2024届广东省江门市高考模拟考试数学试题（一模）

2024届广东省江门市高考模拟考试数学试题（一模）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.某市高三年级男生的身高x（单位：cm）近似服从正态分布N（175,52）.现随机选择一

名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（）参考数据:

P^/u-（y<x<//+（7卜0.6827

A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.15865

2.在“。中，3=301=2,0=2后，则角A的大小为（）

A.45B.135或45C.15D.105或15

3.已知｛〃“｝是等比数列，=8%,且。6是方程％2—34%+机=0两根，则根=（）

A.8B.-8C.64D.-64

a的终边上有一点尸卜|,2,贝ljcos11"+"=（

4.已知角）

4433

A.—B.-C.--D.

5555

22

5.设耳，E为双曲线C：，-斗=l（a>0,b>0）的左、右焦点，点A为双曲线的左顶

ab

点，以耳工为直径的圆交双曲线。的渐近线于V,N两点，且点M,N分别在第一、

2

三象限，若/MAN=—兀，则双曲线的离心率为（）

3

叵

B.V21D.V15

亍

6.已知（1+x）+（l+x）++（l+x）=+q（2+x）+%（2+%）++%］（2+x）,贝（j

a0+a2+a^++q（）的值是（）

A.680B.-680C.1360D.-1360

7.已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm）,方差为26,若增加一名身高172（单

位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为（）

A.32.4B.32.8C.31.4D.31.8

8.物理学家本・福特提出的定律：在匕进制的大量随机数据中，以〃开头的数出现的概

M-L1

率为g（附）=iog〃巴巳.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错

n

误.若£/（“）=普吟（左一*）,则左的值为（）

v

l+log25'

A.7B.8C.9D.10

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.z-z=|z|2,zGC

B.i2024=-l

C.若|z|=l,zeC,则|z—2]的最小值为1

D.若Y+3i是关于x的方程12+p%+q=0（p应cR）的根，贝|p=8

10.已知函数f（x）=sin12Gx+]]+sin（2Gx—]）+26cos—G（O>0）,则下列结论

正确的是（）

A.若相邻两条对称轴的距离为名则°=2

B.当G=1,xe0,|时，“X）的值域为卜6,2]

C.当。=1时，〃%）的图象向左平移B个单位长度得到函数解析式为

6

y=2cos^2x+^

JT

D.若〃x）在区间0,-上有且仅有两个零点，则54。<8

O

11.已知曲线氏型+四=1,则下列结论正确的是（）

48

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为[-2,2]

C.曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第二象限

D.〃（即几）是曲线E上任意一点，则2%+%|的取值范围为（0,4]

三、填空题

12.已知向量。=（1,0）,6=（1,1）,若。+助与b垂直，则几=.

13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得

到的（如图），则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该

几何体的表面积是cm2.

试卷第2页，共4页

14.函数/（X）的定义域为R,对任意的无，y,恒有

71

f(x+y)=f(x)fTy]+f--X/（y）成立.请写出满足上述条件的函数/（x）的一个

解析式.

四、解答题

15.如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接矩形，R1是圆柱的母线.

⑴证明：在侧棱尸。上存在点E,使P3〃平面AEC；

⑵在（1）的条件下，设二面角D-AE—C为60。，AP=\,AD=y/3,求三棱锥E—ACO

的体积.

16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素

的干扰，发送的信号0或I有可能被错误地接收为I或。.已知发送0时，收到1的概率

为。收到。的概率为l-a：发送1时，收到。的概率为尸（。<，<1）,收到

1.的概率为1-£.假设发送信号0和1是等可能的.

⑴已知接收的信号为1,且a=0」,尸=0.05,求发送的信号是。的概率；

（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次

传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，

收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依

次收到1,0,1,则译码为1）.已知发送1,若采用三次传输方案译码为1的概率大于采

用单次传输方案译码为1的概率，求夕的取值范围.

