汉中市重点中学2023-2024学年高考数学一模试卷含解析

汉中市重点中学2023-2024学年高考数学一模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.总体由编号01,,02,…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1

行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

2.若复数z=£(i为虚数单位),

则口()

2-z

A.2+zB.2-zC.l+2zD.l-2z

2X-x,x..0,

3.已知函数/(%)=,则—))=()

x2+1,x<0,

A.2B.3C.4D.5

4.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=ax-ax+2(a>0且awl),若g(2)=a,则

函数了(必+2%)的单调递增区间为()

A.(-1,1)B.(-<»,1)C.D.(-1,+<»)

22

5.已知椭圆=+「=l(a>b>0)与直线交于A,B两点,焦点歹(0,-c),其中c为半焦距，若△A3尸是直角

a2b2ab

三角形，则该椭圆的离心率为()

A^5-1口A/3-1„A/3+1NA/5+1

2244

6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说:

甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是()

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

7.（3/+/）（2—4）8展开式中x2的系数为（）

X

A.-1280B.4864C.-4864D.1280

x+y<2

8.设变量羽y满足约束条件2x-3yV9,则目标函数z=2x+y的最大值是（）

x>0

A.7B.5C.3D.2

9.直三棱柱ABC—A旦G中，CA=CC、=2CB,AC±BC,则直线5C1与A片所成的角的余弦值为（）

A.且B.正C.拽D.-

5355

10.已知不同直线/、相与不同平面£、/，且/ua,mu/3，则下列说法中正确的是（）

A.若。〃/?,则"nB.若a10,贝（

C.若11/3,则D.若,则冽，a

11.已知点A是抛物线f=4〉的对称轴与准线的交点，点E为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|卓|=7司尸同，

若山取得最大值时，点P恰好在以AF为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）

A.V3-1B.V2-1C.且D.包二1

22

12.已知R为实数集，A={%|x2-l<0},B=则A&可=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x|O<x<l}C.{x|-l<x<0}D.{x|-l<x<O^x=l}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线C：二？一%=1（^>。>0）的左、右焦点为月，B，尸（2,0）为双曲线C上一点，且冒=3,

若线段PFX与双曲线C交于另一点A,则NPA*的面积为.

14.动点尸到直线x=-l的距离和他到点尸（1,0）距离相等，直线A5过（4,0）且交点P的轨迹于A,B两点，则以

为直径的圆必过.

15.已知向量。=（2,7%）,6=（1,—2）,且4，人则实数，"的值是.

16.函数y=G'sinxcosx+cos?尤在区间（0,—j上的值域为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了

某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000],（2000,4000],

（4000,6000],（6000,8000],（8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000

元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X,求X的分布列和数学期望.

x=l+cosa

18.（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（a为参数.0Wa<2»）.以坐标原点

y=sma

jr

。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为9=]（夕eR）,曲线。与直线/其中的一个交点

JF

为A,且点4极径R•极角

（1）求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；

（2）已知直线根的直角坐标方程为x-百>=0,直线机与曲线C相交于点3（异于原点。），求AAO3的面积.

19.（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后，就顾客“购物体验”

的满意度统计如下：

□满意不满意

H□□

0EJM

（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？

（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情

况如下：

购物卡支

支付方式现金支付APP支付

付

频率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾

优惠方式按8折支付

付客按8折支付

将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X,求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

附表及公式:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

网片.人）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）设函数/（x）=2sinx+|。一3|+|a—1|.

（1）若求实数。的取值范围；

（2）证明：MxeH,/（x）2|a—3|一工+1恒成立.

a

21.（12分）已知椭圆C：q+==l（a〉6〉0）与抛物线y2=4x有共同的焦点，且离心率为巫，设耳，工分别是

a~b2-2

A,8为椭圆的上下顶点

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（0,2）与x轴不垂直的直线/与椭圆。交于不同的两点当弦MN的中点尸落在四边形耳内（含

边界）时，求直线/的斜率的取值范围.

