2024年1月“七省联考”高考数学押题预测卷5解析版（新高考地区专用）

2024年1月“七省联考”押题预测卷05

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

A-y=8=卜|y=ln(2x-2)}

1.已知集合,则-8=

x|l<X<-|

B.

C.^x|l<X<—|D,

【答案】B

【解析】由3—2x〉0解得x<|,所以/={x|x<||,

由2*-2〉0解得x>l,所以3={x|x>l},

所以NcB=

故选：B

2.复数z满足(l+>z=l—产25,则三的虚部为()

A.iB.-1C,-zD.1

【答案】D

【解析】V(l+z)-z=l-z2025=l-z,

B=(j)2=-2i=

一/—l+1(l+z)(l-z)-2-'

：.Z=1

所以I的虚部为1.

故选：D.

3.英国数学家哈利奥特最先使用“〈”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.对于任意实数。、b、c、d,下列命题是真命题的是（）

A.若a2Vb2,则a<bB.若a<b,则。。<be

C.若c<d,则QC<bdD.若Q<b,c<d,则a+c<6+d

【答案】D

【解析】对A：因为/<〃，可能6<。<0,故错误；

对B：当c<0时，若a<b,贝Uac>be,故错误；

对C：当a<3<0,c<d<0时，贝!Jac>bd,故错误;

1

对D：若a<b,c<d,则a+c<b+",故正确.

故选：D.

jrsin(a+—

4如图所示,a为射线加盘的夹角，43="点PT3）在射线。上'则)

cosa

C2e+1D.中

,2

【答案】A

=三=①，cos即

【解析】设射线03所对的角为尸，则有sin夕

Vio1010

TT

又因为=+—,

71

所以。二，一一,

4

sina=sin(,一；)=~~(sin°-cos/?)=cosa=cos/(Ap--兀)、=

1.V3275+715

所以sin(a+-1-)二一sina+——coscr=-------------

2210

.，兀、275+715

所以sm(a+§)2+6

rnbA—r=一~

cosaV52

5

故选：A.

5.下列函数中，既是偶函数又在（0,2）上单调递减的是)

A.尸2国B.y=-x3

x2—x

C.y=cos—D.1y=ln----

22+x

【答案】C

【解析】对于A,函数/（x）=2国的定义域为R,关于原点对称,

2

且/(—x)="T=2忖=/(x),所以函数/⑸为偶函数，

当xe(0,2)时/(》)=2,，函数/(x)单调递增，故A不符合题意;

对于B,函数/(x)=-/的定义域为R,关于原点对称,

且/(_》)=_(—x)3=x3=—/(x),所以函数/(x)为奇函数,

由基函数的性质知函数歹=d在R上单调递增,

所以函数/(x)=-/在R上单调递减，故B不符合题意；

对于C,函数/(x)=C0S；的定义域为R,关于原点对称，

VV

且f(-X)=cos(--)=COSy=/(x),所以函数/(x)为偶函数,

当xe(0,2)时*(0,1),又力

所以函数/(X)=cos］在(o,1)上单调递减，故C符合题意；

2—x

对于D,函数/(x)=ln——的定义域为(-2,2),关于原点对称,

2+x

且/(—x)=ln言=ln(三3T=—In2-x

=—/(')，

，X2+x2+x

2x

所以/(x)是奇函数，又/'(x)=^——--

2—x2+x(2-x)(2+x)

令/'(x)<00-2cx<0,令/'(x)>0n0<x<2,

所以函数/(x)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D不符合题意.

故选：C.

6.已知圆。：(》-1)2+3-1)2=1上两动点/,3满足为正三角形，。为坐标原点，贝1E+砺|的最

大值为()

A.2也B.272

C.2V2-V3D.2V2+73

【答案】D

【解析】由题可知是边长为1的正三角形，

3

设45的中点为W,则‘必=手，

又所以点M的轨迹方程为(x—ly+O—l)2=j,且|。。|=拒.

因为方+砺=2两，所以母+西=2画I，

m^0M\<\0C\+\MC\=42+^~,

当且仅当点C在线段0M上时等号成立,

所以

所以。4+。5的最大值为2行+省.

故选：D.

7.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一

家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生

甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是()

【答案】C

【解析】3名女生需要住2个房间或3个房间.

