2024届山东禹城市综合高中数学高二年级上册期末预测试题含解析

2024届山东禹城市综合高中数学高二上期末预测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2x+y-2<0,

1.若实数X,y满足约束条件V-120,，则Z=x+2y的最小值为（）

y+l>0,

A.-3B.-2

1

C.D.1

2

2.AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市

3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是

A.这12天的AQI的中位数是90

B.12天中超过7天空气质量为“优良”

C.从3月4日到9日，空气质量越来越好

D.这12天的AQI的平均值为100

22

3.已知点月、工为椭圆土+乙=1的左、右焦点，若点P为椭圆上一动点，则使得/片呐=工的点尸的个数为（）

43~3

A.OB.2

C.4D.不能确定

4.已知等差数列｛。,,｝的前〃项和为S“，%=7,S4=20,则即）=（）

A.25B.32

C.35D.40

5.已知命题p:VxeR,x2-x+l«0,则­]?为()

A.3xe7?,x2-x+1<0B.Vxe7?,%2-x+1<0

C.3xe7?,x2-x+1>0D.Vxe/?,x2-x+l>0

6.已知A,B,C,。是同一球面上的四个点，其中-ABC是正三角形，ADL平面ABC,AD^2AB=12,则该球

的表面积为()

A.64下>7iB.967r

C.192〃D.487r

7.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小

满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的

日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为()

A4尺B.8.5尺

C.16.1尺D.18.1尺

8.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角NAQ3的一边QA上的两点，试在边上找一点尸，

使得NMPN最大的.”如图，其结论是：点尸为过“、N两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决一

下问题：在平面直角坐标系X0V中，给定两点M(-L2),N(l,4),点尸在左轴上移动，当NMPN取最大值时，点P

的横坐标是()

A.1

B.2

C.1或-7

D.2或-7

9.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极

图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆。的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的

一个“太极函数”，设圆。：%2+y2=1,则下列说法中正确的是。

①函数y=V是圆。的一个太极函数

②圆。的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数

③函数y=SinX是圆。的一个太极函数

④函数/(%)的图象关于原点对称是/(%)为圆。的太极函数的充要条件

A.①②B.①③

C.②③D.③④

10.如图，A,B,C三点不共线，。为平面A8C外一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形,

ZOAC^ZOAB=120°,|<9A|=2,则03.3。=()

C.2D.-2

11.双曲线的离心率为6,焦点到渐近线的距离为2后，则双曲线的焦距等于

A.2

C.4D.4百

12.若向量a=(1,2,0),6=(-2,0,1),贝!JO

--1

A.cos〈a,b/——B.°_1_匕

2

rr

C-allbD.a=\b\

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知/(%)="—1,则曲线y=/(“在点(I"⑴)处的切线方程是.

14.某学校为了获得该校全体高中学生的体有锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生

的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小

时，方差为8.根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为

15.等比数列｛4｝的各项均为正数，且为。6+。4。7=18,则log3%+log3a2+…+log3a10=.

16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：d+y2=i+Ny就是其中之一（如图）.给出下列三个结论:

其中，所有正确结论的序号是

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过0；

③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1+，=l（a〉6〉0）的离心率为半，且点[&在椭圆C上

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P（LO）的直线与椭圆C交于4B两点,试探究直线丁=%上是否存在定点Q,使得勺4+勺B为定值X.若

存在，求出定点。的坐标及实数彳的值；若不存在，请说明理由

18.（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180）,[180,200）,[200,220）,[220,240）,

[240,260）,[260,280）,[280,300]分组的频率分布直方图如图

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取

户居民，则月平均用电量在［220,240）的用户中应抽取多少户？

19.（12分）解下列不等式：

（1）-2X2+X+3<0;

20.（12分）已知数列｛4｝,｛〃｝,其中，｛4｝是各项均为正数的等比数列，满足3q+g=18,=9a,a5,且

bn=210g3«„-l

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

（2）设c“=anbn,求数列｛c,｝的前〃项和S“

21.（12分）已知点M到两个定点41,0）1（4,0）的距离比为工

2

（1）求点M的轨迹方程；

（2）若过点P（L-3）的直线/被点M的轨迹截得的弦长为26，求直线/的方程

22.（10分）某情报站有4B、C、D、E.五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末

使用的四种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A密码，号表示第上周使用A密码的概率

（1）求片，鸟，月，居;

