2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷及答案解析

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（每题3分，共36分）

X—3

1.若分式句的值为。，则X的值是（）

A.x=3B.x=0C.x=-3D.x=-4

2.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示

为（）

A.7.3X10-5B.7.3X10-4C.7.3X10-6D.73X10”

3.下列等式从左到右的变形一定正确的是（)

aa+maetcakaaa2

BC.D.

A-1诉-ubkb1记

4.点4（1,-2）关于x轴对称的点的坐标是（)

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

7721-V

5.若关于X的方程一；=—7有增根，则m的值为（

%—2x—2

A.0B.1C.-1D.2

6.下列命题中，假命题是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

7.一次函数y=6x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

关于反比例函数'='的图象，下列说法不正确的（）

8.

A.经过点（2,1）B.分布在第二、第四象限

C.图象是中心对称图形D.当x>0时，y随工的增大而减小

9.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产

450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正

确的是（）

600450600450

A.-------=一B.-------=一

%—50x%+50%

第1页（共24页）

600450600450

xx+50x%—50

10.如图，正方形/50C的边长为2,反比例函数y=9的图象过点则左的值是（）

11.如图，矩形4SCD的两条对角线相交于点。，N/OD=60°,/。=2,则NC的长是（）

A.2B.4C.2V3D.4V3

12.如图，已知正方形N3CZ）的边长为2c"?,动点尸从点N出发，在正方形的边上沿4一8

fC的方向运动到点C停止.设点P的运动路程为x（cm）,在下列图象中，能表示

的面积y（cm2）与x（cm）的函数关系的图象是（）

二、填空题（每题3分，共18分）

14.直线y=2x-1向上平移4个单位得到的直线的解析式为

第2页（共24页）

15.已知点/（-1,yi）,B（1,竺），C（2,>3）在反比例函数（/c<0）的图象上,

则"，二，”的大小关系为（用“>”或“〈”连接）.

16.如图：根据图象回答问题：当x时，y<2.

17.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（修）与其运费y（元）由如图所示的

一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为kg.

18.正方形481clz2，A2B2C2A3,4353cM4,…按如图所不的方式放置，点小，血，Az，•••

和点21，B2,治，…分别在直线了=丘+6（左>0）和x轴上.已知点出（0,1）,点历

三、解答题（本大题共8个小题，满分66分）

19.（6分）先化简,再求值：（1一百）十除空,其中“=7.

第3页（共24页）

20.（6分）已知：如图，在。42CD中，点£、尸分别是边AD、2c的中点.求证：BE=

21.（8分）为了加强安全教育，八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛.班长将全班

同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图:

（1）八年级二班共有人；

（2）请补全条形统计图；扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为:

（3）求全班同学成绩的众数、中位数.

第4页（共24页）

22.（8分）某超市销售/、8两款保温杯，已知2款保温杯的销售单价比/款保温杯多10

元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同.

（1）/、2两款保温杯的销售单价各是多少元？

（2）由于需求量大，A,8两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共

120个，且/款保温杯的数量不少于3款保温杯数量的两倍.若4款保温杯的销售单价

不变，8款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货

才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

23.（8分）已知：如图，在正方形/BCD中，点£、厂在对角线AD上，旦BF=DE,

（1）求证：四边形AEC尸是菱形；

（2）若/2=2,BF=1,求四边形/ECF的面积.

第5页（共24页）

24.（8分）如图，直线y=-x+b与反比例函数y=1的图象相交于/（1,4）,B（4,力）

两点，连接。区和03.

（1）求人和b的值；

k

（2）根据图象直接写出——（―久+b）＞0的解集；

x

（3）求的面积.

第6页（共24页）

25.（10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称

为菱形或矩形的“接近度”.

（1）如图1,已知菱形ABC。的边长为2,设菱形A8CD的对角线/C,AD的长分别为

m,n.若我们将菱形的“接近度”定义为削-（即“接近度”=\m-n\）,于是制-〃|

越小，菱形就越接近正方形.

①若菱形的“接近度”=,菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为60°,则“接近度”=.

（2）如图2.已知矩形48。的对角线NC,8。相交于点O,设8c的长分别为根,

nCm>n）,我们将矩形的“接近度”定义为竺（即“接近度”=?）.

n九

①若矩形的“接近度”=,矩形就是正方形;

②若//。。=45°,求矩形的“接近度”.