1,

22.（10分）已知函数/（x）=］以~一（a+l）x+lnx,aeR.

（1）当a=0时，求曲线/（x）在点（2,/（2））的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01,所以第5个个体是01,选D.

考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.

2^B

【解析】

根据复数的除法法则计算z,由共朝复数的概念写出三,

【详解】

55(2+/)10+5z..

■z=--=-------=----=2+i,

2-i(2-z)(2+z)5

■-z=2-i,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了复数的除法计算，共物复数的概念，属于容易题.

3、A

【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.

【详解】

2X—xx0

因为/'(%)=,1,二所以/(/(—1))=/(2)=22-2=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

4、D

【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，进而求出。，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.

【详解】

依题意有/(x)+g(x)=a、—+2,①

f(~x)+g(-x)=a~x-ax+2=-/(x)+g(x),②

①—②得/(%)=ax-a-\g(x)=2,又因为g(2)=a,

所以a=2"(x)=2'-2r,/(x)在R上单调递增，

所以函数/(无2+2%)的单调递增区间为(-!,+<»).

故选:D.

【点睛】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

5、A

【解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A,8两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于“力,。的关系式，解方程求解即可.

【详解】

[22

匕+土=1

/b2~x=0[x=-b

联立方程,解方程可得或八

2-^=1y-a[y=0

、ab

不妨设由题意可知，

A(0,a),B(-bf0),BA'BF=0,

因为R4=(反a),BF=(b,-c),

由平面向量垂直的坐标表示可得，b-b-ac=0,

因为廿=6—°2,所以〃/=加,

两边同时除以/可得，e2+e-i=0,

解得右半或八三城(舍去),

所以该椭圆的离心率为国.

2

故选：A

【点睛】

本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平

面向量垂直的坐标表示得到关于a,dc的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

6、C

【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】

解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意,

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：C.

【点睛】

本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

7、A

【解析】

根据二项式展开式的公式得到具体为:

【详解】

根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出3d项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出第二个括号里

X

出3，具体为：（3X3）Cg27+/•Cg26

化简得到-1280x2

故得到答案为：A.

【点睛】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第厂+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出厂值，最后求出

其参数.

8、B

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把

最优解的坐标代入目标函数得结论.

【详解】

x+V<2

画出约束条件2x-3yW9,表示的可行域，如图,

x>0

x+y-2=0尤=3

由<可得

2x-3y-9=0y=—1'

将z=2x+y变形为y=-2x+z,

平移直线y=-2x+z，

由图可知当直y=-2x+z经过点（3,—1）时，

直线在y轴上的截距最大，

z最大值为z=2x3—1=5,故选B.

【点睛】

本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、

三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变

形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

9、A

【解析】

设CA=CG=2C3=2,延长4耳至。，使得4用=用。，连BD,Cp,可证A与/AB。，得到/。刀。（或补角）

为所求的角，分别求出BG，A5i，G。，解GBD即可.

【详解】

设G4=CG=2C3=2,延长A耳至。，使得4用=用。，

连BD,C[D,在直三棱柱ABC—中，43//4片,45=4用，

AB//B}D,AB=BtD,四边形ABDB}为平行四边形,

.-.ABJ/BD,..ZQBD（或补角）为直线BG与A与所成的角,

在放△BCG中，BC[=《CC；+BC2=小,

2

在用△A4G中,4瓦=7ACI2+5IG2=品cosNBiAG=

在AC。中,

££)2=4。2+4。2-2AJAOCOS/8]4G=4+20-16=8,

在RtAAA^B,中，AB|=+=3,/.BD=AB]=3,

BC：+BD?-CP?5+9-86

在Bq。中，cosZQBD=

2BC〔BD6A/5-5

故选：A.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.

10、C

【解析】

根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

【详解】

对于A,若。〃分，则/,根可能为平行或异面直线，4错误；

对于3,若则。加可能为平行、相交或异面直线，B错误;

对于C,若1工。,且/ua,由面面垂直的判定定理可知。上分，C正确；

对于。，若。，尸，只有当机垂直于名，的交线时才有机，。，。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.