（2）求证：为等比数列，并求巴的表达式

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

1z1

【解题分析】先画出可行域，由z=x+2yny=尤+：,作出直线y=—向下平移过点A时，z=x+2y取得最

小值，然后求出点A的坐标，代入目标函数中可求得答案

【题目详解】由题可得其可行域为如图，I：z=x+2yny=-51x+'7,当/经过点A时，,取到最小值,

V=一1尤=0

由।八，得「即A(O,—1),

x-y—1=0=

所以z=x+2y的最小值为0+2x(-!)=-2

故选：B

95+92

【解题分析】这12天的AQI指数值的中位数是^—=93.5,故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的

有95,85,77,67,72,92共6天，故B不正确；；

从4日到9日，空气质量越来越好,，故C正确；这12天的AQ/指数值的平均值为110,故D不正确.

故选C

3、B

【解题分析】利用余弦定理结合椭圆的定义可求得|尸周、即可得出结论.

\PF2\,

22

【题目详解】在椭圆t+g=l中，a=2,b=Ac=l，贝!11尸+|尸阊=2。=4,

附「+|P82-寓桂(附|+熙|)2-|耳阊2-2电|忖闾

2|明|•尸图"2附“P闾

42—22-2/7讣归国6—归制忖闾」

可得|尸司尸闯=4,

2附上|尸司一阀卜|尸国一2

PR+|PF,|=4

所以,解得|尸行|=|尸2|=2,此时点P位于椭圆短轴的顶点.

PF,J*=4

因此，满足条件的点P的个数为2.

故选：B.

4、C

【解题分析】利用已知条件求得q,d,由此求得

CL&—7a.+2d=l

【题目详解】依题意《=><〔4%+6d=20'解得q=一"=4,所以…+9d=35.

=20]

故选：C

【题目点拨】本小题主要考查等差数列的通项公式和前”项和公式，属于基础题.

5、C

【解题分析】将全称命题否定为特称命题即可

【题目详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得

命题:Vxe7?,x2-x+1<0,贝!I—>p:Bxe7?,x2-x+1>0,

故选：C.

6、C

【解题分析】由题意画出几何体的图形，把A、5、C、。扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球

的半径，由此能求出球的表面积

把A、B、C、。扩展为三棱柱，

上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径,

AD=2AB=12,OE=6,是正三角形，

AB2—(-AB)2=2^/3,AO=-^62+(2-\/3)2=，

.•球的表面积为S=有J=192万

故选：C

7、C

【解题分析】设等差数列{4},用基本量代换列方程组，即可求解.

【题目详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十

二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列{4},公差为d,

q+/+%=36.3产6d=36.3a=16.1

则有<解得:x

%+〃6+〃10=18.33q+15d=18.3d=—2

即冬至的日影长为16.1尺.

故选：C

8、A

【解题分析】根据米勒问题的结论，P点应该为过点河、N的圆与x轴的切点，设圆心。的坐标为(。泊)，写出圆

的方程，并将点M、N的坐标代入可求出点P的横坐标.

【题目详解】解：设圆心。的坐标为(。力)，则圆的方程为(％—a)?+(y—42=/,

(-l-a)2+(2-6)2=/

将点河、N的坐标代入圆的方程得《

(1-4+(4-b)2="

tz—1a=-7

解得b=2或(舍去)，因此，点夕的横坐标为1,

b=lQ

故选：A.

9、B

【解题分析】①③可以通过分析奇偶性和结合图象证明出符合要求，②④可以举出反例.

【题目详解】y=/是奇函数，且与圆。的两交点坐标为(1,1),(-L-1),能够将圆。的周长和面积同时等分为两个

部分，故符合题意，①正确；

同理函数丁=$也%是圆。的一个太极函数，③正确；

—2x—2,x<—1

例如y=O,-lVx<l,是偶函数，也能将将圆。的周长和面积同时等分为两个部分，故②错误；

2x-2,x>l

函数f(x)的图象关于原点对称不是/(%)为圆。的太极函数的充要条件,

例如y=x,xe为奇函数，但不满足将圆。的周长和面积同时等分为两个部分，所以④错误;

故选：B

10、B

【解题分析】根据向量的线性运算，将向量08表示为=-AO+AB，再根据向量的数量积的运算进行计算可得答

案，

【题目详解】因为O5=OA+AB=—AO+AB，

所以03.3C=bA0+A3）（AC-AM=-A0AC+A0A3+A5AC-A32

=-2x1xcos1200+2xcos1200-1=-1,

故选：B.

