河北省邯郸市2024届高三最后一卷数学试卷含解析

河北省邯郸市大名一中2024届高三最后一卷数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若双曲线C：二―>2=1的一条渐近线方程为3x+2y=o,则()

m

4923

A.—B.—C.—D.一

9432

v2V24

2.已知双曲线C：—-2_=l(a>0,6>0)的右焦点为尸，过原点。作斜率为一的直线交C的右支于点4,若|。4|=|。尸

a2b23

则双曲线的离心率为()

A.&B.75C.2D.G+1

3.在长方体ABC。—AgGA中，AB=1,AD=4i,A&=百，则直线。。与平面ABC1所成角的余弦值为()

A6R占rV15nVw

2355

4.ABC的内角A,5,C的对边分别为a,b,c,(2«-Z?)cosC=ccosB,则内角C=()

71Tl7T71

A.—B.—C.—D.一

6432

5.已知等差数列{4}的前"项和为S,,且%=-3,几=24,若%+%=0(z\jeN*,且贝心的取

值集合是()

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10)

6.如图，正四面体P-ABC的体积为£,底面积为S,。是高四的中点，过。的平面a与棱Q4、PB、PC分

别交于。、E、F,设三棱锥P-D呼1的体积为％,截面三角形DEF的面积为So,则()

B

A.V<8%,S<4S0B.V<8%,524so

C.V28%,S<4S0D.V28%,S>4S0

7.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆（x-2）2+y=1都相切，则双曲线。的离心率是（）

A.2或冬8B.2或百C.6或渔D.马8或诿

3232

8.若集合A={R-l<x<0},8=上<01则AB=（）

JC1

A.[—1,1）B.（—1,1]C.（—1』）D.[—1』]

9.[工+X+V）的展开式中kJ?的系数是（）

A.160B.240C.280D.320

10.要得到函数y=gcos2x-sin2x的图像，只需把函数y=sin2%—ecos2x的图像（）

IT77r

A.向左平移2个单位B.向左平移上个单位

212

TTIT

C.向右平移三个单位D.向右平移g个单位

123

11.如图示，三棱锥P—ABC的底面ABC是等腰直角三角形，NACB=90°,且PA=P2=A5=0,PC=6，

则PC与面所成角的正弦值等于（）

B

fc-fD-T

12.已知函数/(%)的定义域为(0,+“)，且2/⑵〃X)<0•若/(4)=2,则函数/(九)

在［1,16］上的最大值为()

A.4B.6C.3D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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种.

271

14.已知单位向量的夹角为则|。-2切=.

15.能说明“若/(x+1)</(%)对于任意的尤e(0,”)都成立，则/(%)在(0,+。)上是减函数”为假命题的一个函数

是.

16.边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得

最大值时，其底面棱长为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=(x—a)2—2xlnx,其导函数为f(x),

(1)若。=0,求不等式/(x)>l的解集；

(2)证明：对任意的0<s<f<2,恒有/(S)—1的<1.

s—t

18.(12分)已知函数/(%)一2依+21nx.

(1)若曲线y=在(L/(D)处的切线为y=2%+4,试求实数〃，人的值；

(2)当匕=1时，若y=/(x)有两个极值点%，%2,且不〈尤2，«>|,若不等式/(石)2加々恒成立，试求实数，〃

的取值范围.

19.（12分）在ABC中，角ASC所对的边分别为b,C9sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,ABC的面积

S=abc・

(I)求角c；

(2)求ABC周长的取值范围.

20.(12分)如图：在AABC中，a=yJiQ>c=4,cosC=—

(1)求角A；

(2)设。为A5的中点，求中线CD的长.

21.(12分)如图，在四棱锥ABCD中，底面ABC。是直角梯形且AD〃3C,AB±BGAB^BC=2AD=2,

侧面R43为等边三角形，且平面/MB，平面ABC。.

