2020年中考数学复习学案 反比例函数

考点10反比例函数

:,知识整合

一、反比例函数的概念

1.反比例函数的概念

一般地，函数y=-（是常数，#0）叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成y=kx-i的形

x

式.自变量的取值范围是加的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.

2.反比例函数y=-（是常数，*0）中，y的取值范围

反比例函数y=-（是常数，力0）的自变量的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围

X

也是非零实数.

二、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、

四象限.由于反比例函数中自变量四，函数归0,所以，它的图象与轴、y轴都没有交点，即双曲线的

两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

（2）性质：当＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随的增大而减小.

当＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随的增大而增大.

表达式y=-（是常数，和）

X

>0<0

大致图象白多

所在象限第一、三象限第二、四象限

增减性在每个象限内，y随的增大而减小在每个象限内，y随的增大而增大

2.反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线产和y=-,对称中心为原点.

3.注意

(1)画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各

点.

(2)随着II的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数y='中知

x

且月6

(3)反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情

况.当＞0时，在每一象限(第一、三象限)内y随的增大而减小，但不能笼统地说当＞。时，y随的增大

而减小.同样，当＜0时，也不能笼统地说y随的增大而增大.

三、反比例函数解析式的确定

1.待定系数法

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y=勺中，只有一个待定系数，因此只需要一

对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

k

(1)设反比例函数解析式为y=-(#0)；

X

(2)把已知一对，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数的方程;

(3)解这个方程求出待定系数；

(4)将所求得的待定系数的值代回所设的函数解析式.

四、反比例函数中I的几何意义

1.反比例函数图象中有关图形的面积

卜(外)

Ja1

一囚S5=2|川(P、

Ds&AOP_2S矩用OAPB=1A1

Px关于原点对称)

2.涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式求解.

(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积如图①，S=2S.=11；

/\/\DL/\/1LKJ

k

(2)如图②，已知一次函数与反比例函数y=一交于两点，且一次函数与轴交于点C,则尸S

+s=-OC'\y\+^-OC'\y\=-OC-(\yl+lyI)；

2A2B2A乙,

k

(3)如图③，已知反比例函数y=—的图象上的两点，其坐标分别为(X.，兀)，(X，y),C为AB

XAABB

延长线与轴的交点，贝US,AOB=S人八Boc=:℃lyl=ioc-(lyl-lyI).

△A。%△AOC2A2B2AB

五、反比例函数与一次函数的综合

1.涉及自变量取值范围型

k

当一次函数y,=勺％+匕与反比例函数y=一相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐

112X

标.针对I〉％时自变量的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的

的范围.例如，如下图，当y>y时，的取值范围为x>x或x<x<0同理，当y<y时，的取值

12AB;12

范围为0<x<x或x<x.

AB

2.求一次函数与反比例函数的交点坐标

(1)从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由值的符号决定

①值同号，两个函数必有两个交点；

②值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；

（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况.

六、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量

的取值范围.

峻多点考向,

考向一反比例函数的定义

1.反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量的分式，分子是不为零的常数，

分母不能是多项式，只能是的一次单项式.

2.反比例函数的一般形式的结构特征：①曲；②以分式形式呈现；③在分母中的指数为1.

典例引领

典例1下列函数中，y与之间是反比例函数关系的是

A.y=>/2B.3+2y=0

k2

C.y=-D.y=—~r

XX+L

【答案】A

【解析】A、冷三点属于反比例函数，故此选项正确.

B、3X+2尸0是一次函数，故此选项错误，

k

C、产一（40）,不属于反比例函数，故此选项错误；

x

D、产是丁与x+1成反比例，故此选项错误.

故选A.

变式拓展

x21

i.下列函数：①y=k；②丁二一；③y二一丁；④y=2x-i中，是反比例函数的有

2x2x

A.1个B.2个

C.3个D.4个

考向二反比例函数的图象和性质

当＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随

的增大而减小.

当＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随

的增大而增大.学科=网

双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两

个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）.

典例引领

k

典例2在同一坐标系中，函数产一和产-+3的大致图象可能是

x

【解析】A、由反比例函数图象得函数产乙（为常数，W0）中＞0,

x

根据一次函数图象可得-＞0,贝ko,则选项错误；

k

B、由反比例函数图象得函数尸一（为常数，W0）中＞0,

x

根据一次函数图象可得-＞0,贝!1＜0,则选项错误；

k

C、由反比例函数图象得函数尸一（为常数，W0）中＜0,

x

根据一次函数图象可得-＜0,则＞0,则选项错误;

D、由反比例函数图象得函数尸勺（为常数，W0）中>0,

x

根据一次函数图象可得-<0,则>0,故选项正确.

故选D.