22/T

17.己知椭圆E:j+3=l（a>6>0）的离心率是业，过点“（2,0）的动直线/与椭圆相

ab3

交于A,3两点，当直线/与1轴垂直时，直线/被椭圆£截得的线段长为

3

⑴求椭圆石的方程；

一一、NAMA一

（2）是否存在与点不同的定点N，使得•丽・=•而而恒成立?若存在，求出点N的坐标；

若不存在，请说明理由.

18.已知关于x的方程e[x|=»i（meR）有三个根，分别为公，巧，x3,且玉〈无2<W.

⑴求机的取值范围；

⑵设，=-*,证明：W随着》的增大而减小.

19.将2024表示成5个正整数4,4，尤3，苫4,%之和，得至！]方程为+x2+%3+%4+%5=2024

①，称五元有序数组（和孙玉,和尤5）为方程①的解，对于上述的五元有序数组

（小苍,玉,出,天）,当1V//W5时,若max（%_巧）=WeN）,则称（西,孙玉，看,尤5）是，一密

集的一组解.

⑴方程①是否存在一组解（4电，七，川户5），使得/「王（，=1,2,3,4）等于同一常数?若存

在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；

（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的？

5

（3）记S=£x；,问s是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明

1=1

理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.

【详解】由题意，〃=175,b=5,

且尸（〃一+o"卜0.6827,

所以P（XW170）=P（XV〃-b）21-。；827=o.]5865.

故选：D

2.D

【分析】

利用正弦定理求得角C,根据三角形内角和，即可求得答案.

【详解】由题意知.ABC中，3=30,6=2,c=2拒,

,,bccsinB20xsin3O

故,荷即sin。=

b22

由于c>6,故C>8=30,则C=45或135,

故A的大小为180-30-45=105或180-30-135=15,

故选：D

3.C

【分析】

根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】在｛%｝是等比数列，。3。5=4，a2a6=a4＞又％。5=8。4，所以。4=8,

又。2，“6是方程d-34x+/〃=0两根,

所以=a2a6=a：=64.

故选：C

4.A

【分析】

根据三角函数的定义可求得sine的值，再利用诱导公式，即可求得答案.

【详解】由题意知角a的终边上有一点尸则|0尸|=J一||+仁：=i,

答案第1页，共15页

4(7i।4

故sina=-,贝|cos15+aj=_sina=_1，

故选：A

5.C

【分析】

根据已知条件得出渐近线与圆的方程，确定直线与圆的交点，根据交点坐标结合

ZMAN=-n,由此可知NMAO=V，根据tan'=2=^,确定b=^~a,再根据双曲

3662a33

a

b

y—_Y

以耳耳为直径的圆的方程为/+/=/,直线与圆方程联立有：,一。

x2+y2=c2

解得V,x=±a,所以y=±b,所以A/(a,6),N(-a,-b),

TT

所以Ml垂直于x轴，设8为双曲线右顶点，MB垂直于x轴，所以NNAO=K，

又因为NMAN=2TT,所以NMAO=/，所以tan巴=2=且，b=^-a,

3662a33

=a2+b2=a2+(—a]=-a2,所以£=工，即e=£=姮.

(313a23a3

故选：C

6.B

【分析】利用赋值法，分别令x=-l和x=-3,将得到的两式相加，结合等比数列的求和,

答案第2页，共15页

即可求得答案.

【详解】令％二—1,贝0=%+%+%++如，即4+%+%++%1=。

令x=—3,则(-2)+(—2)++(—2)=%—〃[+%—%+―%

(-2)4[1-(-2)8]

即％—q+%—%+—1=-----------------------——1360,

1—(—2)

—

两式相力口可得为+%+/++%o=-----~680,

故选：B

7.A

【分析】

根据给定条件，利用平均数、方差的计算公式计算得解.

i=9i=9

【详解】令9名女生的身高为a,(/eN*,注9),依题意，£a,=9x162,£(a,-162)2=9x26,

1=1Z=1

1i=9|

因此增加一名女生后身高的平均值为高(£6+172)=行(9x162+172)=163,

1Uj=i1U

1i=91』9

所以这10名女生身高的方差为60(4-163)2+(172-163力=6{£[(《-162)-1]2+81}

1Ui=l1U4=1

1，=91

=—{2[(q—162)2—2(0—162)+9]+81}=—(9x26+9+81)=32.4.

