2020年中考数学必考考点动态问题含解析

动态问题

专题知识回顾

一、动态问题概述

1.就运动类型而言，有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性

问题等。

2.就运动对象而言，几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。

3.就图形变化而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。

4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求

解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分

析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能

力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。

二、动点与函数图象问题常见的四种类型：

1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图

2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之

间的关系，判断函数图象。

三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型：

L线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与

变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题

中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四

边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

四、动点问题常见的四种类型：

1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角

1

的关系。

2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它

们的边或角的关系。

3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。

4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是否存在动点构成的三

角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。

五、解决动态问题一般步骤：

（1）用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发生变化，所以需要分

类讨论。有时符合试题要求的情况不止一种，这时也需要分类讨论。

（2）画出符合题意的示意图。

（3）根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。

专题典型题考法及解析

【例题1］（点动题）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC中点，点F是边CD上的任意

一点，当4AEF的周长最小时，则DF的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】如图，作点E关于直线CD的对称点E，，连接AE,,交CD于点F.

2

二y

•.•在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC中点，

.\BE=CE=CE,=4.

VAB±BC,CD±BC,

；.CF〃AB,ACE7F^ABEZA.

CEZ/BE'=CF/AB

4/(8+4)=CF/6

解得CF=2.

.".DF=CD-CF=6-2=4.

热点二：线动

【例题2】(线动题)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端

点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3。的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交

于点E,第24秒，点E在量角器上对应的读数是.

【答案】144。

【解析】连接OE,VZACB=90°,

,,.A,B,C在以点0为圆心，AB为直径的圆上.

...点E,A,B,C共圆.

3

VZACE=3°X24=72°,

.".ZA0E=2ZACE=144°.

.•.点E在量角器上对应的读数是144°.

【例题3】(面动题)如图Z10-4,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2,宽为1的长方形CEFD

拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C按顺时针旋转至CE'F'D,,旋转角

为a.

(1)当点1恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；

⑵如图Z10-5,G为BC中点，且0°<a<90°,求证：GDZ=E，D；

⑶小长方形CEFD绕点C按顺时针旋转一周的过程中，△DCD'与能否全等？若能，直接写出旋

转角a的值；若不能，请说明理由.

【答案】见解析。

【解析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心所连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全

等的判定与性质.

⑴：长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'

.'.CD'=CD=2.

在RtACED,中，CD'=2,CE=1,-,.ZCD,E=30°.

VCD/7EF,AZa=30°.

(2)证明：VG为BC中点，/.CG=1..\CG=CE.

•.•长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE,ID',

：.ZD'CE'=ZDCE=90°,CE=CE'=CG.

.".ZGCD7=ZE,CD=90°+a.

4

[CD'=CD.

在AGCD'和△£'CD中*ZGCDr=Z£fCD,

|cG=CE'，

：.hGCD'里△£'CD(SAS),：.GD'=E'D.

(3)能.理由如下:

•.•四边形ABCD为正方形，.\CB=CD.

VCD=CD,,

/.△BCD'与^DCDZ为腰相等的两个等腰三角形.

当/BCD，=ZDCD,时，/SBCD'^△DCD,.

①当△BCD，与ADCD'为钝角三角形时，

360°-90°

Za--\—二13优

乙

②当aBCD'与ADCD'为锐角三角形时，

ABCD1=NDCD'=\zBCD=45°.

90a

AZ«=360o-y=315o.

综上所述，当旋转角a的值为135°或315°时，与ACBD'全等.

专题典型训练题

一.选择题

1.（2019•四川省达州市）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线

上，点A与点F重合.现将4EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止.在

这个运动过程中，正方形ABCD和4EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）

DC

EA(F\B

5

A.0B.°C.0D.O

【答案】C.

【解析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，

本题得以解决.

当0WtW2时，S=Etyy0°工4t2,即s与t是二次函数关系，有最小值（0,0）,开口向上,

当2<tW4时，s=4XSX；in61）一（4_>［凶一；”1皿60。」=加亭1）2,即S与t是

二次函数关系，开口向下，

由上可得，选项c符合题意。

2.（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点,

连接PB,则PB的最小值是（）

【答案】D.