若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为C；C；A；；

1,«

若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为C：A〉

C冠2

所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是

C；C；A：+；C；A：7-

故选：C

8.o=2hl.01,6=lnl.02,c=VL04-1，贝U()

A.a<b<cB.b<C<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】依题意，6z-c=21nl.01+l-VT?04,c-Z)=Vf04-l-lnl.02,

令/(%)=2ln(l+x)+1-Jl+4x,0<x<1,

4

222222

求导得/'(x)=>0,

1+XJl+4xy/l+2x+x2Jl+4x

因此函数在(0,1)上单调递增，/(0.01)>/(0)=0,即a—c>0,则a>c；

，/、1111

令g(x)=Jl+2x-1-ln(l+x),0<x<1,求导得g⑶=Tt石一are飞二

因此函数g(x)在(0,1)上单调递增，g(0.02)>g(0)=0,即C—6>0,则c>6,

所以6<c<a.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是()

A.若样本数据再广2,…的方差为2,则数据2国-1,2马-1,…,24-1的方差为8

B.若尸(2)=0.6,尸(8)=0.8,尸(么|8)=0.5,则P(3|Z)=j.

C.在一组样本数据(七,必),(//2)，…，(X"匕)，(n>2,xi,x2,---,xn,不全相等)的散点图中，若所有

样本点(者,上)。=1,2「一,〃)都在直线了=-3》+1上，则这组样本数据的线性相关系数为

D.以模型y=ce辰去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=liy,求得线性回归方程为

z=4x+0.3,则c,左的值分别是e°-3和4

【答案】ABD

【解析】对于选项A：若样本数据…，4的方差为2,则数据2/-…,24-1的方差为

22x2=8^7,故A正确；

对于选项B：若尸(/)=0.6,尸(8)=0.8,尸(2|8)=0.5,则

尸(人)=厘=尸(8)尸(小叽必”二2

­,故B正确;

尸(Z)P(A)0.6

对于选项C：在一组样本数据(七,%),(12，%)，〜，(当,无)，Cn>2,x1,x2,---,xn,不全相等)的散点图中,

若所有样本点E/JO=1,2,…,〃)都在直线j=-1x+l±,其中-；是线性回归方程的一次项系数，不

是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[T,1],当相关系数为正时呈正相关

关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；

对于选项D：以模型y=ce%去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设2=3，

则z=my=lnc+lneh=lnc+"，由题线性回归方程为2=4x+0.3,则Inc=0.3,左=4,故c,左的值

5

分别是e°-3和4,故D正确.

故选：ABD.

711

10.已知函数/(x)=cos2（0＜0＜兀）的一个对称中心为，则（）

652

A./（x）的最小正周期为兀

71

B.

12

57r

C.直线X=卫是函数/（X）图像的一条对称轴

若函数V=/（妙）（。〉0）在［0,7i］上单调递减，则。e［0,《

D.

【答案】AC

117TTTjr

【解析】/（x）=—cos（2x+0）+—则有2义一+0=—+左兀，左£Z,解得夕=—+阮,左wZ,

22626

因为。＜。＜兀，所以夕=巴，所以/（》）=Los2”711

+2,

626

则/（x）的最小正周期为兀，故A正确;

兀

—cos—+—=—,故B错误;

122324

2x学+2=兀，则直线x=m是/（x）图像的一条对称轴，故C正确;

12612

1(7n1}17T兀C兀

y=/(0x)=—cos2(DXH—H—,当xe［0,兀］时，20》+不©一,2〃＞兀+一,

26266

若函数y=/（①x）（。〉0）在［0,7i］上单调递减，则有2。兀+四＜兀，

6

解得则。｛0,卷,故D错误.