10j=i10

故选：A

8.C

【分析】

结合条件及对数的运算法则计算即可.

80jL1k+1Q1Q1

【详解】=幻+%伏+D++^(8O)=lg—+lg—++lg—=lg-,

okk+180k.

lg8141g3

。481lg4普;=21g3=lg9,故左=9.

而

1+log,51+姮1+暨

lg2lg2

故选：C.

9.ACD

【分析】

根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设

z=x+M，(x,”R),根据复数的模的计算公式，可得/+旷=1,以及|z-2|=jYx+5,结

合x的范围可判断C；将T+3i代入方程，结合复数的相等，求出p,即可判断D.

答案第3页，共15页

22

【详解】对于A,zeC,设复数z=a+6i,(a,Z?eR),贝i]z="-历,(a,6eR),|z|=Va+Z>>

故z•彳=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=忖~,A正确;

对于B,由于12=_革4=1,故12。24=口4)5。6=1,B错误;

对于C,zeC,设z=x+M，(x,yeR),由于目=1,则+9=i,.1f+/,

故|z—2|=J(x-2)~+y~=J(x-2)~+1-x2=>/-4x+5,

由/+丁=1,贝ijTx+521,

故当x=l时，|z-2]的最小值为1,C正确；

对于D,-4+3i是关于元的方程/+px+4=0(p,qeR)的根，

故(-4+3i)2+p(-4+3i)+q=03qeR),HR7-4p+<7+(3p-24)i=0,

1-4p+q=0p=8

故D正确,

3夕—24=0q=25

故选：ACD

10.BCD

【分析】

根据三角恒等变换化简〃x）=2sin（20x+5）,进而根据周期可判断A,根据整体法求解函

数的值域判断B,根据函数图象的平移可判断C,根据零点个数确定不等式满足的条件可判

断D.

【详解】/(x)=sinl+sin2ct)x~—+2^3cos2①x一6

I3

=sin20xcos—+cos2①xsin—+sin2Gxeos--cos2@xsin—+J3cos2a)x

3333

=sin2Gx+百cos2s=2sin(2ox+5),

对于A,若相邻两条对称轴的距离为9则7=2义[=兀=二,故。=1,A错误,

222a)

对于B,当(9=1,/(x)=2sinf2x+—,当xe0,—时，2XH—e—,—,

k3JL2」3133_

则的值域为卜6,2],B正确，

对于C,当°=1,/(x)=2sinf2x+1-\

答案第4页，共15页

/（元）的图象向左平移B个单位长度得到函数解析式为

6

/^x+^=2sin^2^x+^+-1^=2sin^2x+-^-^=2cos^2x+^,C正确，

对于D,当xjo,1时，20x+袅1,2蟾+]

6J3|_363

若“X）在区间。弓上有且仅有两个零点，则如V20?+g<3n，解得5W@<8,故D正

_OJ63

确，

故选：BCD

11.AD

【分析】首先对X、y分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B,

由双曲线的渐近线与y=-L4x的关系判断C,由点到直线的距离公式得到|近加+为],即点

M（4,乙）到直线0x+y=O的距离的百倍，求出直线岳+y+c=O与曲线

!+£=1（尤20,”0）相切时c的值，再由两平行线将的距离公式求出的最大值,

即可判断D.