3

典例3反比例函数y=一-的图象在

X

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

【答案】D

【解析】因为左=一3<0,故图象在第二、四象限，故选D.

k

典例4已知点A（1,m）,B（2,〃）在反比例函数,=一（左<。）的图象上，则

X

A.m<n<QB.n<m<Q

C.m>n>0D.n>m>0

【答案】A

kk

【解析】・・,反比例函数丁二一（左<。），它的图象经过A（1,m）,B（2,几）两点,.*.m=<0,n=­<0,

x

m<n<0,故选A.

变式拓展

4

2.对于函数，=一，下列说法错误的是

x

A.这个函数的图象位于第一、第三象限

B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C.当>0时，y随的增大而增大

D.当<0时，y随的增大而减小

3.下列函数中，当<0时，y随的增大而减小的是

A.y=B.y=2-l

31

C.y=—D.y=——

xx

kkk

4.如图是三个反比例函数尸一，尸一，尸T在轴上方的图象，由此观察得到23的大小关系为

XXX12

C.2>3>1D,3>1>2

考向三反比例函数解析式的确定

i.反比例函数的解析式y=-（响）中，只有一个待定系数，确定了值，也就确定了反比例函数，因此

X

要确定反比例函数的解析式，只需给出一对，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入y=/中即可.

x

2.确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于

点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上.（2）把点的横、纵坐标

相乘，若乘积等于，则点在图象上，若乘积不等于，则点不在图象上.

典例引领

典例5若反比例函数的图象经过点（3，-2）,则该反比例函数的表达式为

66

A.y=-B.y=一一

XX

33

c.y=-D.y=-—

XX

【答案】B

k

【解析】设反比例函数为：丁二一・・・•反比例函数的图象经过点（3,-2）,A=3x（-2）=-6.故反比

x

6

例函数为：y=——，故选B.

X

典例6如图，某反比例函数的图象过点M（-2,1）,则此反比例函数表达式为

22

A.y=一B.y=---

xx

11

C・y=—D.y=~~

2x2x

【答案】B

2

【解析】设反比例函数表达式为〉=一，把M(-2,1)代入y=一得,(-2)xl=-2,y——,故

XXx

选B.

典例7如图’g是反比例函数户:在第一象限内的图象’且过点A(2,

，与g关于轴对称，那么

图象C2对应的函数的表达式为

2

【答案】y=—

x

【解析】：C2与C］关于轴对称,

点A关于轴的对称点A'在C2上,

•.•点A(2,1),

.•*'坐标(2,-1),

2

对应的函数的表达式为、=-一

2X

2

故答案为y=----.

x

变式拓展

6

5.已知反比例函数尸-一，下列各点中，在其图象上的有

x

A.(-2,-3)B.(2,3)

C.(2,-3)D.(1,6)

6.点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5,则轴的距离为3,若点A在第二象限内，则这个

函数的解析式为

1212

A.y=—B.y=---

xx

11

C.y=---D.y=-~-

’12x’12x

2

7.在平面直角坐标系中，点P(2,a)在反比例函数尸一的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平

x

移3个单位得到点°,则经过点Q的反比例函数的表达式为一

考向四反比例函数中的几何意义

三角形的面积与的关系

k

(1)因为反比例函数丁=一中的有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上

X

绝对值符号.

(2)若三角形的面积为gII,满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此

点向坐标轴所作垂线的垂足.

典例引领

典例8如图，点A为函数y=与(>0)图象上的一点，过点A作轴的平行线交y轴于点2,连接如

X

果05的面积为2,那么的值为

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

一1

【解析】设点A坐标为(如n),则有0B=n,由题意可得：—mn=2,所以加2=4,又点A在

tt、k

双曲线y=—上，所以4w=4,故选D.

k

典例9如图，已知双曲线y=一经过直角三角形。45斜边05的中点。，与直角边A3相交于点C,若4

x

05。的面积为9,则=.

【答案】6

【解析】如图，过点D作x轴的垂线交x轴于点号

,：AODE的面积和△Q.4C的面积相等.

「.△O5C的面积和四边形DE.45的面积相等且为9.

设点D的横坐标为4纵坐标就为-,

X

•••D为0B的申点.二.E^x,AB=—,

X

]k2k

二四边形DE48的面积可表示为：-（一^---）A9；M5.

2xx

故答案为：6.

【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面

积等于II,结合函数图象所在的象限可以确定的值，反过，根据的值，可以确定此矩形的面积.在解决反

比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到的几何意义，以简化运算.