11,D

【解题分析】不妨设双曲线方程为，V八八-，

/一7=1(a>0,h>0)

则e=£=若，即c=^a,设焦点为(。，0)，渐近线方程为y=2x,

aa

则d=了=-b—2A/2,又/?2=02_〃2=&

加J+।/c

解得〃=2,C=2A/3.则焦距为4G.选：D

12、D

【解题分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断

【题目详解】由已知,卜412十22+()2=6,W=J(—2/+02+F=6,

a-b=lx(-2)+2x0+0xl=-2,6与。不垂直

若b=ka，则0=2左，左=0,但是，1/0x0,因此/，与a不共线

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、ex-y-l=0

【解题分析】求导/'(x)=e，,得到了'⑴,/⑴，写出切线方程.

【题目详解】因为/(%)=/—1,

所以/'(力=产,

所以曲线y=f(x)在点(1,,f(l))处的切线方程是y-e+l=e(x-l),

即e%_y_]=O,

故答案为：ex-y-1=0

14、7.89

【解题分析】先求出100名学生每周锻炼的平均时间，然后再求这100名学生每周锻炼时间的方差，从而可估计该校

学生每周锻炼时间的方差

【题目详解】由题意可得55名男生和45名女生的每周锻炼时间的平均数为

*><(55x8+45x6)=7.1小时，

因为55名男生每周锻炼时间的方差为6；45名女生每周锻炼时间的方差为8,

所以这100名学生每周锻炼时间的方差为

5545

——X[6+(8-7.1)2]+——义[8+(6—7.1)2]=7.89,

100100

所以该校学生每周锻炼时间的方差约为7.89,

故答案为：7.89

15、10

【解题分析】由等比数列的性质可得4%0==a3g=a4a7=«5a6=9,再利用对数的性质可得结果

【题目详解】解：因为等比数列｛q｝的各项均为正数，且。5%,+%%=18,

所以«1«10=a2a§=a3ag=a4a7=a5a6=9,

所以log3q+log3a2+•••+log3aw=log3(«1a2a3•••a10)

=log3(a1[o-a2a§...a5a6)

5

=log39=10

故答案为：10

16、①②

【解题分析】根据题意，先判断曲线。关于丁轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到Y+y2V2,可判定①

正确；当％之0时，x2+y2<2,得到曲线。右侧部分的点到原点的距离都不超过血，再根据曲线。的对称性，可

判定②正确；由左轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在x轴的下方，图形的面积大于三点围成的三

角形的面积，可判断③不正确.

【题目详解】根据题意，曲线C：*+y2=l+Ny,

用(-x,y)替换曲线方程中的(x,y),方程不变，所以曲线。关于y轴对称，

22

对于①中，当时，x2+y2=l+\^\y,即为++孙41+王首，

可得/+丁<2,所以曲线经过点(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),

再根据对称性可知，曲线还经过点(-故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；

对于②中，由①可知，当％之0时，x2+y2<2,即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过血，再根据曲线C

的对称性可知，曲线C上任意一点到原点的距离都不超过血，所以②正确；

对于③中，因为在x轴的上方，图形的面积大于四点(-1,0),(LO),(LD,(-M)围成的矩形的面积1x2=2,在*轴的

下方，图形的面积大于三点(-1,0),(1,0),(0,-1)-围成的三角形的面积工x2xl=l,所以曲线。所围城的“心形”区域

2

的面积大于3,所以③不正确.