【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段PP，再根据垂线段最短可得当BPLPP时，PB

1212

取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BPLPP,故BP的最小值为BP的长，由勾股定理求解

1121

即可.如图：

当点F与点C重合时，点P在P处，CP=DP,

当点F与点E重合时，点P在P处，EP=DP,

6

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP

由中位线定理可知：PP〃CE且PP=工CF

112

.•.点P的运动轨迹是线段PP,

12

.•.当BPLPP时，PB取得最小值

12

•.•矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点，

.•.△CBE、AADE,Z^BCq为等腰直角三角形，CP=2

AZADE=ZCDE=ZCPB=45°,ZDEC=90°

1

/DPP=90°

21

AZDPP=45°

12

.".ZPPB=90°,即BP_LPP,

21112

；.BP的最小值为BP】的长

在等腰直角肥匚中，CP=BC=2

ABP=272

APB的最小值是2机

3.（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设

运动的路程为x,ZSADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）

【答案】D.

7

191R

【解析】由题意当0WxW3时，y=3,当3VxV5时，y——X3X(5-x)=--x+——.由此即可判断.

222

由题意当0WxW3时，y=3,

当3Vx<5时，y=­X3X(5-x)=-&x+^.

222

4.(2019•湖北武汉)如图，AB是。。的直径，M、N是同(异于A.B)上两点，C是前上一动点，/ACB的

角平分线交。。于点D,/BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径

C.—D.在

22

【答案】A.

【解析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的

运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

如图，连接EB.设0A=r.易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是而，点C的运动轨迹是前，

由题意/M0N=2NGDF,设NGDF=a,贝此M0N=2a,利用弧长公式计算即可解决问题.

：AB是直径，AZACB=90°,

YE是4ACB的内心，；./AEB=135°,

,/ZACD=ZBCD,

8

AD—DB,AAD=DB^^T"^,NADB=90°，

易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是GF,点c的运动轨迹是MN,

7ZM0N=2ZGDF,设NGDF=a,贝ljNM0N=2。

2Q•兀

.诵的长-180_历

•・赢底F・兀•每72.

5.（2019•湖南衡阳）如图，在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,E是AB的中点，过点E作AC和

BC的垂线，垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设

运动时间为t,运动过程中四边形CDEF与4ABC的重叠部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为（）

【答案】C.

【解析】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会

分类讨论的思想，属于中考常考题型.

根据已知条件得到AABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a,当移动的

距离＜a时，如图1,5=正方形的面积-AEE'H的面积=球-《-tz；当移动的距离＞a时，如图2,S=S

2

flC,=^r（2a-t）2=,t2-2at+2期根据函数关系式即可得到结论；

•.,在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,

.•.△ABC是等腰直角三角形，

VEFLLBC,EDXAC,

四边形EFCD是矩形,

；E是AB的中点,

9

,-.EF=—AC,DE=—BC,

22

/.EF=ED,

四边形EFCD是正方形，

设正方形的边长为a,

如图1当移动的距离＜a时，5=正方形的面积-AEE'H的面积=球-；3

当移动的距离＞a时，如图2,S=S=L（2a-t）z=Lt2-2at+2a2,

△AC，Hg2

•••S关于t的函数图象大致为c选项。

6.（2019•浙江衢州）如图所示，正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E-A-D-C

移动至终点C,设P点经过的路径长为x,4CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是

【答案】C

【解析】动点问题的函数图象。结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P

在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.

①当点P在AE上时，

•••正方形边长为4,E为AB中点，

.\AE=2,

点经过的路径长为x,

10

/.PE=x,

y=S=k•PE•BC=kXxX4=2x,

△CPE七2

②当点P在AD上时，

•••正方形边长为4,E为AB中点，

.\AE=2,

・；P点经过的路径长为x,

.\AP=x-2,DP=6-x,

y-S—S—S-S—S,

△CPE正方形ABCDABECAAPEAPDC

=4X4-4X2X4-4X2X(X-2)-Jx4义(6-x),

Lz，

=16-4-x+2T2+2x,

=x+2,

③当点P在DC上时，

:正方形边长为4,E为AB中点，

.\AE=2,

：P点经过的路径长为x,

；.P氏x-6,POlO-x,

y=S=4•PC•BC=4X（10-x）X4=-2x+20,

△CPE22

综上所述：y与x的函数表达式为：

2i<0<x<2）

yf+2（2<rW6）

-2r+20（6<x<10）

7.（2019•甘肃武威）如图①，在矩形ABCD中，AB<AD,对角线AC,BD相交于点0,动点P由点A出发,

沿AB-BC-CD向点D运动.设点P的运动路程为x,AA0P的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,

则AD边的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B.