(1)求平面FA3与平面PDC所成的锐二面角的大小；

(2)若CQ=2CP(0iiX1),且直线BQ与平面PDC所成角为',求义的值.

22.(10分)已知椭圆C:5+y2=l的右顶点为A,点P在V轴上，线段AP与椭圆C的交点3在第一象限，过点3

的直线I与椭圆C相切，且直线/交x轴于".设过点A且平行于直线I的直线交V轴于点Q.

(I)当3为线段AP的中点时，求直线的方程；

(II)记ABPQ的面积为工，AOMB的面积为S],求'+$2的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得加的值.

【详解】

由题意知双曲线的渐近线方程为7=土表》（"，〉0）,3x+2y=0可化为y=—|x,则*=解得机=1.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

2、B

【解析】

’222

X+y=C<J2b2、

以。为圆心，以耳为半径的圆的方程为/+>2=02,联立必产,可求出点A------,则

[/一屏=1（°勺

£

T4

—T==T=T,整理计算可得离心率.

ay/C+b-3

c

【详解】

解：以。为圆心，以同为半径的圆的方程为必+;/=。2,

联立fy2_，取第一象限的解得V

£

a[c2+/4

即A，则上

3

整理得（9c2-5«2）（C2-5«2）=0,

25c2

则c==士＜1（舍去），==5,

a29a2

a

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

3、C

【解析】

在长方体中AB//G2，得。A与平面ABC］交于,过。做。于。，可证Z)O_L平面ABC］。，可得

ZD2A为所求解的角，解R/AADQ,即可求出结论.

【详解】

在长方体中AB1ICR,平面ABC,即为平面ABCR,

过。做。。，明于。，QAB_L平面AA。。，

。0匚平面M2。,二43_1。0,45AD］=D,

：.DO1平面ABQD,,NDQA为DDX与平面ABC,所成角,

在MAAD£)i,£>〃=朋=AD=也,.•.物=石,

DP,_73_V15

/.cos/DD[A=

直线DDX与平面ABC,所成角的余弦值为理.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

4、C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

V(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sin5)cosC=sinCeosB,

:.2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

171

三角形中sinAwO,cosC=—,C=一.

23

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

5、C

【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足《+%=。的i的取值集合.

【详解】

设公差为d,由题知见=-3=>%+3d=-3,

512=24=>12qH---1—d=24,

解得q=-9,d=2,

所以数列为-9,-7-5-3-1,1,3,5,7,9,11,,

故ie{1,2,3,4,5}.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.

6、A

【解析】

设A5=2,取取与重合时的情况，计算出工)以及%的值，利用排除法可得出正确选项.

【详解】

如图所示，利用排除法，取所与重合时的情况.

p

不妨设AB=2,延长MEIJIN,使得PN//AM.

PD1

■,PO=OH,:.PN=MH,AH=2MH,AM=3MH=3PN,则一=—，

AD3

由余弦定理得§£>2=AB2+4252—2AB.ADcos匹=2?+[9]-2x2x-x-=—,

3。224

DM=,S=-x2x-=-,

2°n222

又s弋X2?3.堂吟=2g〉l,

当平面。跖〃平面ABC时，S=4S0,:.S<4S0,排除B、D选项；

LI“PD11..8K)

因为=—>,1.V=—V,此时，=2>1,

AD3°40V

当平面。瓦7/平面ABC时，8%=V,.•.8%2V,排除C选项.

故选：A.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、

推理能力与计算能力，属于难题.

7、A

【解析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率.

【详解】

设双曲线C的渐近线方程为丫=1«,是圆的切线得：•.左=±£,

a+13

得双曲线的一条渐近线的方程为？=，1.,.焦点在*、y轴上两种情况讨论:

3

①当焦点在x轴上时有：2=立，6=9=叵三3=2叵；

a3a33

②当焦点在y轴上时有：3=也，e=3=叵工=2；

b3aJ3

二求得双曲线的离心率2或毡.