故选：AC

〃eN*.”=^-

11.已知正项数列｛4｝的前〃项和为J,«,=1,且2（S"+S“_J=d+1（〃之2）,

北为抄/的前〃项和.下列说法正确的是（

A.a2=2

6

C.an=2n-\D.Tn<—

【答案】CD

【解析】2(S“+S“T)=a：+l(〃22),an>Q,

可得〃=2时，2(l+g+1)=d+1,解得4=3,故A错误，

当〃23时，由2⑸+Si)=a；+1，可得2⑸T+S,T)=靖T+1,

上面两式相减可得2(%+%_J=d-a,ti=(%+%)(%-%)，

由于4所以%-%t=2,

而出_%=2,U(|an=a2+2(n-2)=3+2(n:-l)=2n-l,首项也符合,

所以〃eN*.故B错误，C正确,

-----------二一(-----------)

(2M-1)(2〃+1)22n-l2〃+1

-----)=—(1)<—D正确,

2"+1---22«+12

故选：CD

12.如图所示的六面体中，SA,SB,SC两两垂直，ST连线经过三角形的重心M,且

SM=AMT(A>0),则()

S

T

A.若;1=工，则TCL平面Z48

2

B.若4=2,则S4〃平面7BC

C.若5,4民C,T五点均在同一球面上，则2=工

2

D.若点T恰为三棱锥S—48C外接球的球心，则4=2

7

【答案】BCD

【解析】因为六面体中，SA,SB,SC两两垂直，ST连线经过三角形48C的重心

所以可以将六面体放在长方体中，点T在对角线MV上运动，

以S为坐标原点，S8,SC,S4所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设SB=m,SC=n.SA=t,

则N（加,。/（0,0"）,C（0,”,0）,5（加,0,0）,

设5c的中点E，连接4F，与MV交于点且W=2MF\

WW1=—m,w=—n,e=—t,故Afj1加,，〃,，.，SM=—SN,

333

1—.1—.

A选项，若2=—,即SW=—朋7,此时点T在点N处，

22

此时TC=（0,〃,0）-（%,〃,/）=（-叱0,T）,TA=（0,0,/）-（-私-〃,0）,

由于元•江=（—加,0,T）•（—加，—〃,0）=加2/。，故TC,口不垂直，

故TC与平面刀48不垂直，A错误；

[mn

设平面的法向量为J=（x,j,z）,

8

j-CB=^x,y,zy^m,-n,Q^=mx-ny=0

解得z=0,令x=",则>=加，故］=(〃,加,0),

又£4=（0,0,7）,故/-£4=（〃,加,0）・（0,0,/）=0,

故7,豆，所以“〃平面7BC,B正确；

C选项，由于长方体的顶点在同一球面上，若S,43,C,T五点均在同一球面上，

则点T一定在点N处，此时C正确；

2

D选项,三棱锥S-ABC的外接球即为长方体SN的外接球，

若点T恰为三棱锥S-ABC外接球的球心，则点T为对角线S7V的中点，

所以;1=2,D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量z，b>"满足同=国，C=1a,若"为B在£上的投影向量，则向量］夹角的余

弦值为________

【答案】-

3

-1-一一--1-

【解析】由c为刃在a上的投影向量，c=

3

所以=cos卜,,故cos(a,B)=；

故答案为：一

3

14.(/+1)(》一2)4展开式中V项的系数为.

【答案】8

【解析】由题意可知：(x—2尸展开式的通项公式为=C［xi2丫/=0,1,2,3,4,

所以(/+1)(%-2)4展开式中d项的系数为C：x(-2)4+C*x(-2)=16-8=8.

故答案为：8.

15.已知直线y=kxx与y=k2x(kx>k^是曲线j=ar+21n|x|(<2eR)的两条切线，则

k1-k2=________

9

4

【答案】一

e

【解析】由已知得，曲线的切线过(0,0),

x>0时，曲线为y=ax+21nx,设再>0,直线y在曲线上的切点为(西,。西+21nxJ,y=a+—,

X]

(2)

切线：y-{axx+21nx1)=a+—(x—xj,又切线过(0,0)

Ixi)

(2)2

_QX]—2InXj—ciH—(一阳)，「・X]=e,k]=aH—,

IxiJe

同理取x<0,曲线为^=办+2111(-%),设％2<0,直线歹二左2、在曲线上的切点为(％2，。、2+21n(—%2)),

,2

y=a+—,

x2

(2、

切线：y-(^x2+21n(-x2))=a+一(x-x2),又切线过(0,0)

%2——eik?=a--i:・k、-k2=一,

一一ee

4

故答案为：一

e

16.已知椭圆C：?+.y2=i的左、右焦点分别为F2,"是C上异于顶点的一点，。为坐标原点，E

为线段"G的中点，/片”工的平分线与直线£。交于点尸，当四边形九有”的面积为20时，

sinN/G=

由题可知闺闾=26，|阿|+|5]=4.