11

【解析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到

分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.

当P点在AB上运动时，AAOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，AAOP面积最大为3.

.•.LAB•上=3,即AB・BC=12.

22

当P点在BC上运动时，AAOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，AAOP面积为0,此时结合图象可知P点

运动路径长为7,

AAB+BC=7.

则BC=7-AB,代入AB*BC=12,得ABe-7AB+12=0,解得AB=4或3,

因为AB<AD,即AB<BC,

所以AB=3,BC=4.

8.（2019甘肃省天水市）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速

运动一周，设点M的运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭

图形可能是（）

【答案】D

【解析】y与X的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部

分，所以B.C选项不正确；

A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；

D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值.

二、填空题

9.（2019•浙江嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，

AC=12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A

滑动到点C时，点D运动的路径长为cm；连接BD,则4ABD的面积最大值为c®.

12

【答案】(24-12扬，(2473+36^2-12遍)

【解析】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形

面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键.

,.,AC=12cm,ZA=30°,ZDEF=45°

.".BC=45/3cni,AB=8\/^cm,ED=DF=6j^cm

如图当点E沿AC方向下滑时，得过点D'作D'NJ_AC于点N,作D'NLLBC于点M

.\ZMD，N=90°,且/E'D'F'=90°

：.ZE'D，N=ZF，D'M,且ND'NE'=ND'MF'=90°,E'D'=D'F'

.♦.△D'NE'0Z\D'MF'(AAS)

，D'N=D'M,且D'N_LAC,D'M_LCM

.♦.CD'平分/ACM

即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，

/.当E'D'±AC时，DD'值最大，最大值=5/^1)-CD=(12-6a)cm

二当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长=2X(12-6>/2)=(24-12«)cm

如图，连接BD',AD',

VS=S+S-S

△AD'BAABCAAD'CABD'C

AS=LBCXAC」XACXD，N-LxBCXD，M=246d(12-46)XD，N

△AD,B2222

13

当E'D'J_AC时，S,有最大值，

△ADB

.飞„最大值=2464（12-4>/3）X6>/2=（246+366-12而cm2.

10.（2019•四川省广安市）如图8.1,在四边形A5CD中，AD//BC,N5=30。，直线/，A3.当直线/

沿射线BC方向，从点6开始向右平移时，直线/与四边形ABCD的边分别相交于点£、b.设直线/向右

平移的距离为X，线段即的长为y,且y与X的函数关系如图8.2所示，则四边形ABCD的周长

是.

图8.1

【答案】10+2/

【解析】由题意和图像易知BC=5,AD=7-4=3

当BE=4时（即F与A重合），EF=2,又因为/，45且/B=30°,所以AB=2jW,

因为当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED，为正三角形，所以CD=2,故答案时10+2^3.

11.（2019•山东潍坊）如图，直线y=x+l与抛物线y=X2-4x+5交于A,B两点，点P是y轴上的一个动点，

【答案】5

【解析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答本题的关键是明确题

意，利用数形结合的思想解答.

根据轴对称，可以求得使得4PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度,

14

即可求得4PAB的面积，本题得以解决.

"y=x+l

y=x-4x+5

・••点A的坐标为（1,2）,点B的坐标为（4,5）,

AB=7（5-2）2+（4-1）2=啦,

作点A关于y轴的对称点A，,连接A，B与y轴的交于P,则此时4PAB的周长最小,

点A'的坐标为（-1,2）,点B的坐标为（4,5）9

设直线A，B的函数解析式为y=kx+b,

/2,得

l4k+b=5匕工

直线A，B的函数解析式为丫=?^42，

55

1q

当x=0时，y="—,

5

即点P的坐标为（0,丝），

5

将x=0代入直线y=x+l中，得y=L

・・•直线y=x+l与y轴的夹角是45°,

.•.点P到直线AB的距离是：（"-1）Xsin45°_8vV2_W2

X9

5525

丽义华'12

♦•.△PAB的面积是：--------5_=华，

9.5

/彳,

三、解答题

15

12.(2019•湖北省仙桃市)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC的顶点坐标分别为0(0,0),A(12,

0),B(8,6),C(0,6).动点P从点0出发，以每秒3个单位长度的速度沿边0A向终点A运动；动点Q

从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，PQ=y.

