2023-2024学年吉林省长春九年级（下）开学数学试卷

2023-2024学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试

卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）下面的式子是分式的是（）

A..1B.3C.2D.X2〉

2x5

2.（3分）今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900

人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为（）

A.30.479X105B.3.0479X105

C.3.0479X106D.3.0479X107

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a3-a2=aB.a2*a=a3C.（o2）3=a5D.<76-?tz2=a3

4.（3分）如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）

5.（3分）如图，游乐场有一个长120cm的跷跷板48,48的支撑柱0〃垂直地面于点”,

。为Z8的中点，当48一端/着地时，/历i"=25°,则支撑柱O”的长可表示为（）

60

B.cir

sin250

C.60sin25°cmD.60tan25°cm

6.（3分）如图，已知力8〃CD〃EG它们依次交直线/i、/2于点力、D、产和点8、C、E,

如果DF=3：1,BE=24,那么CE等于（)

第1页（共26页）

2

/EFV

A.9B.4C.6D.3

7.（3分）如图，在△ABC中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点8和点C为圆心，大

于3C一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点〃和点N,作直线交48于点。，连结

CD.若4B=8,AC=4,则△/C。的周长为（）

8.（3分）双曲线C1：y相（x〉o）和Co：y2（x〉0）如图所示，设点尸在Cl上，

1x2x

PCLx轴于点C,交C2于点/,PZ>_Ly轴于点。，交C2于点8,则四边形0ZP8的面积

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（每题3分，共18分）

9.（3分）分解因式：a2b-b—.

10.（3分）关于x的一元二次方程（k-1）/-2x+l=0有两个实数根，则左的取值范围

是.

11.（3分）一桶方便面为x元，一瓶矿泉水比一桶方便面便宜2元，小明准备买2桶方便

面和3瓶矿泉水，小明一共花的钱数为元.

12.（3分）如图，。。与正六边形O/8COE的边OZ、OE分别交于点尸、G,则FG所对的

第2页（共26页）

圆周角/FPG的大小为度.

13.（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡比是1：M，堤坝高8c=60米，则

迎水坡面的长度为米.

14.（3分）如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若

规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道

有不少于工米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为米.

3

三、解答题（本大题10小题,

2

15.（6分）先化简，再求值：A12X+L_X,其中工=2.

x2-lx+1

16.（6分）从一副扑克牌中选取红桃/、方块4、梅花K三张扑克牌，正面朝下洗匀后放

在桌面上，小红先从中随机抽取一张，放回洗匀；小明再从中随机抽取一张，用画树状

图（或列表）的方法，求小红和小明抽取的扑克牌的牌面都是/的概率.

17.（6分）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深

受大家喜欢.某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二

次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%,同样用2400元购进的数量比第一次少

10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？

18.（7分）将两个完全相同的含有30°的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，

点AE、B、。依次在同一条直线上，连接ZRCD.

（1）判断四边形NEDC的形状，并给出证明.

第3页（共26页）

（2）已知8c=8,当四边形力FDC是菱形时，的长为

19.（7分）某校举办了“弘扬中华传统文化，做新时代的中学生”的知识竞赛.以下是从

七年、八年两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：

七年级：7688936578948968955089888989779487

889291

八年级：7497968998746976727899729776997499

739874

根据上面的数据，进行理、分析，给出以下信息：

成绩50WxW5960<xW6970WxW7980Wx<8990WXW100

人数

年级

七年12ab6

八年011018

说明：成绩90分及以上为优秀，60分以下为不合格）分析数据:

年级平均数中位数众数

七年8488.5C

八年84.2d74

（1）求“=，h=，c=,d—；

（2）七年级按照竞赛规则凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励.如果想让一半左右

的学生能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适（填“平均数”、“众数”或

“中位数”）；

（3）若八年级有900名学生，试估计八年级学生成绩优秀的人数.

20.（7分）如图，在6X6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,4、B、C均为小正

方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹.

第4页（共26页）

(1)在图1中作出8C边上的高/。；

(2)在图2中作出NC边上的点E,使得“£：CE=3：4；

(3)在图3中作出边上的点尸，使得tanNACF/"，

5

21.(8分)甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(〃?)与挖掘时间

x(A)之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)甲队在开挖后6小时内，每小时挖m.

(2)当2WxW6时，求y乙与x的之间的函数关系式.