【详解】因为曲线E:组+型=1,

48

2222

当xNO,4。时9+与=1,则曲线后为椭圆一+。=1的一部分；

4848

2222

当x>0,y<。时工-匕=1,则曲线石为双曲线土-匕=1的一部分，

4848

且双曲线的渐近线为y=土比x；

2222

当x<0,y>0时匕一土=1,则曲线E为双曲线匕一二=1的一部分，

8484

且双曲线的渐近线为y=±V2.r；

可得曲线的图形如下所示:

答案第5页，共15页

曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误；

因为-1.4>-0，所以曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第四象限，故C错误;

II—II-|A/2X0+y0|_

因为=V3x,即点的（4,yfl）到直线^x+y=o的距离的百倍,

，（闾+F

22

当直线+y+c=O与曲线土+匕=1（x20,y20）相切时，

—।——1,_

由48，消去y整理得4/+2忘“+C?一8=0，

0x+y+c=0

贝ljA=（2缶『一16卜2一8）=0,解得c=4（舍去）或0=各，

人」4

又"r+y=0与0x+y-4=O的距离J逝（j+『6，

所以阵与+引=岛=4,

IImax

所以|夜天+%|的取值范围为（0,4],故D正确；

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线E的图形，D选项的关键是转化为点到直线的

距离.

答案第6页，共15页

【分析】

首先求出a+Xb的坐标，再依题意可得卜+26)力=0,即可得到方程，解得即可.

【详解】因为2=(1,0),6=。/)，所以。+助=。+44),

又。+彳6与b垂直，所以,+训2=1+4+几=0,解得；1=-(

故答案为：-5

13.1410800+3600百

【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小

正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.

【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，

再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；

如果被截正方体的棱长是60cm,那么石凳的表面积是

S=8x1x30A/2x305/2xsin60°+6x30底x30我=(10800+3600⑹(cm?).

故答案为：14,10800+360073.

14.〃x)=sinx(答案不唯一)

【分析】

本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令/")=sinx,根据两角

和的正弦公式及诱导公式证明即可.

【详解】依题意不妨令〃x)=sinx,

贝！I/(^+y)=sin(x+y)=sinxcos_y+cos%siny,

=sinxcosy+cosxsiny,

所以/(尤一尤J7(y),故/(x)=sinx符合题意.

同理可证明"X)=sin5x,/(x)=sin9x,L,也符合题意.

故答案为：〃x)=sinx(答案不唯一)

15.(1)证明见解析

答案第7页，共15页

(2)T

【分析】(l)取PD的中点E，连接交AC于。，连接E。，即可证明ECWPB,从而得

证；

(2)设AB=r(t>0),建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可

求出f，再根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】(1)取PO的中点E,连接30交AC于0,连接E。，

因为ABCD为矩形，所以。为8。的中点，

所以EO//PB,又EOu平面AEG,平面AEC,

所以P3〃平面AEC,

⑵设钻=中>0),如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),C(Z,A/3,0),£>(0,5/3,0),

所以AC=,，后,0),A£>=(0,A/3,0),AE=[o,g,；],

(22)

又平面ADE的法向量可以为n=(1,0,0),设平面ACE的法向量为m=(x,y,z),

m•AC=tx+石y=0

则A口小1n

m-AE=——y+—z=0

22

同〃V313

因为二面角。-AE-C为60。，所以cos60°=^^=不=彳,解得(负值舍去),

|叶|4r3+4/22

3

所以A5=CO=—,

2

y

所以SACD=~~AD,CD=—xy/3x—=3,

ACD2224

又点E到平面ACD的距离d=JP4=；,

所以EACD=_SACpd=

Vzi—AC£/3ACZ7_3X---4--X_2=8.

答案第8页，共15页

16.⑴工

21

⑵0＜尸＜；

【分析】

（I）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式

可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；

（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由

题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.

【详解】（1）设A：发送的信号为1,B：接收到的信号为1,

则可：发送的信号为0,B：接收到的信号为0,

则P（A）=P（A）=|,P（B|A）=0.95,尸（2|A）=0.1,

故P（B）=P（ABAB）=P（AB）+P（AB）

=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.5x0.95+0.5x0.1=0.525,

故尸®"=0.5x0/2

0.525-21

(2)

采用三次传输方案译码为1的概率为6=C；p（l_/?）2+（l_/7）3=3/?（l_£）2+（l_/?y,

采用单次传输方案译码为1的概率为5=1-夕，

3

由题意得q—舄=3万+（1-^）=（1-万）（一2,2+?0）=^（1-/?）（1-2/?）>0

答案第9页，共15页

而0<〃<1,故1—2尸>0,.,.尸<j,

故0<£<(

17.(I)》〉

⑵存在定点N（3,o）,使得瑞=篇恒成立

【分析】

（1）由离心率及过点2,列方程组求解。力.