3

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想.解题

的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的

值.此题易忽视两解得出错误答案.

8、A

【解析】

用转化的思想求出B中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可.

【详解】

解：由集合8=[d*<0>,解得B={x|O<x<l},

则AB={X|-1M0}{x|0<尤<1}={X|-1?X<1}=[-U）

故选：A.

【点睛】

本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.属于基础题.

9、C

【解析】

首先把'+X看作为一个整体,进而利用二项展开式求得V的系数，再求[工+x）的展开式中的系数，二者相乘

X

即可求解.

【详解】

由二项展开式的通项公式可得1工+x+y21的第厂+1项为=q\+x]y2r，令r=1,则（=以[工+1]y2,

JU）J

又[工+x]的第厂+1为xr=C；x2r-7,令厂=3,贝!IC；=35,所以的系数是35义8=280.

故选：C

【点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

10、A

【解析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得V=-2sin12x-以及y=2sin按四个选项分别对

y=2sin12x-变形，整理后与y=-2sin[2x—对比，从而可选出正确答案.

【详解】

解：

y=Geos2x—sin2x=21等cos2x—；sin2x=2sin[?-2x]=—2sin[2x一

y=sin2x-^3cos2x=2—sin2x--cos2x=Zsinflx--.

^22JI3；

71

对于A：可得y=2sin2lx+—I-—=2sin2x--+7i\=-2sin2x--

33

故选:A.

【点睛】

本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是

在平移时，忘记乘了自变量前的系数.

11、A

【解析】

首先找出PC与面ALB所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系

求出所成角的正弦值.

【详解】

由题知ABC是等腰直角三角形且NACB=90°,AABP是等边三角形，

设AB中点为。，连接PO,CO,可知po=45,CO^—

22

同时易知ABLPO,AB^CO,

所以A3上面POC,故NPOC即为PC与面B45所成角,

。。2+。。2-PC?2A/2

有cosNPOC=

2PoeOF

1

故sinZPOC=Jl—cosNPOC

3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

12、A

【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幕运算，可得/[?1+/(〃)=/(〃2)；利用定义可证明函数/(%)的单调

性，由赋值法即可求得函数f(x)在[1,16]上的最大值.

【详解】

函数/(%)的定义域为(0,+8)，且/⑵叶(“)_4竽，

则/[)+/(〃)=/(〃。；

任取石,毛«0,口)，且不＜%，则。＜:＜1，

(、

故了工＜0,

7

/\

令旭=石，n=x2,则/%+/(々)=/'(%)，

\x2J

c、

即“再)一/(%)=/—<0，

故函数/(X)在(0,+8)上单调递增，

故/(4「“16)，

令机=16,〃=4,

故/(4)+〃4)=/(16)=4,

故函数/(%)在［1,16］上的最大值为4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了指数幕的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、432

【解析】

先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数，最后求和得结果.

【详解】

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有2耳=240种；

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有2C：阂=192种；

因此共有240+192=432种.

故答案为：432

【点睛】

本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

14、6

【解析】

因为单位向量。力的夹角为g,所以。小=|a|・|万|cosg=-3，所以

\a-2b\-1a1-4a1+4/=.(1-4x(——)+4=币.

15、答案不唯一，如y=——

【解析】

根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.

【详解】

由题意，不妨设了（X）

-2x-g<0在(0,+8)都成立,

则1(x+l)-/(x)=

但是/（X）在1]是单调递增的，在[：，+8]是单调递减的，

说明原命题是假命题.

所以本题答案为y=-1%-；）,答案不唯一，符合条件即可.

【点睛】

本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在（0,+。）上不是单调递减的函数，再检验是否满

足命题中的条件，属基础题.

4

16、-

5

【解析】

根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可.