第7页（共24页）

26.(12分)如图，已知长方形O/2C的顶点。在坐标原点，4、C分别在x、y轴的正半轴

上，顶点3(8,6),直线y=-x+6经过点4交3C于。、交y轴于点点尸是的

中点，直线。尸交48于点E

(1)求点。的坐标及直线OP的解析式；

(2)求△”>尸的面积，并在直线/。上找一点N,使△/EN的面积等于△0。尸的面积,

请求出点N的坐标

(3)在x轴上有一点7G,0)(5<f<8),过点7作x轴的垂线，分别交直线。£、AD

于点尸、G,在线段NE上是否存在一点。，使得△FG0为等腰直角三角形，若存在，请

求出点。的坐标及相应的/的值；若不存在，请说明理由

第8页(共24页)

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分）

x—3

'若分式句的值为°,则X的值是（)

A.x=3B.x=0C.x=-3D.x=-4

解：由题意得：x-3=0»且x+4W0,

解得：x=3,

故选：A.

2.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示

为（）

A.7.3X10-5B.7.3X10-4C.7.3X10"D.73X10"

解：0.000073=7.3X10-5,

故选：A.

3.下列等式从左到右的变形一定正确的是（)

2

aa+mClCLCctkciaa乙

B-石=建C.D.

A-1诉bk~bbb2

dQ+?71

解：4、~---（冽WO）,所以4选项不正确;

bb+m

ac

B、若c=0,。瓦，所以3选项不正确;

cikCL

C、77二工，所以。选项正确；

bkb

aab

D、-=-y,所以。选项不正确.

bb

故选：C.

4.点/（1,-2）关于x轴对称的点的坐标是（)

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

解：点4（1,-2）关于x轴对称的点的坐标是(1,2),

故选：D.

rn1-Y

5.若关于x的方程一；=—;有增根，则m的值为（）

x—2x—2

A.0B.1C.-1D.2

解：方程两边都乘（1-2）,得

第9页（共24页）

m=1-x

•••最简公分母（x-2）

原方程增根为x=2,

...把x=2代入整式方程，得加=-1.

故选：C.

6.下列命题中，假命题是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

解：/、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不合题意；

8、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，不合题意；

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，不合题意；

。、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，是假命题，符合题意；

故选：D.

7.一次函数y=6x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：•.,一次函数y=6x+l中后=6>0,6=1>0,

...此函数经过一、二、三象限，

故选：D.

8.关于反比例函数丫=:的图象，下列说法不正确的（）

A.经过点（2,1）

B.分布在第二、第四象限

C.图象是中心对称图形

D.当x〉0时，歹随x的增大而减小

解：A,把x=2代入y=（得y=l,则反比例函数y=（的图象经过点（2,1）,所以N选

项的说法正确，不合题意；

B、k=2>0,则反比例函数y=|的图象分别位于第一、第三象限，所以8选项的说法不

正确，符合题意;

第10页（共24页）

C、反比例函数的图象是中心对称图形，所以。选项的说法正确，不合题意；

D、k=2>0,当x>0时，y随x的增大而减小，所以。选项的说法正确，不合题意.

故选：B.

9.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产

450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正

确的是（）

600450600450

A.-------—-----B.——-----

%—50X%+50X

600450600450

C.一=—D.------

X%+50X%-50

解：设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器,

故选：B.

10.如图，正方形/50C的边长为2,反比例函数y=9的图象过点则左的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

解：因为图象在第二象限，

所以左<0,

根据反比例函数系数后的几何意义可知限=2X2=4,

所以k=-4.

故选：D.

11.如图，矩形A8CD的两条对角线相交于点O,ZAOD=6Q°,/D=2,则/C的长是（）

月匕-----------0g

A.2B.4C.2V3D.4V3

解：在矩形ABC®中，OC=OD,

第11页（共24页）

：・/OCD=/ODC,

VZAOD=60°,

1I

AZOCD=^ZAOD=Jx60°=30°,

又・：N4DC=90°,

：.AC=2AD=2X2=4.

故选：B.

12.如图，已知正方形/5CQ的边长为2c冽，动点夕从点Z出发，在正方形的边上沿4一B

f。的方向运动到点。停止.设点尸的运动路程为x(c冽)，在下列图象中，能表示△4DP

的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系的图象是()

K

Bp---►（-z

y4y4

一

A.o|24xB.O\24^

y4ik

2/L

C.ol24x

D.

解：由题意，当时，

1。

y=2X2•%=x

当2WxW4时，

尸2

故选：C.

、填空题（每题3分，共18分）

4ab32b2

■约刀：2a^b--a-

解：原式=错”=空.

2ab-aa

第12页（共24页）

故答案为：—.

a

14.直线y=2x-1向上平移4个单位得到的直线的解析式为y=2x+3.

解：平移后解析式为：y=2x-l+4=2x+3,

故答案为：>=2x+3.

