2023届四川省九市联考（雅安、眉山、资阳、遂宁、广安、广元、自贡、内江、乐山）高三下学期第二次诊断数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省九市联考（雅安、眉山、资阳、遂宁、广安、广元、自贡、内江、乐山）2023届高三下学期第二次诊断数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，故．故选：C．2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（）A.20 B.40 C.60 D.88〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.故选：C.4.已知，，则（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由二倍角的正弦、余弦公式代入化简即可得出〖答案〗.【详析】由可得：，则，因为，所以，所以，则.故选：B.5.过直线：上的点作圆：的切线，则切线段长的最小值为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设直线上任意一点为P，过P作圆的切线，切点为M，圆C圆心C为，半径，则，要使最小，则最小，易知最小值为圆心C到直线l的距离．即，∴．故选：B．6.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数〖解析〗式可以为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A正确；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B错误；对于C，函数，因为，故C错误；对于D，函数，，故D错误，故选：A．7.已知函数，则（）A.有2个极大值点 B.有1个极大值点和1个极小值点C.有2个极小值点 D.有且仅有一个极值点〖答案〗D〖解析〗，因为（当且仅当时取等号），则当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极小值点为，没有极大值点，即函数有且仅有一个极值点.故选：D.8.将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数可以是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数．故选：D．9.已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为()A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗如图，连接，则⊥平面ABCD，且，由题可知∥，又∵平面ABCD，平面ABCD，∴∥平面ABCD，∴点到平面ABCD的距离与点到平面ABCD的距离相等．故选：B．10.已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则()A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗设，，由题知，，故，则，由，即，即，解得，则，则．故选：C．11.在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.翻折前，在中，，，为的中点，则，且，翻折后，则有，，又因为，、平面，所以，平面，由已知，则是边长为的等边三角形，将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，所以，的外接圆直径为，所以，三棱锥的外接球直径为，则，因此，三棱锥的外接球表面积为.故选：C.12.已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线，则离心率为___________.〖答案〗〖解析〗在双曲线中，，，，因此，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.已知，，，则实数______.〖答案〗〖解析〗由已知得，，，解得.故〖答案〗为：.15.中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，则.当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.故〖答案〗为：.16.《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则___________.〖答案〗〖解析〗阴影部分面积为：由图可知：，所以则，因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，所以，，即，则解得：，因为，所以.故〖答案〗为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：一般良好合计男20100120女305080合计50150200（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？（2）利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.解：（1），有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.（2）因为“效果较好”的男客户和女客户的人数之比为，即为，所以抽取的名客户中，男生有名，记为，，，，女生有名，记为，，从这人中选取人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个.其中至少一名女生的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.所以，抽取的名客户中至少有名女性的概率为.18.已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，是公比大于0的等比数列，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.解：（1）设公差为，公比为，则由题可得数列的前3项的和，因为，所以，所以，又因为，所以解得或（舍），所以.（2）由（1）可知，，所以的前项和为：.所以19.如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.（1）证明：平面平面ABC；（2）若，，，求三棱锥的体积.（1）证明：如图，设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF．∵平面ABC，平面ABC，∴，又∵，∴平面PNE，∴，同理在，中，，∴∴在，中，，∴，∴，即N到AB，AC的距离相等同理N到BC，AC距离相等，故N为的内心，N与H重合∴平面ABC，又∵平面APM，∴平面平面ABC，（2）解：由已知可得，设的内切圆半径为r，则，故，因为H为的内心，所以AH平分，所以，，所以，，故的面积为，因为，所以，所以，得，所以，，故三棱锥的体积为．20.已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.（1）求证：为常数；（2）证明直线MN过定点.证明：（1）∵椭圆过A和T，∴解得，∴椭圆的方程为：，由知与关于直线对称．在上任取一点，设关于直线AT对称的点为，则，解得，从而，于是．（2）设点，：．由得，∴，从而．同理，．由(1)有，故，，为方便，记，则，，∴，即．由此可知，当变化时，直线过定点．21已知函数有两个极值点、.（1）求的取值范围；（2）若时，不等式恒成立，求的最小值.解：（1）因为，该函数的定义域为，且，因为函数有两个极值点，所以，方程有两个不等的实数根，则方程有两个不等的实根，令，其中，则，令可得，列表如下：增极大值减所以，函数的极大值为，且当时，；当时，.如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且交点横坐标为、，当或时，；当时，.此时，函数有两个极值点，合乎题意，因此，实数的取值范围是.（2）由（1）可知，函数的两个极值点、是方程的两个根，且，，则有，，等式与等式相除可得，则有，由可得，即，即，因为，则，令，则，可得，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，即，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，则.