10

因为儿。平分/月"工，所以P到〃G，4里的距离相等，

设为"贝空.”=；（|町|+|四|）力=2肌

易知。£是△片儿里的中位线，延长耳尸，儿见交于点G,则P为片G的中点,

过片作片于〃,

易得\FxH\=2h=\FxF21sin乙明片，则5岫豳=2八也/加巴耳=2逝，从而sinZMF^=g

故答案为：JL

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在“8。中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c,且a=b（#sinC+cosC，

（2）已知BC=2百，。为边48上的一点，若BD=1,ZACD=~,求/C的长.

2

【答案】（1）3=巴.（2）

62

【解析】（1）由sinC+cosC）,根据正弦定理得，sin/=sinB（JIsinC+cosCb

即sinBcosC+cosBsinC=6sin8sinC+sinBcosC>

所以cosBsinC=J^sinBsinC，因为sinC>0,

所以cosB=GsinB>所以tanB=—>

3

因为Be（0,7r）,所以3=巳.

（2）因为BC=2百，BD=1,B=g根据余弦定理得

O

CD2=BC2+BD2-2BC-BD-cosB=l+12-2xlx2y/3x—=l，,CD=V7.

2

11

•/ZBDC=—+ZA,：.sinZBDC=sin—+ZA|=cosZ.

2〔2)

2V3V7

BCCD

在△B£）C中，由正弦定理知,,,cosAj_，

sinZBDCsinNS

2

.•.cos八理，仪03，所以sin/=U

.「an"皿=^=乌,.•.ZC=@

cosA3AC2

18.如图，三棱锥P—/BC的平面展开图中，ABIBC,RB=AB=&,P2A=AC=4,RC=2枝,

E为的中点.

(1)在三棱锥P—45c中，证明：BE上AC；

(2)求平面PBC与平面ABC夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）翅11

33

【解析】（1）

由RB=AB=4^,得PB=AB=&，且E为PN的中点,

所以8ELR4,

12

取/C中点为R,连接EF,BF.

pci-

可得防=，=夜，

2

在△PR4中，BE7AB之-AE。=血，

AT

在“BC中，BF=—=2,

2

所以BE。+FE?=BF?，

所以BE_LEF

因为EEnR4=E,EF,P4u平面上4C,

所以BE,平面R4C,

因为/Cu平面上4C,

所以跖，/C；

(2)如图，过点E作EG，R4,交/C于点G,

以西，EA＞丽分别为x轴，V轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.

则£(0,0,0),2(0,2,0),5(0,0,V2),P(0,-2,0),

在AA5C中，可得点。到P4距离为J7，

故可得c(、/7,—1,0),

A8=(0,-2,V2),5C=(V7,-1,-V2),P5=(0,2,V2)

设平面48c与平面P5C的一个法向量分别为4=(XQI，ZJ,%=(x2,j2,z2),

平面必C与平面48c的夹角为

%Z8=-2%+七］=03后后

由＜屋前=gxf-缶=0%=〒/i

所以％=手叫

13

n2-PB=2y2+42z2=0g

由＜五灰=62f-隹=o%=Tr=7，z2=j2,

10

n\-rii7_V165

所以

cos6==^~-

叫〃2V30xV2233

7

所以〃2=1,A/2

7

所以两平面的夹角的余弦值为R匝.

33

19.已知数列｛%｝是各项都为正整数的等比数列，4=3,且%是在与的等差中项，数列｛〃｝满足

4=1也+1=26“+1.

（1）求数列｛2｝,｛4｝的通项公式；

（2）若上号*-%28〃+2左-24对任意〃€“恒成立，求实数左的取值范围.

【答案】（1）4=3x2"-14=2"—1；（2）[4,+s）.