11、B

【解析】

设P（x,y）,利用两点间的距离公式求出机的表达式，结合基本不等式的性质求出M的最大值时的P点坐标，结合椭

圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.

【详解】

设P（x,y）,因为A是抛物线d=4》的对称轴与准线的交点，点歹为抛物线的焦点，

所以4(0,—1)，/(0,1),

当y=0时，m=l9

当且仅当y=l时取等号，，此时

\PA\=2y/2,\PF\=2,

点P在以A,P为焦点的椭圆上，2c=\AF\=2,

•••由椭圆的定义得2a=|PA|+|PF|=2A/2+2,

c2c2/—.

所以椭圆的离心率=五二5=应-1,故选B.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率

有以下几种情况：①直接求出J从而求出e；②构造a,c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定

义来求解.

12、C

【解析】

求出集合A,B,黑B,由此能求出A（5RB）.

【详解】

H为实数集，4=息|/_啜0}={幻_1y?i},B={x\-^}={x\G<x1},

\B={x|0或x>1},

.'.A-03）={x|-掇Jc0}.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由已知得归娟=3|。阊即归耳「=9|PK『，归与「=（2一4+2,可解得j由网2,0）在双曲线C上,代入即可求得

双曲线方程,然后求得直线尸耳的方程与双曲线方程联立求得点A坐标，借助5“肥=S\PF\F2~9即可解得所求.

【详解】

由已知得归耳1=3归闾，又|PK「=（2+c『+2,|P^|2=（2-C）2+2,所以（2+cy+2=9[（2—c『+2],解得

4242

2

所以19一声或1a2b，所以《（舍去），因

a2+b2-9a2+b2=4

此双曲线。的方程为蚤-9=1.又打（―3.0）,所以线段尸耳的方程为歹=?（%+3）,与双曲线。的方程联立消去

X整理得8y2—10匹y+4=0,所以％=乎，％=及，所以点A坐标为一（，¥，所以

<6x6工6义昱=也

44

【点睛】

本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，考查求三角形面积，考查学生的计算能力，难度较难.

14、（0,0）

【解析】

利用动点P到直线％=-1的距离和他到点b(L0)距离相等，，可知动点P的轨迹是以b(1,0)为焦点的抛物线,从而可

求曲线的方程，将y=4),代入y2=4x,利用韦达定理，可得=0，从而可知以A5为直径的圆经过

原点O.

【详解】

设点P(x,y),由题意可得x+]=J(无一1)2+y2,(x+l)2=(x—l)2+y2,X2+2x+l=x2-2x+l+y2,可得

y2=4x,设直线AB的方程为y=4),代入抛物线可得

左2%2—4(2/+1b+16左2=0，%马=16,X,+x2=(/——-，

.•.%%=〃(％-4)(士-4),

石光2+K%=(公+1)石龙2—4左2(X]+9)+16左2

=16(左2+1)—4左28：：4+]612=o,

OAOB=0＞以AB为直径的圆经过原点。.

故答案为：(0,0)

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，

属于中档题.

15、1

【解析】

根据即可得出「0=2—2根=0，从而求出机的值.

【详解】

解：＜;

；・〃・b=2-2m=0；

故答案为：L

【点睛】

本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算.

16、[0，|_

【解析】

由二倍角公式降幕，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域.

【详解】

y=73sinxcosx+cos2x=—sin2x+^-^^=—sin2x+-cos2x+-=sin[2x+-^+-

22222{62I2；

•■-2X+fef贝！)sin+7e41

,sin2”71+\。，|.

62

故答案为：（o,|].

【点睛】

本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值.求解三角函数的性质的

性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3360元；（2）见解析

【解析】

（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；

（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值.