因此，实数的最小值为.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，，求.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，根据，，可得，即，所以曲线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），化为标准形式为（为参数），代入曲线的直角坐标方程为，得到，即，设两点对应参数分别为，则有，由参数的几何意义，得到.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数.（1）解不等式；（2）令的最小值为，正数，，满足，证明：.（1）解：当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上所述，不等式的解集为；（2）证明：由题，当且仅当即时取“等号”，故的最小值，即，则，,当且仅当，即，时取等号,所以.四川省九市联考（雅安、眉山、资阳、遂宁、广安、广元、自贡、内江、乐山）2023届高三下学期第二次诊断数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，故．故选：C．2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（）A.20 B.40 C.60 D.88〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.故选：C.4.已知，，则（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由二倍角的正弦、余弦公式代入化简即可得出〖答案〗.【详析】由可得：，则，因为，所以，所以，则.故选：B.5.过直线：上的点作圆：的切线，则切线段长的最小值为()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设直线上任意一点为P，过P作圆的切线，切点为M，圆C圆心C为，半径，则，要使最小，则最小，易知最小值为圆心C到直线l的距离．即，∴．故选：B．6.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数〖解析〗式可以为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A正确；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B错误；对于C，函数，因为，故C错误；对于D，函数，，故D错误，故选：A．7.已知函数，则（）A.有2个极大值点 B.有1个极大值点和1个极小值点C.有2个极小值点 D.有且仅有一个极值点〖答案〗D〖解析〗，因为（当且仅当时取等号），则当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极小值点为，没有极大值点，即函数有且仅有一个极值点.故选：D.8.将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数可以是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数．故选：D．9.已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为()A. B. C. D.3〖答案〗B〖解析〗如图，连接，则⊥平面ABCD，且，由题可知∥，又∵平面ABCD，平面ABCD，∴∥平面ABCD，∴点到平面ABCD的距离与点到平面ABCD的距离相等．故选：B．10.已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则()A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗设，，由题知，，故，则，由，即，即，解得，则，则．故选：C．11.在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.翻折前，在中，，，为的中点，则，且，翻折后，则有，，又因为，、平面，所以，平面，由已知，则是边长为的等边三角形，将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，所以，的外接圆直径为，所以，三棱锥的外接球直径为，则，因此，三棱锥的外接球表面积为.故选：C.12.已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线，则离心率为___________.〖答案〗〖解析〗在双曲线中，，，，因此，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.已知，，，则实数______.〖答案〗〖解析〗由已知得，，，解得.故〖答案〗为：.15.中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗因为，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，则.当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.故〖答案〗为：.16.《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则___________.〖答案〗〖解析〗阴影部分面积为：由图可知：，所以则，因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，所以，，即，则解得：，因为，所以.故〖答案〗为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：一般良好合计男20100120女305080合计50150200（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？（2）利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.解：（1），有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.（2）因为“效果较好”的男客户和女客户的人数之比为，即为，所以抽取的名客户中，男生有名，记为，，，，女生有名，记为，，从这人中选取人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个.其中至少一名女生的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.所以，抽取的名客户中至少有名女性的概率为.18.已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，是公比大于0的等比数列，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.解：（1）设公差为，公比为，则由题可得数列的前3项的和，因为，所以，所以，又因为，所以解得或（舍），所以.（2）由（1）可知，，所以的前项和为：.所以19.如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.（1）证明：平面平面ABC；（2）若，，，求三棱锥的体积.（1）证明：如图，设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF．∵平面ABC，平面ABC，∴，又∵，∴平面PNE，∴，同理在，中，，∴∴在，中，，∴，∴，即N到AB，AC的距离相等同理N到BC，AC距离相等，故N为的内心，N与H重合∴平面ABC，又∵平面APM，∴平面平面ABC，（2）解：由已知可得，设的内切圆半径为r，则，故，因为H为的内心，所以AH平分，所以，，所以，，故的面积为，因为，所以，所以，得，所以，，故三棱锥的体积为．20.已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.（1）求证：为常数；（2）证明直线MN过定点.证明：（1）∵椭圆过