【详解】

设底面边长为2x,则斜高为1-%,即此四棱锥的高为一2x[0<x<；

所以此四棱锥体积为V=--4x2-«—2x=-7X4-2?,

33

令丸（x）=x4-2x5[o<x<g],

令（x）=4x3-10x4=2%3（2-5%）=0,

2

易知函数h（x）在x=1时取得最大值.

4

故此时底面棱长2%=1.

4

故答案为：y.

【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1){x|x>l}(2)证明见解析

【解析】

(1)求出/Xx)的导数，根据导函数的性质判断函数/(幻的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；

(2)构造函数9(x)=/'(x)-x,利用导数判断°(x)在区间(0,2)上单调递减，结合0<s<f<2可得结果.

【详解】

(1)若a=0,则/(x)=/-2xlnx,/'(X)=2x-2(l+lnx).

,2

设/z(x)=2x-2(l+lnx),贝!|/z'(x)=2——,

x

所以/z(x)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增.

又当xf0时，h(x).当％=1时，h(x)=0；当%f+8时，/z(x)—+8,

所以〃(x)20

所以f(x)在(0,+8)上单调递增，

又/⑴=1,所以不等式/。)>1的解集为口|%>1}.

(2)设g(x)=r(x),<p(x)=g(x)-x=x-2-21nx-2a,

9(x)在(0,2)上单调递减,

又0<s<t<2,

•••。⑸<。⑺，

g(s)-s>g(t)-t,

:.g(s)-g(t)>s-t,

s—t<0,

.g(s)-g«)31

s-t

即/'(s)-7''⑺<1

s—t

【点睛】

本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.

9,

18、(1)a=b——6；(2)m<------In2.

8

【解析】

(1)根据题意，求得了(1),/'(1)的值，根据切点在切线上以及斜率等于/'(I),构造方程组求得。力的值;

(2)函数/(%)有两个极值点，等价于方程必一公+1=0的两个正根再，x2,不等式/(石)之吵恒成立，等价于

mW恒成立,=-x；-2X]+,令/z(x)=f?-2x+2xlnx,(0<x<g),求出导数，判断单调性,

即可得到力(x)的范围，即加的范围.

【详解】

2

(1)由题可知/(l)=2xl+4=6=^—2a,/'(x)=2"—2a+—,=2a+2=2,联立可得a=b=—6.

2,ax+

(2)当Z?=l时，f(x)=x-2dx+21nx,•f(x\=2x-2a+—=^^~~~^,

xx

/(X)有两个极值点玉，/，且玉</，「,玉，X?是方程炉—(2X+1—0的两个正根，.，.%+%=425,%=1，

不等式/(七)2如2恒成立，即根恒成立，

x2

/(xj_片-2ax+21叫

x=%：—2竭+2%1叫=%：—2(玉+兄2)片+2%1叫

=r；-2xx+2斗1叫,

51、51

由—，X-x=1,得玉^,/.0<%,<—,

22百22

令/z(x)=-x3-2x+2xlnx,(0<x<—),"(x)=-3x2+21nx<0,

故<一

*'•丸(尤)在上是减函数，...Mx)2丸--ln2,m2-ln2.

I88

【点睛】

该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研

究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目.

2万{A/32+^/3

19.(I)C=——(II)三,——

3124

【解析】

(I)由5=次?。=！4加皿。可得到2。=5皿。，代入sin2A+sin25+sinAsinB=2csinC，结合正弦定理可得到

2

a2+b2+ab=c2,再利用余弦定理可求出cosC的值，即可求出角C；(II)由2c=sinC,并结合正弦定理可得到

a+Z7+c=/(sinA+sinS+sinC),利用C=-,A.~\~B—,可得到

sinA+sinB+sinC=sinA+sin(g—=sin^A+-j^+-

进而可求出周长的范围.

2

【详解】

解：(I)由S=abc=^absinC可知2c=sinC,

2

sinZA+sinZB+sinAsinB=sin2c由正弦定理得a?+b~+ab-=C2.