【详解】

（1）记每个农户的平均损失为彳元，则

元=1000X0.3+3000X0.4+5000x0.18+7000x0.06+9000x0.06=3360；

（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）x2000x50=15（户），损失超

过8000元的农户共有0.00003x2000x50=3（户），

随机抽取2户，则X的可能取值为0,1,2；

计算P(x=0)=乎=器,

比535

C11

匕12匕312

P(X=l)

C235

^15

所以X的分布列为;

X012

P22121

353535

数学期望为E(X)=0xg1+lx景+2x±=V.

3535355

【点睛】

本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题.

18、(1)极坐标方程为Q=2COS。，点A的极坐标为，，⑵县

4

【解析】

(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可5

(2)只需算出A、B两点的极坐标，利用S=1■以夕Blsin(4-

-4)1计算即可.

【详解】

x=1+cosa

(1)曲线C：\为参数,0＜。＜2万)

y=sma

o(x-l)2+y2=1O%2+＞2=2%=22=2pcos0op=2cos8,

TF

将6=§代入，解得夕o=l,

即曲线C的极坐标方程为Q=2cos夕，

点A的极坐标为

(2)由(1),得点A的极坐标为

由直线机过原点且倾斜角为《，知点8的极坐标为]点看.

SMBO=gxlx6xsin[g—W(字.

【点睛】

本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础

题.

19、(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；(2)67元，见解析.

【解析】

(1)根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；

(2)X的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.

【详解】

(1)由题得

天2_200(40x40-80x40)2

5.556>5.024,

-120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.

(2)由题意可知X的可能取值为40,60,80,1.

1113

p(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=-x60%=—,

p(X=80)=30%+|x60%=|,P(X=90)=10%/.

则X的分布列为

X4060801

1321

P

510510

1321

所以，EX=40x-+60x—+80x-+90x—=67(元).

510510

【点睛】

本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分

析，数学运算的能力，属于中档题.

20、(1)(-W,0)L(4,4W)(2)证明见解析

【解析】

(1)将不等式化为|a-3|+|a-1|>4,利用零点分段法，求得不等式的解集.

(2)将要证明的不等式转化为证VxwH,2sinx2-|a-1|-4+1恒成立，由2sinx的最小值为-2,得到只要证

a

即证122,利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.

aa

【详解】

n

(1)•:于>6,.12+1a—31+1a—11>6,即|a—3|+|a—1|>4

a—3+a—1>4

当。之3时，不等式化为9・•a>4

a>3

(3—a)+(tz—1)>4

当l<a<3时，不等式化为1<«<3'此时.无解

(3—ci)+(1—ci)>4

当aWl时，不等式化为9••av0

a<\

综上，原不等式的解集为（Y,0）_（4,4W）

（2）要证也£火，/（%）才。—3|一1+1恒成立

a

即证VxwH,2sinx>—\a—\\----Fl恒成立

a

:2sinx的最小值为-2,・,•只需证—22—|a—11-----\-1,即证|a—1|T----卜1N2

aa

XI(2-1|+—+1>(2-1+—+1

aa

・・・|a—1|+,+122成立，，原题得证

a

【点睛】

本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分

类与整合思想.

21、(1)—+y2=l(2)k>l+^-^k<-l~—

222

【解析】

（1）由已知条件得到方程组，解得即可；

（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为Y=区+2,屈（小乂）,可（七%）,联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理,

由/>0得到左2的范围，设弦MN中点坐标为P（x。,%）则x°=受产,%=些7>0,所以尸在X轴上方，只需

—Vn+10

位于AA片层内(含边界)就可以，即满足।八，得到不等式组，解得即可

一&+%T<0

【详解】

a=V2

解：(1)由已知椭圆右焦点坐标为(1,0),离心率为

b=l

所以椭圆的标准方程为y+

(2)由题意得直线的斜率存在，设直线方程为、=区+2,河(玉,％),阳尤2，%)

%，+2V，=2%女6

联立〈■,消元整理得（2左2+1）必+8&+6=0,x.+x^=------——,x.x2=--——

y=kx+2-2k2+12k2+1

3

由A=64/—4（2左2+1）义6