【解析】（1）设数列｛4｝的公比为/则qeN*,

33

。3是。2与1。4的等差中项，「•2a3=。2+

32

A2q=l+-q2,解得2或q=§（舍去），.・・%=3X2〃T

.••4+1=2"+1，，“+|+1=2（a+1）,

又4+1=2,.••数歹|｛〃+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

nn

:.bn+l=2,:.bn=2-l；

（2）由左—%28〃+2左一24,

2

整理可得上（2力+2）—3x2"-1>8（n-3）+2k,即（"3）•2^>8（n-3）,

k—3n—3

•••—>—r对任意〃eN*恒成立，

162

人,（、〃一3.,、/、n-2n-3（〃一2）-2（〃一3）4-n

令/（〃）=▼，则/（〃+1）_/（〃）=声一石=1^-=^r

14

当〃〈4时，/(n+l)>/(»),当“25时,/(«+1)</(»),

.・・当〃=4或5时，/（〃）取得最大值,

•••/（"L=/（4）=16

k-31

------2—.解得左24.

1616

故实数上的取值范围是［4,+«））.

20.某中学有43两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都

在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）（4，）(45)（民，）（B,B）

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望£（X）；

（3）假设M表示事件乜餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去/餐厅就餐”，P（M）＞0,已知推出

优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证

明.尸同.

【答案】（1）0.6（2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析

【解析】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”,

因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为6+12=18,

1Q

所以0（c）=元=06

（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数,

则X的所有可能取值为1和2,

所以尸(X=l)=0.3x0.2+O.lxO.4=0.1,

p(X=2)=l-P(X=l)=0.9,

所以X的分布列为

X12

P0.10.9

所以X的数学期望E(X)=lxO.l+2xO.9=1.9.

15

(3)由题知产(N|M)〉P(N|W，所以=P(N)―:(7)

v17v'P(M)P(M)1-P(M)

所以「(2W)〉尸(N)•尸(M),

所以P(NM)-P(N)P(NM)>P(N>P(M)-P(N)P(NM),

即P(NM).P(N)>P(N}P(NM),

所以黑即?

21.如图，在平面直角坐标系xQy中，R为x轴正半轴上的一个动点.以P为焦点、。为顶点作抛物线

C-.y2=2px(p>0).设尸为第一象限内抛物线C上的一点，。为x轴负半轴上一点，设。0),使得尸。

为抛物线。的切线，且|PQ|=2.圆G、G均与直线OP切于点尸，且均与X轴相切.

(1)试求出凡夕之间的关系;

(2)是否存在点/，使圆C1与Q的面积之和取到最小值.若存在，求出点少的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)4/+2必=4(2)存在，,——一,0

U3-V3)

【解析】(1)由条件抛物线C：「=2.(P〉0),点。(一生0)(。>0),

设:》=叩一。(加>0),将其与抛物线C的方程联立，消去工得「一2夕掰了+20。=0.①

因为尸。与抛物线C切于点尸，所以，方程①的判别式为A=4p2加2一4x2夕。=0,解得壮=^

16

22

进而，点P(a,42pa).故\PQ\=yjl+m\yp_0[=Jl+—^2pa=^4a+2pa.

由归。|=2,则4a2+2pa=4.4a2+2pa=4.

(2)设G、G的圆心分别为°i(x2J、O2(x2,y2).

注意到，OP与£、。2圆切于点P故OP^OiQ.

设圆G、G与X轴分别切于M、N,如图所示:

则。。1、。。2分别为NPOM、NPON的角平分线，故|。眼卜|。『|,|QN|=|QP|，NOQQ=90°,

v

易知VOPQ:OXPO,

%%=QM•|M=IM'\°iP\=\°P『=$+%=/+2pa.

结合式②有必，,=a~+2pci=4—3a~.③

y\-yIMiQ^Lv.

由OpP、。2三点共线得-°匕P化简可得

力-％0N

yj2pa-y2|PQ|\2\%

2

x+%=/r——y^2.④

72pa

令丁=歹；+货，于是，圆G、。2的面积之和兀T.

根据题意，仅需考虑T取最小值的情形，根据③、④知

2

T=（M+%『-2J1J2=4,立%-乂%二J2（4-3-2（4-3\）（；

2pa4-4a'7x71-a

17

3r+1r+1

令，=1—由4/=4—4。2=2。。>0,t>0,r=()()=3r+J_+4>2j3r-+4=2^+4.

当且仅当/=也

3

P_=

结合式②得2—

22.已知tz€R

X

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