2024届百师联盟高三年级上册开学摸底联考新高考数学试卷及答案解析

2024届高三开学摸底联考

数学试题

注意事项：

L答卷前、考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时,选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

椽皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1、已知集合4=(1,2,3,4},8=卜,则ACB=

A.{1}C.(2,3,4}D.{1,2,3,4)

2已知cosa

D--4

2sinT

土函数/①）=再:/71为自然对数的底数）在［—2,2：］的大致图象是

rr2y2

4,已知椭圆砺7+匕=1的焦点在,轴上，若焦距为4,则该椭圆的离心率为

A^5R2展c

B•亍4

5.已知数列储“｝和仿♦均为等差数列，数列｛a,,｝的前九项和为S.，若?为定值,Ss=45,外=6,

67=14,则“5=

A.15B.56C.72D.104

开学摸底联考数学试题第1页（共4页）

6“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音

的乐器的长度为36,那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36X0—2)=24,能发出第

三个基准音的乐器的长度为24x(1+：)=32,……，也就是依次先减少三分之一，后增加三

分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列｛-｝用来研究数据

的变化，已知&8=192,则a5=

A.324B.297C.256D.168

.某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓瞰口波”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同

学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为

21「9「15「15

AA-64B.而C.而D.-

a知函数f(工)=23+3£2+H+1,设数列｛。，｝的通项公式为a“=-2〃+9,则/(ai)+

------F/(a9)=

A.36B.24C.20D.18

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知实数小，〃满足0Va<],l<〃V2,则下列关系中正确的是

A.mn〈暧B.sin/n<sin—C.m储>1D.logn<llog7n

nOTn

10;已知随机变量自服从两点分布，且P(5=1)=四(，=1,2),若。<外<力<1,则下列判断

不正确的是

A.E(&)(D(£)B.E(&)VE(&)C.E(£)VD(£)D.D(£)VD(1)

]Ji

Ik若关于x的方程/+z+a=0(aeR)有两个不等复数根耳和如，其中小=一方+gi

(i是虚数单位)，则下面四个选项正确的有

A.m=1B.xi>x2C.X?—1=x2

(x3—3z，1<0，

12.已知函数/(])=若关于z的方程/小)一(2。+1)/~(工)+r2+。=0有6

12H—2，工>0,

个不同的实根，则实数a可能的取值有

A.—yD.2

开学摸底联考数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知t为实数,a=(2,，)，b=(3,0),则向量a在向量B方向上的投影向量为.

14.已知］;+/J的展开式中的常数项为(用数字作答)

15.已知双曲线E的一个焦点为F,点F到双曲线E的一条渐近线y=咚尤的距离为1,则双曲

O

线E的标准方程是.

16.已知在三棱锥P—ABC中，「4+30=4,4口_14<3,「4_1_平面48。，则三棱锥「一八3©的

外接球表面积的最小值为一__-

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有

一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1,2,3,

5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球,记下小球上的数字后放回,

记两个小球上的数字分别为£上若怯一M为奇数即为中奖.

(1)求某顾客甲获奖的概率；

(2)求随机变量X=怔一"的分布列与数学期望E(X).

(

18.(12分)已知数列｛a“｝满足a1=0,且有2卢=a,+w.

(D证明：数列｛a.+2〃｝是等比数列;

(2)求数列的前几项和S,.

19.(12分)如图，ZVIBC的内角A、B、C的对边分别为a、6、c,ZiABC外一点D(D^AABC

在同一平面内)满足NBAC=ZDAC,AB=CD=2,sinZACB+cosZACB=唇乜.

⑴求8；

(2)若448。的面积为2,求线段AD的长.

D

A

B

20.(12分)如图，在四棱锥p-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，平面PABJ_平面

ABCD,PA，PB,AB=V^,PB=BC=2,点Q为PC的中点.

(1)求证：平面ABQ_L平面PAC；

(2)求二面角A-PC—D的余弦值.

21.(12分)已知函数fQx)—X2—7nzin]+且m^O.

(1)当a=1时,求曲线、=/殳)在点处的切线方程；

2

(2)若关于z的不等式恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值

范围.

22.(12分)已知点F为抛物线C：/=2拉(力＞0)的焦点，点P(2,l),Q(0,l),且|PFI=|QF|.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若斜率存在的直线I过点P且交抛物线C于M,N两点，若直线MF,NF交抛物线于

A,B两点(M、N与A、B不重合)，求证:直线AB过定点.

开学摸底寐考数学试题第4页(共4页)

2024届高三开学摸底联考

数学参考答案及评分意见

1.C【解析】因为B={z|z<0或7>2},又4={1,2,3,4},由交集的运算可知*08=（2,3,4}.故选C.

2.B【解析】由题［cosa+当sina=cosfa—■.故选B.

ZZI3J5

3.B【解析】由题知/■（z）的定义域为R"（—z）=2（一］）黑1-=〃2）,即/（H）为偶函数，所以图象关于y

e十e

轴对称，排除A、c.又f（l）=勺?rin暨1<l,/（2）=粤4rin二2>0,故选B.

e十ee-be-

22何

4.B【解析】由题得f-4>10-t>0即7<%<10,由焦距为4得，一4一（10-）=4,解得，=9,离心率为厂=』.

