21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 人教版数学九年级上册教学课件

21.3实际问题与一元二次方程(第3课时)

第二十一章一元二次方程学习目标1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会一元二次方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型2.能根据几何图形的周长、面积，通过建立一元二次方程来解决问题，会检验所得结果是否合理.3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程进行描述.探究新知问题导入(60＋2x)(40＋2x)＝3500．假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它的总面积达到3500cm2，设木框宽度为xcm，你能列出等式吗？探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

如图，要设计一本书的封面，封面长为27

cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

（1）根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21＝9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推．设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

（2）设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为xcm，这样做有什么好处？列出的方程为整数式，方便计算．（3）解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？原方程可化为探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？

符合实际意义．当

时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况．探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

思考：如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？设中央矩形的长为9xcm，则宽为7xcm．列方程得

．即x2＝

，解得

（舍去）．∴上、下边衬的宽为

（cm），左、右边衬的宽为

（cm）．探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

练习：要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？设相框宽度为xcm，根据题意，得

．整理得，8x2＋204x－319＝0，解得

．∴x1＝

，x2＝

（不合题意，舍去）．∴x＝≈1.5．答：相框的宽度约为1.5cm．典例精析利用一元二次方程解决几何图形问题

2032xx解：设道路的宽为xm．可列方程例1如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？还有其他列方程的方法吗？方法一：整理，得x2－52x＋100＝0，解得x1＝2，x2＝50．当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．∴x＝2．答：道路的宽为2m．典例精析利用一元二次方程解决几何图形问题

解：设道路的宽为xm．可列方程(32－x)(20－x)＝540，整理，得x2－52x＋100＝0，解得x1＝2，x2＝50．当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．∴x＝2．答：道路的宽为2m．方法二：2032xx20－x32－x探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．典例精析利用一元二次方程解决几何图形问题

例2如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用58m的围栏围成面积为200m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC各是多少米？DCBA解：设AB长是xm．则(58－2x)x＝200，即x2－29x＋100＝0．解得x1＝25，x2＝4．当x＝25时，58－2x＝8；当x＝4时，58－2x＝50．答：羊圈的边长AB和BC各是25m，8m或4m，50m．探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解．需要注意联系实际问题选择合适的解．探究四利用一元二次方程解决几何图形问题

例3如图所示，在△ABC中，∠C=90°，

AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm，列方程解：若设出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得

x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².练一练【解析】1.如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好