(3)直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5〃?.

22.(9分)教材呈现：如图是华师大版数学九年级上册教材第77页的部分内容，猜想：如

图在△/BC中，点。、E分别是与/C的中点.根据画出的图形，可以猜想：DE//

BC,且OE=LC.对此，我们可以用演绎推理给出证明.(1)定理证明：请根据教材

2

内容，结合图①，写出证明过程.

(2)定理应用：如图②，已知矩形中，AD=S,CD=6,点P在8c上从8向C

移动，

G、E、尸分别是。C、AP.GP的中点，则跖=.

(3)拓展提升：在平行四边形/8CO中，48=12,点E是C。的中点，过点4作N/8C

平分线的垂线，垂足为点尸，连结£尸，若EF=3,则8c

第5页(共26页)

=.数材图形图①图②

23.(10分)如图①，在矩形Z8CZ)中，/8=4,4D=6,点E在边BC上，且8E=2,动

点P从点E出发,沿折线E8-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作NPEQ=90°,

EQ交边4D或边DC于点Q,连接尸0,当点0与点C重合时，点尸停止运动.设点P

的运动时间为f秒.(?>0)

(1)当点P和点5重合时，线段尸。的长为:

(2)当点0和点。重合时，求患的比值是多少？

QE

(3)当点P在边4。上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说

明理由；

(4)作点E关于直线尸。的对称点凡连接PF、QF,当四边形£尸尸。和矩形Z8CO重

叠部分图形为轴对称四边形时，请直接写出f的取值范围.

经过点/、B,并与x轴交于另一点C.

(1)点Z的坐标是，点B的坐标是；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在直线Z8下方的抛物线上有一个点。，求这个四边形/C8。面积的最大值，并写

出点。坐标；

(4)在x轴上有一个动点尸(加，0),当线段04绕点尸逆时针旋转90°后得到线段

MN.当线段与抛物线只有一个公共点时，请直接写出机的取值范围.

第6页(共26页)

第7页（共26页）

2023-2024学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）下面的式子是分式的是（）

A.三B.3C.2D.x2y

2x5

【解答】解：上面的式子是分式的是国，

x

故选：B.

2.（3分）今年哈尔滨旅游火出圈了，截止元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客3047900

人次，其中3047900这个数字用科学记数法表示为（）

A.30.479X105B.3.0479X105

C.3.0479X106D.3.0479X107

【解答】解：3047900=3.0479X1O6.

故选：C.

3.（3分）下列运算正确的是（〉

A.a3-cr—aB.a2,a=a3C.（a2）3=a5D.a（,Jra1=ai

【解答】解：A.a3-a2,无法合并，故此选项不合题意；

B.a2*a—a3,故此选项符合题意；

C.（02）3=心，故此选项不合题意；

D.a6+a2=a4,故此选项不合题意.

故选:B.

4.（3分）如图是由五个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）

B

第8页（共26页）

D.

【解答】解：从正面看易得底层有3个正方形，上层中间有一个正方形.

故选：A.

5.（3分）如图，游乐场有一个长120c机的跷跷板为8,48的支撑柱O"垂直地面于点〃,

O为48的中点，当43一端Z着地时,/瓦I〃=25°,则支撑柱0〃的长可表示为（）

B

AH

A60R60

cos250cir'sin25。Cir

C.60sin25°cmD.60tan25°cm

【解答】解：：。为N8的中点，AB=120cm,

：.OA=X4B=60（cm）,

2

在RtZ^/CW中，NBAH=25°,

OH=OA*sm25°=60*sin25°（cm）,

故选：C.

6.（3分）如图，已知AB//CD〃EF,它们依次交直线/|、/2于点力、D、尸和点8、C、E,

如果DF=3：1,BE=24,那么CE等于（）

一

/EfV

A.9B.4C.6D.3

【解答】解：,：AB//CD//EF,

.•*整=3,

DFCE

:.BC=3CE,

■:BC+CE=BE,

第9页（共26页）

，3CE+CE=24,

；.CE=6.

故选：C.

7.（3分）如图，在△/BC中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点8和点C为圆心，大

于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点收和点N,作直线交48于点。，连结

CD.若4B=8,4c=4,则△NCD的周长为（）

C

A.9B.10C.11D.12

【解答】解：根据作图过程可知：

MN是线段BC的垂直平分线，

：.CD=BD,

：.^ACD的周长为：AC+CD+AD^AC+BD+AD^AC+AB=4+S^12.

