方程；（2）设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.（1）解：因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率，所以有；（2）证明：由题意可知直线存在斜率，所以直线的方程设为，，则有，设，则有，显然的坐标为，所以由，把代入上式，得，或当时，直线方程为，过定点，当时，直线方程为，过定点，不符合题意，因此直线过定点.22.已知函数.（1）求函数的零点；（2）证明：对于任意的正实数k，存在，当时，恒有.（1）解：，定义域为，，所以函数是上的减函数，而，所以函数的零点是；（2）证明：由（1）可知：当时，，即，因此有，进而有，当时，等价于，等价于，设三个数中最大的数为，所以当时，有.安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，故，所以.故选：D.2.若，则在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，则，所以对应点为，在第三象限.故选：C.3.在下列区间中，函数在其中单调递减的区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，，的减区间是，，只有选项B的区间，故选：B．4.由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（）A.161 B.162 C.163 D.164〖答案〗B〖解析〗设有个碳质骨架，，由已知可得，如果只有个碳质骨架，则骨架总数少于，所以，所以，且，又解得，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，故选：B.5.如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对B，由，知，但由图象知，故可排除B，对C，因为在上，而由函数图象知函数一个零点在上，而排除C；对D，由知，而由函数图象可知，故可排除D.故选：A．6.如图，在正四棱台中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示的正四棱台取上下两个底面的中心，连接，，，过点作底面的垂线与相交于点，因为四棱台为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线上，在上取一点为球心，连接，则，设，因为，所以，，所以为正方形，故必在延长线上，在中，，即，在中，，即，解得，所以，故选：D.7.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则恒成立，即在上单调递增，且，故，取，则，即，可得，即；令，则恒成立，即在上单调递减，且，故，取，则，即，可得，即；综上可得：的大小关系为故选：B.8.若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（）A.6 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为a，b，c均为正数，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知A，B为两个随机事件，且，，则（）A.B.若A，B为互斥事件，则C.若，则A，B为相互独立事件D.若A，B为相互独立事件，则〖答案〗BCD〖解析〗若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；若A，B相互独立事件，则也相互独立，即，又，而，故，D正确.故选：BCD.10.已知抛物线的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（）A.最小值为2 B.若，则C.若，则 D.若点P不在x轴上，则〖答案〗ABC〖解析〗点，抛物线的准线方程为，设，，所以点P在横轴上时有最小值2，所以选项A正确；若，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，把代入中，得，，此时，于是有，所以选项B正确；因为，显然点P不在横轴上，则有，所以直线方程为代入抛物线方程中，得，设，，，所以选项C正确，点P不在x轴上，由上可知：，，，而，显然，所以选项D不正确，故选：ABC.11.已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为定义域均为R的奇函数，所以，即，所以，即，所以，又为奇函数，所以，当时，，即，，故B正确；又，所以，故，即函数的周期为2，所以，，即，故D正确；由为奇函数可知，即的图象关于成中心对称，不妨取，则满足周期为2，关于中心对称条件，因为，，，可知AC错误.故选：BD.12.在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，顶角，点为AB的中点，记△OAB的面积，则（）A. B.S的最大值为6C.的最大值为6 D.点B的轨迹方程是〖答案〗ABD〖解析〗由，，为AB的中点，若且，则，故，整理得：，则轨迹是圆心为，半径为2的圆（去掉与x轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令在轨迹圆的上半部分，即，令，则，所以，则，所以，A正确；由，则S的最大值为6，B正确；由下图知：，所以无最大值，C错误；令，则代入轨迹得，即，所以轨迹为且，D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为________.〖答案〗〖解析〗由题意的通项公式为，令，故展开式中的常数项为，故〖答案〗为：14.已知椭圆与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则的值为________.〖答案〗〖解析〗由题意可知：，因为，所以，因为△ABF是等腰三角形，所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点，所以，故〖答案〗为：.15.已知平面向量，满足，，则的最大值为________.〖答案〗20〖解析〗不妨设，，则则，即，，取，，，设点在圆上，表示，因此的最大值为，从而最大值为．故〖答案〗为：20.16.如图，正方体的棱长为2，点E，F在棱AB上，点H，G在棱CD上，点，在棱上，点，在棱上，，则六面体的体积为________.〖答案〗〖解析〗取，连接，如图，所求几何体可以看作正方体去掉4个体积相同的三棱柱（如图中三棱柱），再去掉四个五面体（如图中）,五面体可分割为一个四棱锥与一个三棱锥，因为，,,所以，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）若等差数列的公差为，由，则，所以或，当时，，与，，成等比数列矛盾，排除；所以，则.（2）由（1）知：，则，所以.18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）已知，，求△ABC的面积.解：（1）由已知，所以，结合余弦定理，，化简得：，所以．（2）由正弦定理知，即，又，所以，显然，即，故，由，又，则，所以的面积.19.大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中的平均浓度（单位：），得到的数据如下表：城市编号汽车流量浓度城市编号汽车流量浓度11.3066111.8213521.4476121.439930.7821130.923541.65170141.445851.75156151.102961.75120161.8414071.2072171.114381.51120181.656991.20100191.5387101.47129200.9145（1）根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，大于等于属于空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为车流量大小