（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出N（3,0）,设点B关于x轴的对称点Q，证得

NAMA\

二点共线得到—=超成立•

【详解】（1）依题意可得点2,在椭圆上,

44

/+-

a2=6

cA/322

所以e=—=—,解得〃=4,所以椭圆的方程为?+==i.

a3264

c=20

a2=b2+c2

（2）当/垂直于x轴时，设直线/与椭圆相交于A,8两点，如果存在点N满足条件,

则有鼠=器|=1,SP|M4|=|A®|,所以点N在x轴上，设N（x°,0）,

当/与x轴重合时，设直线/与椭圆相交于A,8两点，不妨设A（-而0）,疝0）,

JA

凶=四\x0+-76+2

即^——解得巧=2或%=3,

人」R|NBI\MB\七一,676-2

所以若存在不同于点/的定点N满足条件，则点N的坐标为（3,0）；

下面证明：对任意的直线/,均有鼠=隅=1，

当/不平行于x轴且不垂直于x轴时，设直线/方程为'=左（》-2）,A&，x）,双程％），

答案第10页，共15页

y=k^x-2）

联立＞2],消去y,得（3〃+2）f—12公x+12公—12=0,

164

因为直线/恒过椭圆内定点M（2,0）,故A〉0恒成立,

12k212左2-12

所以玉+%=

3k2+21-342+2

___1__|____1_—___项£_+__%2M_-__6__—玉+%26

所以=—2,

王一3x2-3（七一3）（工2—3）再%—3（%+%2）+9

易知点8关于x轴的对称点B'的坐标为（9,-%）,

yk一必_W）k_-y2-Zr（x2-2）__

王一3再一3玉一3x2-3X2-3X2-3再一3

所以则N,A/三点共线,所N以A函|=A^才4|=｝ly.前MA；

NAMA

综上:存在与点M不同的定点N（3,0）,使---二----T百成立

NBMB,

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（多,坊）、（&，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为项+马、斗马的形式；

答案第11页，共15页

(5)代入韦达定理求解.

18.⑴日

(2)证明见解析

【分析】

(1)将函数写成分段函数，再利用导数分别求出函数在各段的单调性，即可画出函数图象,

从而求出机的取值范围；

(2)由(1)可知为<0<三，且3%()€(0,1),使得“毛)=：,则三e(O，%),再由

，令/=-五,贝,从而得至!]%=*,

e为(-玉)=e&,毛=机,得至!J毛一&=In-

x3%(%)1+t

止上,欣，再令〃(。=粤，海L,+S,利用导数说明函数的单调性即可.

xex,x>0

【详解】C1)令〃x)=e'W=0,尤=0,

-xex,x<0

当%>0时广(%)=(%+]>”>0,所以〃司在(。,+功上单调递增,

当xvO时/'(%)=-(^+l)ex>0,所以一1<元<0时/(x)<0,

x<T时>0,

所以"%)在(TO)上单调递减，在(―,T)上单调递增，

又〃-1)=!，当x<0时/(尤)>0,且xf-8时“司-0,

当X-'+8时-»+00,

则“X)的图象如下所示：

答案第12页，共15页

因为关于X的方程e'|x|=m(meR)有三个根，即y=/(无)与>=加有三个交点,

由图可知0<g,即实数m的取值范围为

(2)由(1)可知占<-1<工2<0<尤3，又/'(0)=0，/(l)=e>-,

e

且“X)在(0,+8)上单调递增，所以现e(O,l),使得

所以三e(O,xo),

由e*1(-菁)=6均・%,=加，所以e*』=_*,即退_玉=111_&，

令，=-土，贝lpJ-1-,+8,

X3Uo)

所以无3=y-，tef一,+°0,

1+f1%)

i<1A

人，/、In