故选：D.

8.（3分）双曲线C[:y」（x>0）和C0：y=2（x>0）如图所示，设点尸在Cl上，

1X2X

PCLx轴于点C,交。2于点4轴于点。，交C2于点8,则四边形。力尸8的面积

为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：・・・PCJ_x轴，轴，

•*S^AOC=S^BOD=—^2=1»S矩形PCOQ=4，

2

...四边形H。8的面积=4-2X1=2.

故选：B.

二、填空题（每题3分，共18分）

第10页（共26页）

9.(3分)分解因式：crb-b=b(a+1)(a-1)

【解答】解：a2b-b

—b(a2-1)

=b(a+1)(a-1).

故答案为：b(〃+1)(a-1).

10.(3分)关于x的一元二次方程1)x2-2x+l=0有两个实数根，则k的取值范围是

■W2且左W1.

【解答】解：，•关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+l=0有两个实数根，

△=序-4℃=4-4(Ar-1)20且％-IWO,

解得：仁2且21.

故答案为：kW2且左W1.

(3分)一桶方便面为x元，一瓶矿泉水比一桶方便面便宜2元，小明准备买2桶方便

面和3瓶矿泉水，小明一共花的钱数为(5x-6)元.

【解答】解：2x+3(x-2)

=2x+3x-6

=5x-6,

故答案为：(5x-6).

12.(3分)如图，OO与正六边形O/8C0E的边04、分别交于点八G,则前所对的

【解答】解：•.•六边形O/8C0E是正六边形,

.♦.N/0E=IWO。X(6-2)=]20°,

6

即NR9G=120°,

.•.NFPG=J-NFOG=60。.

2

故答案为：60.

第11页(共26页)

13.（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡48的坡比是1：愿，堤坝高2c=60米，则

迎水坡面48的长度为120米.

【解答】解：♦.•堤坝横断面迎水坡Z8的坡比是1：弧,

•BC-V3

>>———>

AC3

：8C=60m,

'.AC=60-\[3m,

'-AB=QAC?+CB2=120〃]，

故答案为：120.

14.（3分）如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若

规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道

有不少于工米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为3米.

建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得:

A(0,6),B(6,0),

设抛物线解析式为y=af+6,把8(6,0)代入，得

a=-X

6

第12页（共26页）

所以抛物线的解析式为夕=-工？+6,

6

当x=4时，尸义

3

33

所以通过隧道车辆的高度限制应为3米.

故答案为3.

三、解答题（本大题10小题，共78分）

2

15.（6分）先化简，再求值：工/与土12_,其中x=2.

x2-lx+1

2

【解答】解：1-2xt.l._x

x2-lx+1

2

=（x-1）X

（x+1）（x-1）x+1

=X-1,X

x+1x+1

=,1

x+1'

当x=2时，原式=-」_=--L.

2+13

16.（6分）从一副扑克牌中选取红桃4、方块4、梅花K三张扑克牌，正面朝下洗匀后放

在桌面上，小红先从中随机抽取一张，放回洗匀；小明再从中随机抽取一张，用画树状

图（或列表）的方法，求小红和小明抽取的扑克牌的牌面都是/的概率.

【解答】解：树状图如图所示:

:.P（牌面都是4）——.

9

17.（6分）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深

受大家喜欢.某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二

次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%,同样用2400元购进的数量比第一次少

第13页（共26页）

10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？

【解答】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元钱，则第二次购进的“龙

辰辰”玩具每件的进价是(1+20%)x元钱，

由题意得：2400--2400_=]0,

x(1+20%)x

解得：x=40,

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，

答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元钱.

18.(7分)将两个完全相同的含有30°的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，

点4、E、B、。依次在同一条直线上，连接力尸、CD.

(1)判断四边形/EDC的形状，并给出证明.

(2)已知8c=8,当四边形4F0C是菱形时，4D的长为24.

【解答】解：(1)四边形ZFDC平行四边形，

理由：由题意得：XACB24DFE,

J.AC^DF,NCAB=NFDE=30°,

：.AC//DF,

四边形NEDC平行四边形；

(2)•.,四边形/EDC是菱形，

:.CA=CD,

：.ZCAB=ZCDA=30)<,

VZACB=90°,

：.AB=2BC^16,/A8C=90°-ZCAB=60°,

ZABC是△C8Z)的一个外角，

：.ZDCB=ZABC-ZCDA=30°,

：.ZDCB=ZCDA=30°,

:.BC=BD=8,

第14页(共26页)

：.AD=AB+BD=16+8=24,

故答案为：24.