15.已知点N（-1,以），B（1,y2），C（2,”）在反比例函数（左<0）的图象上,

则yi,y2>了3的大小关系为了2<V3<VI或71>V3>V2（用“>"或连接）.

解：•.•反比例函数y=（&V0）中，左<0,.•.此函数图象在二、四象限，

；-1V0,.•.点N（-1,/）在第二象限，

V2>l>0,：.B（1,>2）,C（2,”）两点在第四象限，.•.”<（），”<0，

•.•函数图象在第四象限内为增函数，2>1,...”</<（）.

-'-yi,”，的大小关系为了2<”<了1或了1>丁3>”.

16.如图：根据图象回答问题：当x>0时,y<2.

解：由图可知，该函数经过（0,2）,y随x的增大而减小,

.•.当x>0时，y<2,

故答案为：>0.

17.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（彷）与其运费y（元）由如图所示的

解：设y与x的函数关系式为了=h+从

由题意可知：

300=30k+b

900=50k+b'

第13页（共24页）

解得：仁以00,

所以函数关系式为y=30x-600,

当y=0时，即30x-600=0,所以x=20.

故答案为：20.

18.正方形//1C1Z2,4282c2A3,A3B3C3A4,…按如图所示的方式放置，点4,如，出，…

和点阴，Bi,23,…分别在直线y=fcc+6(左＞0)和x轴上.已知点4(0,1),点历

解：由题意可知小纵坐标为1,a的纵坐标为2,，3的纵坐标为4,4的纵坐标为8,…,

•.•出和C1,，2和。2,43和。3,4和C4的纵坐标相同,

/.Cl,C2,Ci,C4,C5的纵坐标分别为1,2,4,8,16

，*,*

...根据图象得出C1(2,1),C2(5,2),C3(11,4),

11

二直线C1C2的解析式为y=@x+w，

的纵坐标为16,

；.C5的纵坐标为16,

11

把y=16代入y=耳尤+可，解得x=47,

；.C5的坐标是(47,16),

三、解答题(本大题共8个小题，满分66分)

第14页(共24页)

@2—4a+4

19.（6分）先化简，再求值：（1-工）,其中Q=-1.

CL—1a2—a

解：原式=（E—=）+导言I

a-2a（a—l）

_a

二^T

当a=-1时，原式=-J2=提

20.（6分）已知：如图，在。42CD中,点E、尸分别是边2C的中点.求证：BE=

DF.

证明：：四边形/BCD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

;点E、尸分别是口/BCD边40、3C的中点,

：.DE=^AD,BF=：BC,

：.DE=BF,

四边形BFDE是平行四边形，

：.BE=DF.

21.（8分）为了加强安全教育，八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛.班长将全班

同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图:

（1）八年级二班共有50人;

第15页（共24页）

（2）请补全条形统计图；扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为57.6°、

（3）求全班同学成绩的众数、中位数.

解：（1）由统计图可知,

八年级二班共有人数：20・40%=50（人）.

故答案为：50；

（2）90分的人数为50-I-4-20-15-2=8（人）,

补全的条形统计图如下图所示，

由扇形统计图可知,

90分的人数所占的比例是1-30%-40%-8%-2%-4%=16%,

则扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为360°X16%=57.6°.

故答案为：57.6°；

（3）由条形统计图可知，

全班同学成绩的众数为70分，

1

中位数为：-x（70+80）=75（分）.

22.（8分）某超市销售/、3两款保温杯，已知8款保温杯的销售单价比/款保温杯多10

元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买/款保温杯的数量相同.

（1）/、8两款保温杯的销售单价各是多少元？

（2）由于需求量大，/、2两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共

120个，且N款保温杯的数量不少于8款保温杯数量的两倍.若4款保温杯的销售单价

不变，3款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货

才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

解：（1）设/款保温杯的单价是。元，则3款保温杯的单价是（a+10）元，

第16页（共24页）

480360

a+10a'

解得，a=30,

经检验，a=30是原分式方程的解，

则a+10=40,

答：43两款保温杯的销售单价分别是30元、40元；

(2)设购买N款保温杯x个，则购买3款保温杯(120-x)个，利润为w元，

w=(30-20)x+[40X(1-10%)-20](120-x)=-6x+1920,

■：A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，

(120-x),

解得，x》80,

...当x=80时，W取得最大值，此时w=1440,120-x=40,

答：当购买/款保温杯80个，8款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大,

最大利润是1440元.

23.(8分)已知：如图，在正方形/2C。中，点£、下在对角线AD上，S.BF=DE,

(1)求证：四边形ABCF是菱形；

(2)若/B=2,BF=1,求四边形/EC尸的面积.