(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；

(2)当PQ=3、/^时，求t的值；

(3)连接0B交PQ于点D,若双曲线y=K(kW0)经过点D,问k的值是否变化？若不变化，请求出k的

【答案】见解析。

【解析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性

质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；

(2)通过解一元二次方程，求出当PQ=3\后时t的值；(3)利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出

点D的坐标.

(1)过点P作PELBC于点E,如图1所示.

当运动时间为t秒时(0WtW4)时，点P的坐标为(3t,0),点Q的坐标为(8-2t,6),

；.PE=6,EQ=|8-2t-3t|=|8-5t|,

，PQ=PE2+EQ=62+|8-5t|2=25t2-80t+100,

.\y=25t2-80t+100(0WtW4).

故答案为：y=25t2-80t+100(0WtW4).

(2)当PQ=3近时，25t2-80t+100=(3&)2,

整理,得：5t2-16t+ll=0,

解得：t=1,t="^r".

125

(3)经过点D的双曲线丫=K(kWO)的k值不变.

X

16

连接OB,交PQ于点D,过点D作DFL0A于点F,如图2所示.

V0C=6,BC=8,

.-.OB=^OC2+BC2=1O.

,/BQ//OP,

.,.△BDQC-AODP,

.BD=BQ=2t_=2.

••而一而一宝一耳’

0D=6.

VCB/70A,

ND0F=NOBC.

在RtZXOBC中，sinZ0BC=—,cosZ0BC=—=—=1

OB104OB105

424

3,=28

0F=0D*cosi/0BC=6X—=,DF=OD・sin/0BC=6X

55

.•.点D的坐标为

直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向

匀速运动，速度为lcm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PELAB,交BC于点E,过

点Q作QF〃AC,分别交AD,0D于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:

(1)当t为何值时，点E在/BAC的平分线上？

(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，

请说明理由；

(4)连接OE,0Q,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OELOQ?若存在，求出t的值；若不存在，请

17

说明理由.

A

【答案】见解析。

【解析】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边

形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

(1)在RtZkABC中,VZACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,

AC=22=6

*'-V10-8(cm),

・.・0D垂直平分线段AC,

0C=0A=3(cm),ND0C=90°,

VCD/7AB,

・・・NBAC=NDCO,

・.・NDOC=ZACB,

AADOC^ABCA,

.AC=AB=BC

••而一而一而，

._6=10=_8_

••彳―CD~OD'

.\CD=5(cm),0D=4(cm),

VPB=t,PEJ_AB,

易知：PE=§t,BE=gt,

44

当点E在/BAC的平分线上时，

VEP±AB,EC±AC,

.\PE=EC,

18

•二t=4.

・••当t为4秒时，点E在NBAC的平分线上.

(2)如图，连接OE,PC.

S=S+S=S+(S+S-S)

四边形OPEG△OEGAOPEAOEGAOPCAPCEA0EC

14141KqiH

=^—•(4--t)*3+*3*(8~~~t)i1•(8-t--*3*(8-)

252524524

O-1r

―-《t+16(0<t<5).

33

(3)存在.

VS=-凶(t-&)2+—(0<t<5),

323

;.t=W■时，四边形OPEG的面积最大，最大值为毁.

23

(4)存在.如图，连接0Q.

•/OE±OQ,

AZE0C+ZQ0C=90°,

VZQ0C+ZQ0G=90",

NE0C=NQOG,

tanZEOC=tanZQOG,

.EC=GQ

"OC0G，

53

,8V工

.丁一工

5

整理得：5t2-66t+160=0,

解得t=”或10(舍弃)

5

.•.当t=』0秒时，OEJ_OQ.

5

19

A

14.（（2019山西）综合与探究

如图，抛物线旷=取2+云+6经过点A（-2,0）,B（4,0）两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上一个

动点，设点D的横坐标为力（1（加＜4）.连接AC,BC,DB,DC.

（1）求抛物线的函数表达式；

3

（2）4BCD的面积等于△A0C的面积的二时，求机的值；

（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,

使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】见解析。

【解析】(1)抛物线y+8x+c经过点A(-2,0),B(4,0),

.__3

4«-2Z?+6=0a~4

解得V1，

16a+4b+6=0,3

ib=—

l2

33

.•.抛物线的函数表达式为y=-丁尤2+x+6

42

(2)作直线DE_Lx轴于点E,交BC于点G,作CFLDE,垂足为F.