19.（7分）某校举办了“弘扬中华传统文化，做新时代的中学生”的知识竞赛.以下是从

七年、八年两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：

七年级：7688936578948968955089888989779487

889291

八年级：7497968998746976727899729776997499

739874

根据上面的数据，进行理、分析，给出以下信息：

成绩50WxW5960WxW6970WxW7980WxW8990WxW100

人数

年级

七年12ab6

八年011018

说明：成绩90分及以上为优秀，60分以下为不合格）分析数据:

年级平均数中位数众数

七年8488.5C

八年84.2d74

（1）求a=3,b—8,c=89,d=77；

（2）七年级按照竞赛规则凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励.如果想让一半左右

的学生能获奖，应根据中位数来确成奖励标准比较合适（填“平均数”、“众数”或

“中位数”）；

（3）若八年级有900名学生，试估计八年级学生成绩优秀的人数.

【解答】解：⑴根据题意，得：七年级人数：700W79的有3人，即a=3；804W

89的有8人，即6=8；

七年级知识竞赛的成绩的众数为89,即c=89,

八年级知识竞赛的成绩的中位数为：76+78=77,即1=77.

2

故答案为：3,8,89,77；

第15页（共26页）

（2）七年级按照竞赛规则凡达到或超过这个标准的学生将获得奖励.如果想让一半左右

的学生能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适：

故答案为：中位数；

（3）900X_^_=360（人），

20

答：估计八年级学生成绩优秀的人数大于为360人.

20.（7分）如图，在6X6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,4、B、。均为小正

方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹.

（1）在图1中作出8c边上的高

（2）在图2中作出4C边上的点E,使得ZE：CE=3：4；

（3）在图3中作出AB边上的点F,使得tan/ACF=2.

5

【解答】解：（1）如图1,高/。即为所求.

（2）如图2,点E即为所求.

图2

（3）如图3,点尸即为所求.

第16页（共26页）

B\

图3

21.（8分）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度v（加）与挖掘时间

x（A）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：

（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖10m.

（2）当2WxW6时，求y乙与x的之间的函数关系式.

（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5"?.

【解答】解：（1）根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖空_=10（米）,

6

故答案为：10:

（2）设乙队在2WxW6的时段内y乙与x之间的函数关系式为v乙=Ax+"%W0）,

由图可知，函数图象过点（2,30）、（6,50）,

j2k+b=30,

16k+b=50

解得卜=5,

lb=20

.•.当2Wx<6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙=5x+20；

（3）当0WxW2时，设y乙与x的函数解析式为y乙=机x,

可得2/77=30,

解得=15,

即V乙=15x；

设甲队在0WxW6的时段内y与x之间的函数关系式y甲=%ix,

由图可知，函数图象过点（6,60）,

第17页（共26页）

，641=60,

解得汽=10,

•*y甲=10%；

当0Wx<2时，15x-10x=5,

解得x=l；

当2cxW6时,|5x+20-10x|=5,

解得x=3或x=5.

答：当两队所挖的河渠长度之差为5机时，x的值为或3%或5/?.

22.（9分）教材呈现：如图是华师大版数学九年级上册教材第77页的部分内容，猜想：如

图在△48C中，点。、E分别是48与4c的中点.根据画出的图形，可以猜想：DE//

BC,且DE=1SC.对此，我们可以用演绎推理给出证明.（1）定理证明：请根据教材

2

内容，结合图①，写出证明过程.

（2）定理应用：如图②，已知矩形中，AD=S,CD=6,点P在8c上从8向C

移动，

G、E、尸分别是。C、AP、GP的中点，则钎=_4巨」.