(1)证明：正方形45CD中，对角线8。，

:.AB=BC=CD=DA,

ZABF=ZCBF=ZCDE=ZADE=45°.

,:BF=DE,

AABF咨△CBF%ADCE咨ADAE(SAS).

AF=CF=CE=AE

...四边形NEC尸是菱形；

(2)解：在中，由勾股定理，得

第17页(共24页)

BD=y/AB2+AD2,

AC=BD=242,

EF=BD-BF-DE=2近-1-1,

四边形/EC度的面积尸+2

=2近x(2a-2)+2

=4-2V2.

24.(8分)如图，直线>=-x+6与反比例函数y=亍的图象相交于N(1,4),B(4,〃)

两点，连接04和03.

(1)求人和6的值；

k

(2)根据图象直接写出一一(一%+b)>0的解集；

x

(3)求△405的面积.

解：(1)把/(1,4)代入y=又得：代入左=1X4=4,

反比例函数表达式为代入y=p

将/(1,4)代入y=-x+b得：4=-1+b,

解得：6=5,

一次函数表达式为^=-x+5,

综上：k=4,b=5；

kk

(2)由一一(一%+ZJ)>0得一>一久+b,

xx

(1,4),B(4,〃)，

k

・,・由图可知，当OVxVl或x>4时，反比例函数图象高于一次函数图象，即一>一％+6

x

k

.•.当0<x<l或x>4时，一一(—x+b)>0；

第18页(共24页)

44

(3)把5(4,n)代入y=m得：y=a=l,

：.B(4,1),

代入歹=-x+5得：0=-x+5,

解得：x=5,

：.C(5,0),

AOC=5,

111115

OABOACOBCyOC9yA-5OC・yB=7x5X4-yx5X1=亍.

•9•SA=SA-SA=乙乙乙乙乙

25.（10分）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称

为菱形或矩形的“接近度”.

（1）如图1,已知菱形48C。的边长为2,设菱形ABCD的对角线/C,AD的长分别为

m,n.若我们将菱形的“接近度”定义为|加-川（即“接近度”=\m-n\）,于是|加-川

越小，菱形就越接近正方形.

①若菱形的“接近度”=0,菱形就是正方形；

②若菱形的一个内角为60°,则“接近度”^^V3-2_.

（2）如图2.已知矩形48CD的对角线NC,8。相交于点O,设/瓦8C的长分别为加,

〃（〃?>"）,我们将矩形的“接近度”定义为经（即“接近度”=?）.

n九

①若矩形的“接近度”-1,矩形就是正方形；

②若乙4。£>=45°,求矩形的“接近度”.

第19页（共24页）

A

解：(1)①：对角线相等的菱形是正方形，

，当他=77时，菱形就是正方形，

••\171~川=0,

即菱形的“接近度”=0时，菱形就是正方形，

故答案为：0；

②菱形/BCD中，AB=BC=CD=AD=2,ZABC=6Q°,ACLBD,BD=2OB=n,AC

—2OA—m,

△NBC是等边三角形，/AOB=90°,

".m=AC=AB—2,

：.OA=1,

在RtAAOB中，

OB=7AB2—。42=722—l2=V3,

，"=2。2=2亚

：.\m-n\=\2-2V3|=2V3-2,

即菱形的一个内角为60°,则“接近度“=2百-2,

故答案为：2怖-2；

(2)①：邻边相等的矩形是正方形，

...当他=〃时，矩形就是正方形，

,m

此tr时，一=1,

n

即矩形的“接近度”=1时，矩形就是正方形，

故答案为：1;

@VZBOC^ZAOD^45°,OA=OB=OC,

ii

ZOAB=ZOBA^j-ZAOD=22.5°,ZOCB=ZOBC=^(180°-/BOC)=67.5。，

在N3上取一点E,使BE=BC=n,连接C£,如图：

第20页(共24页)

则NEC5=NCE5=45°,

・•・/ACE=NOCB-/ECB=225

；・NOAB=NACE,

：.AE=CE,

在中，cosNEC3=黑=孝，BC=n,

CE=y/2n,

.\AE=V2w,

：・m=AB=AE+BE=Vin+n=(V2+1)n,

.•.丝=史交=0+1.

nn

26.(12分)如图，已知长方形CU8C的顶点。在坐标原点，4、C分别在x、y轴的正半轴

上，顶点2(8,6),直线y=-x+6经过点/交8C于。、交y轴于点点尸是4D的

中点，直线0P交48于点£

(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；

(2)求△OOP的面积，并在直线上