第5章二次根式（单元测试·培优卷）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

第5章二次根式（单元测试·培优卷）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023下·云南红河·八年级统考期末）使代数式有意义的x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．2．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）化简的结果是（

）A． B． C． D．3．（2023上·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．4．（2022下·上海闵行·七年级校考期末）下列与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．5．（2022下·广东阳江·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A．B．C． D．6．（2023下·湖北黄石·八年级统考阶段练习）已知x是实数，且，则的值是（

）A． B． C． D．或或7．（2021下·广东珠海·七年级统考期末）李老师设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数，乘以后再减去，输出结果．若小刚按程序输入2，则输出的结果应为（）A．2 B． C．﹣ D．38．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）若，则a的值所在的范围为（

）A． B． C． D．9．（2023下·重庆云阳·九年级校联考期中）对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（

）①；②，则；③；④对任意大于3的正整数，有．A．0 B．1 C．2 D．310．（2022下·福建龙岩·八年级统考期中）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，，记，，，…，，则的值为（

）A． B． C．100 D．5050填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）已知实数x，y满足，则的平方根为．12．（2022下·江西宜春·八年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为．13．（2021·北京·九年级专题练习）化简的结果为．14．（2021上·上海·八年级校考阶段练习）比较大小：（填上“＞”或“＜”）15．（2023下·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为．16．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）若表示不超过的最大整数，，则______．17．（2022上·上海嘉定·八年级统考期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是．18．（2021下·浙江金华·七年级统考期末）斜边与正方形边重合的四个全等的直角三角形图形如图所示放置，拼出了面积为4的小正方形，且小正方形的顶点刚好为每个直角三角形一条直角边的中点．（1）正方形的面积为；（2）点到线段的距离cm．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算．（1）． （2）．20．（8分）（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）计算．（1） （2）21．（10分）（2023下·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．22．（10分）（2023下·安徽亳州·八年级统考期末）（1）用“”，“”，“”填空：，，，．（2）观察上式，请用含a，b（，）的式子，写出你猜想的结论，并给出证明．23．（10分）（2023上·河南新乡·九年级校考开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当时，的最小值为_______；当时，的最大值为_______；（2）当时，求函数的最小值．24．（12分）（2023下·江西上饶·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________．（2）应用：化简．（3）拓展：__________．含的式子表示，为正整数）参考答案：1．C【分析】由于代数式既为分式又含二次根式，故的取值应当同时使分式和二次根式有意义．解：若使代数式有意义，则，即，解得：且，故选：C．【点拨】此题同时考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，要注意，二者必须同时成立才能使代数式有意义．2．B【分析】判断的符号，将还原成，再化简即可．解：，，，原式．故选：B．【点拨】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和有意义的条件是本题解题关键．3．D【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，被开方数含分数，不是最简二次根式，不符合题意；C、，被开方数含分数，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意．故选：D．【点拨】本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．4．B【分析】根据二次根式性质化简，再由同类二次根式定义逐项判断即可得到答案．解：，A、与不是同类二次根式，不符合题意；B、与是同类二次根式，符合题意；C、与不是同类二次根式，不符合题意；D、与不是同类二次根式，不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查同类二次根式的定义，熟记二次根式性质及同类二次根式的判定是解决问题的关键．5．D【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的性质对D进行判断．解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意；B、与不能合并，所以B选项不符合题意；C、原式，所以C选项不符合题意；D、原式，所以D选项符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．6．B【分析】根据二次根式有意义的条件可知，即，再由可得x的值，然后代入计算即可．解：∵，∴且，解得：，∴．故选B．【点拨】本题主要考查了二次根式有意义和代数式为0的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键．7．B【分析】首先用小刚按程序输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积减去，求出输出的结果应为多少即可．解：．故选：B．【点拨】此题主要考查了二次根式的加减法，解答此题的关键是要弄清楚先求什么，再求什么．8．D【分析】由题意知，，由，然后利用不等式的性质求解作答即可．解：，∵，∴，∴，即，故选：D．【点拨】本题考查了分母有理化，无理数的估算，不等式的性质．解题的关键在于利用分母有理化进行化简．9．C【分析】将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，，，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④．解：∵当时，，故①错误，∵，即解得：，经检验是原方程的解，故②正确；∵，，，，……∴，故③正确；∵，，，……∴，故④错误，故选：C．【点拨】本题考查了代数式求值，解分式方程，二次根式的运算，数字类规律题，掌握以上知识是解题的关键．10．C【分析】先计算，，的值，找出规律，然后求解即可．解：，，，，，，，，，故选：C【点拨】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．11．【分析】先利用被开方数有意义的条件求出x的值，代入后求y的值即可求解．解：由题意得：，∴，解得：，∴，∴，∴的平方根为，故答案为：．【点拨】本题考查平方根问题，关键掌握被开方式有意义的条件，会解不等式，会利用不等式求值，会求代数式的值与平方根，要认真阅读试题，清楚内容，了解要求，要有步骤地解决问题．12．3【分析】根据19-n是一个平方数即可求解．解：是整数，，且是平方数，又∵n为正整数且取最小值，∴取，此时，∴正整数n的最小值为3．故答案为：3．【点拨】本题考查了二次根式的意义，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简以及理解是整数的条件是解题的关键．13．【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解．解：原式．故答案为：．【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键．14．＞【分析】利用它们的倒数来进行比较．解：∵，又∵，∴．故答案为：＞【点拨】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小．15．68【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可．解：∵A，B为最简二次根式，且，∴，解得，∴，，，∴，解得，∴．故答案为：68．【点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键．16．【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到．解：，那么，∴，．故答案为：．【点拨】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．17．/【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，故答案为：．【点拨】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．18．20【分析】（1）根据拼出了面积为的小正方形，且小正方形的顶点刚好为每个直角三角形一条直角边的中点，即可得到，即可得到正方形的面积；（2）连接，则是的中线，依据，即可得到的长．解：（1）拼出了面积为的小正方形，且小正方形的顶点刚好为每个直角三角形一条直角边的中点，小正方形的边长为，，的面积，正方形的面积为．故答案为：20；（2）如图所示，连接，则是的中线，，，即，．故答案为：．【点拨】本题主要考查了全等图形以及三角形的面积，能够完全重合的两个图形叫做全等形，也考查了二次根式的化简．19．（1）；（2）．【分析】（）利用平方差公式即可求解；（）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，绝对值化简即可求解．（1）解：原式，，；（2）解：原式，．【点拨】此题考查了二次根式的混合计算，二次根式的性质化简，平方差公式，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．20．（1）；（2）【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，以及进行除法运算，再合并即可；（2）先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并即可．（1）解：原式；（2）原式．【点拨】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．21．（1）；（2）1【分析】（1）先计算，，，再根据，即可求出答案；（2）利用完全平方公式得，把的值代入即可．解：（1），，，，，；（2）原式．【点拨】此题考查了二次根式的化简求值和实数的运算，熟练掌握各自的性质及运算法则是解本题的关键．22．（1），，，；（2），理由见分析【分析】（1）计算后者的平方，再和前者被开方数进行比较即可；（2）由题意可知，，，可得，进而可知，即，两边同时开方可得，进而可得结论．解：（1）∵∴，∵∴，∵∴，，∴，故答案为：，，，；（2）猜想：；理由如下：∵，，则，，，∴，即：，∴，∴∴∴．【点拨】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，无理数比较大小，掌握相关运算及完全平方公式的变形是解决问题的关键．23．（1）2，；（2）11【分析】（1）根据题中的不等式求解即可；（2）先把代数式变形为，再根据题中的不等式求解即可．（1）解：，，，，