•.•点A的坐标为(-2,0),/.0A=2

由x=0,得y=6,点C的坐标为(0,6),；.OC=6

20

11339

・・.S=_O40C=_x2x6=6,VS=-S=-x6=-

△OAC22ABCD4AAOC4?

设直线BC的函数表达式为y=kx+nf

,3

r4k+几=0k=――

由B,C两点的坐标得＜，,解得＜2

n=6,

i[n=b

3,

・,・直线BC的函数表达式为y=~-x+6.

3

・••点G的坐标为+6),

3333

/.DG=--m2+—m+6-—m+6)=--m2+3m

4224

:点B的坐标为(4,0),.\0B=4

SABC1＞SACDG4-SABDG-^DGCF+^DGBE=^-DG(CF+BE)=L-DGBO

133

=—(一-机2+3m)x4=--7〃2+6m

242

39

A--im+6m=-,解得加=1(:舍)，机=3,...机的值为3

2212

(3)M(8,0),M(0,0),M(^/14,0),M(-",0)

1234

如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图

以BD为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解.

c15、15

：D点坐标为(3,丁)，所以N,N的纵坐标为二

4124

33,15

--x2+-x+6=—,解得x=-l,x=3(舍)

42412

可得N(-1,^),(0,0)

242

]53315

:.N,N的纵坐标为——时，——元2+—%+6=——,x=1—^14,x=1+J14

1

3444242

N(l+g，T),，M(g。)，N(1-714,(-714,0)

34

3444

以BD为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解

21

V2V(-1,M(3+4-(-1),15+0--),.1.M(8,0)

i4i44i

15.(2019•湖南岳阳)操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形ABCD沿直线

EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点。处.点P为直线EF上一动点(不与E.F重合)，过点P

分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.

(1)如图1,求证:BE=BF；

(2)特例感知：如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

(3)类比探究：若DE=a,CF=b.

①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不

要求写证明过程)

【答案】见解析。

【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形

的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用

面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题.

(1)证明/BEF=/BFE即可解决问题(也可以利用全等三角形的性质解决问题即可).证明：如图1中，

22

图1

•.•四边形ABCD是矩形，

AD〃BC,；.ZDEF=ZEFB,

由翻折可知：ZDEF=ZBEF,

NBEF=NEFB,；.BE=BF.

(2)如图2中，连接BP,作EIUBC于H,则四边形ABHE是矩形.利用面积法证明PM+PN=EH,利用勾股

定理求出AB即可解决问题.

如图2中，连接BP,作EH_LBC于H,则四边形ABHE是矩形，EH=AB.

VDE=EB=BF=5,CF=2,

.,.AD=BC=7,AE=2,

在RtZkABE中,VZA=90°,BE=5,AE=2,

**•AB=452一？2=/21，

VS=S+S,PM±BE,PN±BF,

△BEFAPBEAPBF

1,.BF-EH=X-BE-PM+工•BF-PN,

222

VBE=BF,.\PM+PN=EH=V21，

•••四边形PMQN是平行四边形，

四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=2j五.

(3)①如图3中，连接BP,作EHLBC于H.由S-S=S,可得工BE・PM-L・BF・PN=L・BF・EH,

AEBPABFPAEBF229

由BE=BF,推出PM-PN=EH=疗二由此即可解决问题.

②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM-QN=PN-PM=^a2_b2.

23

①证明：如图3中，连接BP,作EFUBC于H.

AED

・.・ED=EB=BF=a,CF=b,

.\AD=BC=a+b,

・・・AE=AD-DE=b,

.-.EH=AB=A/a2_b2,

VS-s=s,

△EBPABFPAEBF

.•ABE«PM-上・BF・PN=LBF・EH,

222

：BE=BF,

.\PM-PN=EH=^a2.b2,

•..四边形PMQN是平行四边形，

.*.QN-QM=(PM-PN)=J2_b2.

②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM-QN-PN-PM=^a2_b2.

16.(2019•湖南邵阳)如图，二次函数y=-gxz+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为(8,0)

(1)求该二次函数的解析式；

(2)在x轴上方作x轴的平行线％=m,交二次函数图象于A.B两点，过A.B两点分别作x轴的垂线，垂

足分别为点D.点C.当矩形ABCD为正方形时，求m的值；

(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的

速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停

止运动，设运动时