变式拓展

4

8.如图，A、3两点在双曲线丁二'的图象上，分别经过43两点向轴作垂线段，已知S阴影=1,则Sj+S?=

A.8B.6

C.5D.4

k

9.如图，点A,3是反比例函数尸一(>0)图象上的两点，过点A,B分别作AC_L轴于点C,8D_L轴于

x

点。，连接04、BC,AA”为

A.2

C.4D.6

k

10.如图，等腰三角形A5C的顶点A在原点，顶点5在轴的正半轴上，顶点C在函数产一(>0)的图象

x

上运动，S.AC=BC,则△A8C的面积大小变化情况是

A.一直不变

C.先减小后增大D.先增大后不变

考向五反比例函数与一次函数的综合

反比例函数与一次函数综合的主要题型：

(1)利用值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；

(2)已知直线与双曲线表达式求交点坐标；

(3)用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；

(4)应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等.

解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题.

典例引领

1

典例10在同一平面直角坐标系中，函数y=—-与函数产的图象交点个数是

X

A.0个B.1个

C.2个D.3个

【答案】A

【解析】•.•广的图象是过原点经过一、三象限，y=-1的图象在第二、四象限内，但不过原点，...两

x

个函数图象不可能相交，故选A.

k_

典例11已知一次函数匕=+6与反比例函数为=—在同一直角坐标系中的图象如图所不，则当％勺2时，

X

的取值范围是

A.<-1或0«3

C.-l«0D.>3

【答案】B

k

【解析】根据图象知，一次函数为=+。与反比例函数>2=一的交点是(T，3),(3,-1),・,•当无<%

时，-1<<0或>3,故选B.

【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数

形结合思想的应用.

1「k

典例12如图，已知直线y=-彳+师与双曲线y=—(>0)交于A、B两点,连接04,若。则

3x

的值为

9

A'10

10

D27屈

c9M

-10’10^

【答案】B

【解析】如图，过A作AE，。。于E,

]LLL

:直线解析式为y=-1+M，；.C（0,回）,D（3<10,0）,

OC=回,0D=3回,RtACOD中，CD==10,

11

'：OA±AB,：.-COXDO=-CDXAO,

.•.40=3,：.AD=yjOD2-OA2=9,

119M

'：-ODXAE=-AOXAD,：.AE=-

2210

RtAAOE中,0E=y]AO2-AE2=卜—（2^）2=⑶唱

♦Y9师

--------）,

10

k3x/io9x/io27

••・代入双曲线产一，可得=会匕xr’u―一

■xio1010

故选B.

变式拓展

k

11.已知反比例函数广一(=A0,当>0时，y随的增大而增大，那么一次函数尸-的图象经过

x

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

m

12.如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=+b和反比例函数尸一的图象的两个交点.

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式;

(2)求"OB的面积.

考向六反比例函数的应用

用反比例函数解决实际问题的步骤

(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；

(2)设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；

(3)歹IJ：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；

(4)写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；

(5)解：用函数解析式去解决实际问题.

典例引领

典例13某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min,之后将对泄漏有害气体进

行清理，线段。E表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间(min)之间的函数关系(0WW

k

40),反比例函数尸一对应曲线所表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间(min)

之间的函数关系(40WW?).根据图象解答下列问题:

(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________;

(2)求反比例函数尸的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应

的值.

【解析】(1)当0WxW40时，设y与x之间的函数关系式为尸原-力,

(10,35>和(30,65)在js-b的图象上，

把(10,35)和C30,65)代入产s-匕，得

J10a+b=35,Ja=L5

|30a+6=65'"|b=20'

.,.v=lJjf+20,

mx=0时，产L5X0-20=20,

故答案为：20,

(2)将=40代入y=l.5+20,得y=80,.•.点E(40,80),

k

・・•点七在反比例函数尸一的图象上，

x

k

80=——，得=3200,

40

3200

即反比例函数广——，

x

3200

当尸20时，20=-------,得=160,

x

即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应的值是160.

变式拓展

13.如图为某种材料温度y(℃)随时间(min)变化的函数图象.已知该材料初始温度为15℃,温度上升

阶段y与时间成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度

y与时间成反比例关系.

(1)分别求该材料温度上升和下降阶段，y与间的函数关系式；

(2)根据工艺要求，当材料的温度高于30C时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？

以

加

50|

40|

川

20|

15|

10-|

。51015M分钟)