由余弦定理得cosC=#+/—1=—L,-.C=—.

lab23

(II)由(I)知2c=sinC，:.2a=sinA,2b-sinB.

AABC的周长为a+b+c=—(sinA+sinB+sinC)

乙

1...「乃八+在

=—sinA+sin----A

2[13)\4

if..V3.1

二一sinAn-----cosA——sinAH-----

2(22J4

1口•八力八许

二——SIDAH-----cosA

2”2J4

1."兀)6

=—sinA+—h-----.

213)4

..&■)，小+枭1

3)13)12

/走2+疔

二AA5C的周长的取值范围为

2'4.

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积公式，考查了学生分析问题、解决问题的

能力，属于基础题.

JLt—

20->(1)A=―；(2)y/2

4-

【解析】

(1)通过cosC求出sinC的值，利用正弦定理求出sinA即可得角4；(2)根据sin5=sin(A+C)求出sin8的值,

由正弦定理求出边力，最后在AACD中由余弦定理即可得结果.

【详解】

2

(1)VCosC=--，.•.sinC=Vl-cosC=

5

V104

/7「---------

由正弦定理「•=一；，即sinA275•

sinAsinC」一

5

得sinA=92,；cosC=—@<0,二。为钝角，A为锐角,

25

,..71

故A=：・

4

(2),:B=7i-(A+C),

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

2I5J2510

b_V10

由正弦定理得」ba

即M得。

sinBsinAV2=VL

IxTV

6

在AACD中由余弦定理得：CD2=AD2+AC2-2ADACcosA=2+4-2xV2x2x—=2,ACD=41-

2

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.

21、(1)-；(2)三立.

46

【解析】

(1)分别取AB,CD的中点为O,E,易得OP,OE,03两两垂直，以OE,OB,O尸所在直线为刘y,z轴建立空

间直角坐标系，易得AD=(1,0,0)为平面上钻的法向量，只需求出平面PDC的法向量为〃，再利用

In.AZ)I

cose=|cos<n-AD>|=-----'计算即可；

In||AD|

JT

(2)求出BQ,利用|cos<〃,BQ>|=sin§计算即可.

【详解】

(1)分别取ABCD的中点为。E,连结。QEO.

因为AO〃8C,所以0E〃8C.

因为所以ABLOE.

因为侧面？A3为等边三角形，

所以ABLOP

又因为平面RIB_L平面ABCD,

平面QABc平面A5CD=AB,OPu平面

所以O尸，平面ABC。，

所以OP,OE,OB两两垂直.

以。为空间坐标系的原点，分别以OE,OB,O尸所在直线为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为AB=3C=2AD=2,则0(0,0,0),A(0,-l,0),8(0,1,0),C(2,l,0),0),P(0,0,回

DC=(1,2,0),PC=(2,1,-®

上,,[n-DC=Qx+2y-0

设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),贝明，即<

n-PC=02x+y-Qz=0

取y=l,则x=—2,z=-6,所以：=(—2,1,—百).

又AD=(1,0,0)为平面R钻的法向量，设平面R43与平面PDC所成的锐二面角的大小为。，则

八，,\n-AD\2A/2

cos6=|cos<n•AD>|=-------=<=—.

\n\\AD\J(_2y+F+(-后2

JT

所以平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小为了.

4

(2)由(1)得，平面PDC的法向量为〃=(-2,1,-6),PC=(2,1,-G),

所以成8。=BC+2CP=(-22+2,-2,后)(0张收1).

又直线BQ与平面PDC所成角为3,

jr\n-BQ\_y/3

所以|cos<n,BQ>\=sin—即Bn--------=---

1例时|2

|42-4-2-32|百

22222

7(-2)+1+(-^)X7(-2A+2)+(-A)+(A/3A)22，

化简得6万一62+1=0,所以2=三无，符合题意.

6

【点睛】

本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的

坐标，是一道中档题.

22、(I)直线的方程为>=—亚仁―夜)