V55

故选B.

5.A【解析】由Ss=5。3=45得=9,因为/■为定值,所以/=廿=4=日，即a?=21,所以“5=—―^=15.故

乙

0nb7b3bL

选A.

6.A【解析】—+—即——^")=192,解得：as=324.故选A.

7.A【解析】解决该问题，可以将四位同学先分为2,2或3.1两堆，共有冬+a种分堆方法，再从4种饮品中选出

2种，分配给两堆人，故共有［N+C：JXA：=84种方法,所以恰有两种饮品没人购买的概率为P=7=0•故

选A.

8.D【解析】/（久）=J:3+3JC2+l=（z+1*一2（①+1）+2,所以曲线/（£）的对称中心为（一1,2）,即/（jr）+

f（—2—1）=4,因为a“=-2〃+9,易知数列{々”}为等差数列，。5=—1,即+。9=〃2+。8=。3+々7=。4+。6=

2a5=—2,所以/（〃|）+/（49）=/（。2）+/（。8）=/（。3）+/（〃7）=/（々4）+/（。6）=4,所以/（即）+/（々2）+…

+/（O9）=4X4+2=18.故选D.

9.AB【解析】由题易知，疗<1,”>1,所以机”V”，A正确；0<根<!<!<1<=,所以sin机<sin工，B正

乙n乙n

131<?A291111

确；取/Z7——»w=—,JJ1]mn1——X—=*V1,C错误；一>2,方V—<C1»logn〉log,,,—=-1,log,,???V

4/4\2J16mLnmw

log„上=-1,即log〃〃>log”m,D错误.故选AB.

n

10.ACD【解析】・・・£：（&）="，E（&）=%，・・・E（&）<E（&），・・・D（&）="（l—'），D（&）="2（l—p2），・・・E（&）〉

D（A）,E（WI）>D（£I）,D（£I）—D（&）=（小一户2）（1一八一九）>。.故选ACD.

11.ACD【解析】由题可知，1i+口=—1，所以

77

正确；小，处均为虚数，不能比较大小，故B错误;4=—=1,故C正确;必=

J3—

?i=i2，故D正确.故选ACD.

12.BC【解析】当xV0时，/(z)=/—3x,则(z)=3/—3=3(7—l)(x+l),当彳6(—00>—1)时，/'(x)〉0.

开学摸底联考数学答案第1页（共6页）

/(N)单调递增，当zGC—1,0)时,/'(H)VO,f(N)单调递减，作出/(N)的图象，如图所示,

尸(了)一(2。+l)f(z)+/+a=(/(7)-)(/(])—―1)=0,

即f(.jc)=a与/(jc)=a+l共六个不等实根，由图可知/(N)=2时,x=-1或z=2,即/(z)=2有两个根，

/0<aV2,

若使/Cz)=a与/(z)=a+l共六个不等实根，只需满足即0<a<l.故选BC.

[oVa+1<2,

13.(2,0)【解析】由题a•b=6,则向量a在向量b方向上的投影向量为'售•高=」一X(1,0)=(2,0).

1^11*1^9+0

14.240【解析】由题TA+I=C(；1”•(22)・=2670--6戊=0」…,6,当&=2时，为常数项，此时73=24=240.

X2V2々2y2

15.9—*=1或学一一=1【解析】当焦点在z轴上时，设双曲线方程为与一今=1(。>0/>0),则其渐近线方

31a2b1-

T

£=V3

程为》=±±r,点F到双曲线E的一条渐近线，=卓工的距离为1,即『一飞"’即a=^，所以此时双曲线E

ao

0=1,

/y22

的标准方程为*=1;当焦点在y轴上时，设双曲线方程为。一a=1(。>0,6>0),则其渐近线方程为y=

oah~

r2=电r

士气，点F到双曲线E的一条渐近线？=当了的距离为1,即〃—3'即a=£，所以此时双曲线E的标准方程

b33

!)=1,

y2J72V2

为〒一/2=1.综上，双曲线E的标准方程为万一/=1或丁一72=1.

TT

16.8K【解析】将三棱锥补成直三棱柱，设点D"为上下底面的外心，点0为直棱柱的外接球的球心，则O为

DD,的中点，点D为BC的中点，AD为底面外接圆的半径，设PA=z,则BC=4—z,所以OD=],AD=

宁=2—5,得外接球半径R=AO=JGJ+[2-*J=2z+4=J.(_r—2尸+2,当

x=2时，R

有最小值为晚，此时球0的表面积为：4n氏2=8兀

(、i「]

17.解：(1)设事件A：某顾客甲获奖，即IS—7|为奇数，则P(A)=-^=-

开学摸底联考数学答案第2页(共6页)

所以某顾客甲获奖的概率为］.

3分

(2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4.4分

21

所以P(X=1)=E=与5分

P(X=2)=^=-6分

「MW7分

P=4)=±=A

(X8分

所以随机变量X的分布列为:

X1234

11119分

P

3366

所以E(X)=1XJ+2X4+3X：+4X!=¥.