—2―

（3）拓展提升：在平行四边形N8CZ）中，48=12,点£是。。的中点，过点N作乙48c

平分线的垂线，垂足为点尸，连结E尸，若EF=3,则BC=3或

【解答】解：（1）如图①中，延长。E到F,使FE=DE,连接CF,

图①

在△/£)£和aCFE中,

第18页（共26页）

AE=CE

<ZAED=ZCEF>

,DE=FE

:4DE丝ACFE(SAS),

:.NA=NECF,AD=CF,

J.CF//AB,

又,：AD=BD,

:.CF=BD,

四边形BCFD是平行四边形,

J.DF//BC,DF=BC,

\"FE=DE,

:.DE=XDF,

2

：.DE//BC,DE=Uc；

2

(2)如图②，连接/G,

图②

•.•点G是CD的中点，

...£>G=LZ)=3,

2

・"G=yjAD2+DG2=164+9=V73>

,:E、尸分别是/P、GP的中点，

：.EF=lAG=^22.i

22

(3)解：延长/。交N48C平分线于点G,延收FE交AB于点H,如图③,

③④

平分N/8C,

第19页(共26页)

/./ABG=NCBG,

V四边形ABCD是平行四边形，

:,AD〃BC,AB=CD=\2,

：./G=/CBG,

：.ZG=ZABGf

：.AG=AB=\2,

•:AF1.BG,

:.BF=FG,

•・,点E是。。的中点，

:・CE=DE,

...CE尸=1,

*'DE'FG，

C.EF//BC//AG,

•・•—FH—-BF―-1,

AGBG2

：.FH=1^G=6,

2

,:EF=3,

：.EH=FH-EF=6-3=3,

,JEF//BC,AB//CD,

四边形BCEH是平行四边形，

：.BC=EH=3；

如图④，

同理可得：FH=LG=6,

2

：EF=3,

EH=FH+EF=6+3=9,

'：EH//BC,AB//CD,

...四边形BCEH是平行四边形，

:.BC=EH=9：

综上所述，8c=3或9,

故答案为：3或9.

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23.(10分)如图①，在矩形中，AB=4,AD=6,点E在边BC上，且8E=2,动

点P从点E出发,沿折线E8-A4以每秒1个单位长度的速度运动，作/尸£。=90°,

EQ交边4D或边DC于点Q,连接产。，当点。与点C重合时，点P停止运动.设点P

的运动时间为，秒.(Z>0)

(1)当点尸和点8重合时，线段尸0的长为_2代_；

(2)当点0和点。重合时，求巫的比值是多少？

QE

(3)当点尸在边4。上运动时，△尸。£的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说

明理由；

(4)作点E关于直线P。的对称点凡连接PF、QF,当四边形EP打。和矩形488重

【解答】(1)解：如图1所示，连接80,

AQD

/

/

/

/

/

/

✓

/

/

/

B(P)EC

图1

•.•四边形/88是矩形，

:.NBAQ=NABE=90°,

•:/PEQ=90°,

四边形/8E。是矩形，

当点尸和点8重合时，

；.QE=4B=4,BE=2,

在中，80=近2年2r42+22=2«,

故答案为：2遥；

(2)解:如图2所示,

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图2

:NPEQ=9Q°,NPBE=NECD=9Q°,

.,.Zl+Z2=90o,Z2+Z3=90°,

.\Z1=Z3,

：./\PBE^/\ECD,

•PE=BE,

"DECD)

,:BE=2,CD=AB=4,

•PE=BE=±.

*,DECD2"

(3)证明：如图3所示，过点尸作尸，_L8C于点”,

:NPEQ=90°,NPHE=NECQ=90°,

.".Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90",

.*.Z1=Z3,

•.•四边形/8C。是矩形，

四边形是矩形，

：.PH=AB=4,

又，：EC=BC-BE=6-2=4,

:.PH=EC,

：./\PHE^ECQ(ASA),

：.PE=QE,

：./\PQE是等腰直角三角形；

(4)解：①如图4所示，当点P在8E上时，

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••3=。尸=4,AQ=BE=2,

在RtzX/1。尸中，AF=VQF2-AQ2=Vl2-22=2V3>

则BF=4-2«,

,:PE=t,

:.BP=2-t,PF=PE=t,

在Rt△尸8尸中，PF2=PB2+FB2,

：.t2=(4-273)2+(2-z)2,

解得：f=8-4j^,

当f<8-4旧时，点尸在矩形内部，

...0(tW8-4百时符合题意；

②当P点在上时，当尸，力重合时符合题意，此时如图5,

图5

贝IJ尸8=/--2,PE=AP=AB-PB=4-(/-2)=6-t,

在Rt△尸8E中，PE2^PB2+BE2,

：.(6-/)2=(