、声点冲美・

1.下列函数中，y是的反比例函数的是

1

A.(y1)=1B.y=--

x—5

k—8

2.已知反比例函数广——的图象位于第一、三象限，则的取值范围是

x

A.>8B.>8

C.<8D.<8

k

3.已知反比例函数尸一的图象过点A(-3,2),则的值为

X

A.3B.6

C.-6D.-3

k

已知点

4.A(2,%1)、B(4,y2)都在反比例函数丁=一(<0)的图象上，则兀、%的大小关系为

A.B.犷2

c-fD.无法确定

5.如图，在平面直角坐标系工。〉中，函数y=kx+bQw°)与y="(小/0)的图象相交于点

X

A(2,3),B(-6,-1),则不等式kx+b>—的解集为

X

A.x<-6B,一6Vx<0或x>2

C.x>2D.%<—6或0<x<2

k一

6.如图，点A、点5是函数尸一的图象上关于坐标原点对称的任意两点，轴，AC〃)轴，的

x

面积是4,则的值是

A.2B.±4

C.2D.±2

a2a

7.反比例函数产一（。〉0,，为常数）和广一在第一象限内的图象如图所示，点M在产一的图象上，MC

XXX

22a

J_轴于点C,交产一的图象于点A;轴于点。，交尸一的图象于点B.当点M在"一的图象

XXX

上运动时，以下结论：①力广②四边形的面积不变；③当点是的中点时，则点

S/\U0L）Ds△C/CAO4M5A

C.2个D.3个

8.如图，平面直角坐标系Oy中，矩形0A8C的边。4、0C分别落在、y轴上，点8坐标为（6,4）,反

6

比例函数尸一的图象与边交于点。，与BC边交于点E,连接。E,将沿DE翻折至AB'DE

x

处，点8恰好落在正比例函数尸图象上，则的值是

A.

5

11

c.D.

524

9.如图，直线产与双曲线y=^Q〉O）的一个交点为A,且。4=2,则的值为.

x

23

10.如图，直线分别与反比例函数,=--和y=-的图象交于点4和点8,与y轴交于点尸，且尸为线段

xx

AB的中点，作AC,轴于点C,2D，轴交于点。，则四边形ABC。的面积是,

k

11.如图，正方形ABC。的边长为2,AO边在轴负半轴上，反比例函数产一（＜0）的图象经过点B和C。

x

边中点E,则的值为1

k

12.如图，已知点尸（6,3）,过点P作轴于点M,PNLy轴于点N,反比例函数尸一的图象交

x

于点A,交PN于点、B.若四边形。4PB的面积为12,贝卜

k.

13.如图，已知反比例函数y一与一次函数y=+6的图象在第一象限相父于点A(1,-+4).

(1)试确定这两个函数的表达式；

(2)求出这两个函数图象的另一个交点8的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的

值的的取值范围.

14.如图，一次函数y=+b(、b为常数,#0)的图象与轴、y轴分别交于A、2两点，且与反比例函数产一

x

5为常数，且存0)的图象在第二象限交于点C.轴，垂足为。，若02=204=300=12.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CZ5E的面积；

n

(3)直接写出不等式+后一的解集.

15.一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其由8、

BC为线段，CD为双曲线的一部分）.

（1）分别求出线段A8和双曲线CD的函数关系式;

（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家

（硼）

k

1.（2018•辽宁省阜新市）反比例函数尸一的图象经过点（3,-2）,下列各点在图象上的是

x

A.（-3,-2）B.（3,2）

C.（-2,-3）D.（-2,3）

1

2.（2018•甘肃省天水市）函数y尸和为=一的图象如图所示，则为＞为的取值范围是

A.<-1或>1B.<-1或0<<1

C.一1<<0或>1D.-1<<0或0«1

一k

3.（2018•黑龙江省大庆市）在同一直角坐标系中，函数产一和y=-3的图象大致是

X

A4

c

31

4.（2018•广西玉林市）如图，点A,8在双曲线产一（>0）上，点C在双曲线尸一（>0）上，若AC

XX

〃y轴，BC〃轴，且AC=BC则AB等于

八

qr

A.躯B.20

C.4D.3y/2

5.（2018•吉林省长春市）如皆q,在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在轴、y

k

轴的正半轴上，ZABC=90°,CU轴，点C在函数=（>0）的图象上，若32,则的值为

A.4B.272

C.2D.0

6.（2018•广西贺州市）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数）］=+b（、b是常数，且，0）与反比

例函数为二£（。是常数，且W0）的图象相交于A（-3,-2）,B（2,3）两点，则不等式的解

集是

A.-3«2B.<-3或>2

C.-3<<0或>2D.0«2

8

7.（2018•山东省日照市）已知反比例函数尸-一，下列结论：①图象必经过（-2,4）；②图象在第二，

X

四象限内；③y随的增大而增大；④当＞-1时，则＞8.其中错误的结论有

A.3个B.2个

C.1个D.0个

k

8.（2018•四川省攀枝花市）如图，已知点A在反比例函数y=-（＞0）的图象上，作Rt^ABC,边BC

x

在轴上，点。为斜边AC的中点，连接。8并延长交y轴于点及若△BCE的面积为4,贝卜.

9.（2018•四川省泸州市）一次函数y=+b（邦）的图象经过点A（2,-6）,且与反比例函数产---的图

x

象交于点3（。，4）.

（1）求一次函数的解析式；

6

（2）将直线A3向上平移10个单位后得