故选：①②

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)—+y2=1

4

Q

(2)存在，定点。的坐标为(4,4),实数X的值为§

cs/3

e=—=——

【解题分析】(1)由题意可得a2,再结合a2=/+c2,可求出/力2,从而可求得椭圆方程，

21«

[a22b2

(2)设在直线y=x上存在定点。(也租)，当直线斜率存在时，设过点尸的动直线/为y=A(x-1),设A(冷％),

3(々,％)，将直线方程代入椭圆方程消去丁，利用根与系数，再计算为A+%OB为常数可求出山，从而可求得X,当

直线斜率不存在时，可求出A5两点的坐标，从而可求得%%的值

【小问1详解】

\C百

e=—=——

a2

由题意知＜

21

[/+赤=1

/=4

结合/=〃+，，可得

b2=1

所以椭圆C的标准方程为—+y2=l,

4'

【小问2详解】

设在直线丁=x上存在定点Q[m,m）,使%%+kQB为定值2,

①当直线斜率存在时，设过点P的动直线/为y=A（x-1）,设

H）2

由f2得（4左2+1）尤2_8/尤+4左2_4=0,则玉442—4

J.V=+

m

yx-my2~kxx-k-mkx2-k-m

所以为A+KQB

xx-mx2—mx1—mx2—m

2何%—（左加+Z+m）（%i+々）+2加（左+间2M442—4）-842（左〃z+4+〃。+（2雇+2〃/）（442+1）

22

%1%2-m（xj+x2）+m4左2-4-%k~m+m（4左？+1）

（8m2-8m）k2+（2m—8）k+2m2

'2：——2,一二2为常数

y4m-8m+4jA:+m-4

8m2-8m_2m

则<4m2—8m+4m2—4解之得m=4,

2m—8=0

2m28

即定点为。（4,4）,则彳

m2-43

6

②当直线斜率不存在时,即动直线方程为x=l,不妨设A1,-

~2

7

44_3

此时7,4+T28也成立

k+k=-----+-----=-

n2AnQRB4-14-13

QO

所以，存在定点。（4,4）使+^B=3为定值，即％=§

18、(1)0.0075；(2)230,224；(3)5

【解题分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=l,解方程可得；(2)由直

方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在［220,240)内，设中位数为a,解方程(0.002+0.0095+0.011)

x20+0.0125x(a-220)=0.5可得；(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例，可得要抽取的户数

试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=1得：

x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075..................3分

220+240

⑵月平均用电量的众数是---------=230....................5分

2

H(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在［220,240)内，

设中位数为a,

由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5

得：a=224,所以月平均用电量的中位数是224.................8分

⑶月平均用电量为【220,240)的用户有0.0125x20x100=25户，

月平均用电量为［240,260)的用户有0.0075x20x100=15户，

月平均用电量为［260,280)的用户有0.005x20x100=10户，

月平均用电量为［280,300］的用户有0.0025x20x100=5户，................10分

抽取比例=-------------=1,所以月平均用电量在［220,240)的用户中应抽取25x2=5户.-12分

考点：频率分布直方图及分层抽样

19、(1)(-co,-l)o||-,+oo|

I00

(2)

【解题分析】(1)利用十字相乘解题即可

(2)利用分子分母同号为正，异号为负思想，注意讨论分母不为0

【小问1详解】

3(3

由题一2%2+%+3<0，即2%2一％一3>0=(2%—3)(%+1)>0,解得彳<一1或x〉］,即xe(—oc,-1)I-,+℃

【小问2详解】

2x-l(2x-l)(4x-37)>013(13

由题-----200(八，解得或X〉一，即xc—,+00

4%-314%-3。024(24

n

20、(1)an=39bn=2n-l

(2)S„=(n-l)3),+1+3

【解题分析】(1)利用公式法，基本量代换求出数列｛%,｝,｛2｝的通项公式;

(2)利用错位相减法求和.

【小问1详解】

设等比数列｛4｝的公比为g,因为%2=9。0=9崎，

所以。4=3%，所以自二/二？.所以3。1+4=6%=18,所以4=3,

所以4=6尸=3<所以a=21og3an-l=210g33"-1=2〃-1,

所以4=3",2=2〃—1

【小问2详解】

%=。也=（2"—1）3”,

所以S”=lx3+3x32+5x33+---+（2n-3）3,,-1+（2H-l）3\

3SH=lx32+3x33+5x34+---+（27i-3）3n+（2n-l）3n+1,

所以—2S„=3+2（32+33+34+-+3"）—（2"—1）3"+I

2x32（1-3"-1）

=