10分

o3o66

a।2

18.(1)证明：由题〃；---=a“+〃，即a“+1=2a,7+2〃-2,

a”+i+2G?+l)2a”+2〃-2+2(〃+1)2a„+4n

所以a.+2〃=2,3分

an-\~2na„-\-2n

ai+2=2,4分

所以｛a“+2〃》是以2为首项，2为公比的等比数列.5分

n71

(2)解：由(1)知，。“+2%=2><21=2"，所以6分

a”+2〃2"

+2X.+3X3

所以S„=1X+・・・+〃x8分

Js“=ixg[+2xg)+，..+-g)+〃X«4-1

9分

I

两式相减得,

7X[1-(1

1_

万s〃+得+团+…+nX

-W12

~2

11分

12分

19.解：(1)因为cosC+sinC=^F

由正弦定理可得cosC+sinc=An

sinD

即sinBcosC+sinBsinC=V2^sinC+sinA=42s'mC+sin[/—(B+O]

=VFsinC+sin(B+C)=V2^sinC+(sinBcosC+cosBsinC),

开学摸底联考数学答案第3页(共6页)

即sinBsinC="sinC+cosEsinC..................................................................................................................3分

又Ce(0,x),sinC>0,故sinB=V^"+cosB,即sinB—cosB=42,...............................4分

所以V^sin(B-E)=7^,即sin(_B-孑)=1,....................................................................................................5分

因为BG(0,ir),B—fef—j-,乎］，所以B—千=卷，得B=乎....................................6分

4(44)424

(2)因为△ABC的面积S=2,所以S=2=_acsin—,即=2,a=2",....................................................8分

由余弦定理得AC=Vc2a2—2ac•cosB=2而，................................................9分

4+20—8275

所以cosZCAB=10分

2X2X275

因为AC平分/BAD,

AD2+20-4275

所以cosACAD=11分

2•2V5-AD—

所以AD=4..........................................................................................................................................................12分

20.(1)证明：：平面PAB_L平面ABCD,BC_LAB,平面PABD平面ABCD=AB,

.\BC_L平面PAB,又：APU平面PAB.

：.BC±AP...............................................................................................................................................................1分

又：PA_LPB,BCnBP=B,BC,BPU平面BCP,

.•.AP_L平面BCP,BQU平面BCP,即AP_LBQ.............................................................................................2分

在△BCP中，PB=BC,Q为PC的中点，

：.BQ_LPC,.............................................................................................................................................................3分

又APDPC=P,AP,PCU平面PAC,

.♦.BQ_L平面PAC,.................................................................................................................................................4分

又BQU平面ABQ,

二平面ABQ_L平面PAC......................................................................................................................................5分

（2）解：作PH±AB于点H,易知PH_L平面ABCD,

在RtZ\PAB中，PA=/AB」一PB：=卜展）=1,

则PH=PUB=^，AH=/PA2_PH2=竺J7=g...............................................................6分

如图以A点为原点,AD,AB所在直线为7轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

开学摸底联考数学答案第4页（共6页）

由（1）知8Q，平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为面=1,9分

设平面PCD的一个法向量为〃=（彳，之），

取7=1,得M=(1,0,西)，.............................10分

—►BQ-n1+173

cos<BQ〉11分

|BQ|I«I&■•展3'

由题可知二面角为锐角，所以二面角A—PC—D的余弦值为名..................................

12分

21.解：(1)由题，当m=\时，f(x)=x2—^ln尤+1,

/"(%)=2支—In丁一1,........................................................................................................................................1分

//(1)=1,/(1)=2,.................................................................................................................................................2分

所以切线方程为)-2=Z—1,.................................................................................................................................3分

化简得了+1=0,

即曲线/(Z)在点(1"(1))处的切线方程为]—、+1=0・................................................................................4分

2212

(2)/(7)》一①，即—一[0]+1>-1,即1十一一tnInx----->0在(0,+8)上恒成立，..........5分

eeJTe

人,、,1,2„..,,1mx1—mx—1八..

令g(z)=«r-|-777InJC——，贝ljg(j7)=1——r——=---------------.............................................................6分

xexxx

对于y=J^2—mx—l,A=7〃2+4>0,故其必有两个零点，且两个零点的积为一1,

则两个零点一正一负，设其正零点为1。E(0,+oo),

贝lj7，一加/()-1=0,即加=1()一工，.............................................................7分

且在(0,1。)上/(N)<0,&(1)单调递减，在(10，+8)上/(i)>o,g(i)单调递增，

—

故g(7o)>0,即-\--——Cr0—->1InXQ——^0.............................................................................................8分

ioIOCQ)e

令h(J7)+——|J7——|lnJC——,

\x)e

则八'(了)=1—J—(1+J)ln/一(1一/)=一(1+")ln.r.

当才『(。，1)时,人'(了)>0,当Hea,+g)时，/i'(z)vo,

则人（z）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，

又h(—j=h(e)=0,故ioG

.................................................................................................................10分

显然函数机=工。一!在「，，e］上