第6章 实数（教师版）

2023-2024学年沪科新版数学七年级下册章节知识讲练1.了解无理数和实数的意义；2.了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用.知识点01：有理数与无理数【高频考点精讲】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.【易错点剖析】（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.知识点02：实数【高频考点精讲】有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.知识点03：实数大小的比较【高频考点精讲】对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.知识点04：实数的运算【高频考点精讲】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.57一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•德化县期末）下列各数：，0，，其中最小的数是（）A．2 B． C．0 D．解：∵﹣＜0＜＜2，∴所给的，0，，其中最小的数是﹣．故选：D．2．（2分）（2023秋•桥西区期末）正方形ABCD的边长AB＝2，其顶点A在数轴上且表示的数为﹣1，若点E也在数轴上且AB＝AE，则点E所表示的数为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或1 D．﹣3或3解：由题意得AB＝AE＝2，当点E在点A的左边时，点E所表示的数为﹣1﹣2＝﹣3，当点E在点A的右边时，点E所表示的数为﹣1+2＝1，故选：C．3．（2分）（2023秋•玉门市期末）下列说法正确的是（）A．1的平方根是1 B．﹣8的立方根是﹣2 C．＝±2 D．＝﹣2解：A．1的平方根是±1，此选项错误；B．﹣8的立方根是﹣2，此选项正确；C．＝2，此选项错误；D．＝2，此选项错误；故选：B．4．（2分）（2023秋•高青县期末）已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正确的是（）A．≈17.100 B．≈7.937 C．≈171.00 D．≈79.37解：∵；故选：B．5．（2分）（2023秋•高青县期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（）A． B． C． D．解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，∴点E表示的数为1+．故选：B．6．（2分）（2023秋•长沙期末）下列实数中，为有理数的是（）A． B．π C． D．1解：、π、＝2是无理数，只有1是有理数．故选：D．7．（2分）（2023秋•上城区期末）下列运算中正确的是（）A． B． C． D．解：A、﹣＝﹣5，故A不符合题意；B、＝5，故B符合题意；C、±＝±5，故C不符合题意；D、＝5，故D不符合题意；故选：B．8．（2分）（2023秋•镇赉县期末）正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应的点是（）A．D B．C C．B D．A解：∵正方形纸板ABCD在数轴上点A、D对应的数分别为1、0，∴正方形ABCD的边长为1，∴转动时点A对应的数依次为1、5、9、……；B点对应的数依次是2、6、10、……；C点对应的数依次是3、7、11、……；D点对应的数依次是4、8、12、……；2022＝4×505+2，故对应的是第505次循环后，剩余第二个点，即B点．故选C．9．（2分）（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q解：因为9＜10＜16，所以3＜＜4．所以﹣4＜﹣＜﹣3．所以，这四点中所表示的数最接近﹣的是点N．故选：B．10．（2分）（2021秋•诸暨市期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•开福区校级期末）比较大小：4＞2．（用＞、＜或＝连接）解：＝32，＝28，∵32＞28，∴＞，∴4＞2．故答案为：＞．12．（2分）（2023秋•开江县校级期末）如果一个数的平方根是a+3和2a﹣15，则a的值为4，这个数为49．解：∵一个数的平方根是a+3和2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得a＝4，把a＝4代入a+3＝7，故这个数为49，故答案为4，49．13．（2分）（2023秋•宽甸县期末）比较实数的大小：3＜（填“＞”、“＜”或“＝”）．解：∵9＜11＜16，∴，∴3＜＜4，故答案为：＜．14．（2分）（2023秋•隆回县期末）已知一个正数的平方根是3x+2和5x+14，则这个数是16．解：根据题意得：3x+2+5x+14＝0，解得：x＝﹣2，所以3x+2＝﹣4，5x+14＝4，则这个数是16．故答案为：16．15．（2分）（2023秋•衡南县期末）已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝11．解：∵＜＜，∴5＜＜6，∴a＝5，b＝6，∴a+b＝11，故答案为：11．16．（2分）（2023秋•桂东县期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为35．解：由题意得：∵5≤＜6，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．17．（2分）（2023秋•即墨区期末）的算术平方根是．解：根据题意得：＝2，2的算术平方根是，故答案为：18．（2分）（2023秋•肥城市期末）已知一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，则这个数的立方根4．解：∵一个数的两个平方根分别是2a+4和a+14，∴2a+4+a+14＝0．解得：a＝﹣6．∴a+14＝﹣6+14＝8．∴这个正数为64．64的立方根是4．故答案为：4．19．（2分）（2021春•涪城区校级期中）若|a|＝，则﹣的相反数是2．解：∵|a|＝，∴a2＝6，∴﹣＝﹣＝﹣2，﹣2的相反数是2．故本题的答案是2．20．（2分）（2022秋•任城区期末）已知5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b＝1．解：∵9＜11＜16，∴3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3，∴8＜5+＜9，1＜5﹣＜2，∴a＝5+﹣8＝﹣3，b＝5﹣﹣1＝4﹣，∴a+b＝﹣3+4﹣＝1．故答案为1．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•西湖区期末）计算：（1）﹣2+3+（﹣14）；（2）．解：（1）﹣2+3+（﹣14）＝﹣2+3﹣14＝﹣13；（2）＝4+4÷2＝4+2＝6．22．（6分）（2023秋•西安期末）已知a+b是25的算术平方根，2a﹣b是﹣8的立方根，c是的整数部分，求a+bc的平方根．解：∵a+b是25的算术平方根，2a﹣b是﹣8的立方根，∴，解得：，∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴的整数部分是2，∴c＝2，∴a+bc＝1+4×2＝1+8＝9，∴a+bc的平方根为±3．23．（8分）（2023秋•榕城区期末）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．解：（1）∵x的算术平方根为3，∴x＝32＝9，即1﹣2a＝9，∴a＝﹣4；（2）根据题意得：x+y＝0，即：1﹣2a+3a﹣4＝0，∴a＝3，∴x＝1﹣2a＝1﹣2×3＝1﹣6＝﹣5，∴这个正数为（﹣5）2＝25．24．（8分）（2023秋•承德县期末）小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2．（1）求长方形信封的长和宽；（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．解：（1）设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm，由题意得3x•2x＝420，∴，∴，，答：长方形信封的长为，宽为；（2）面积为256cm2的正方形贺卡的边长是16cm，∵70＞64，∴，∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．25．（8分）（2023秋•乐陵市期末）在实数范围内定义运算“※”：a※b＝ab﹣a+b，例如：3※2＝3×2﹣3+×2＝4．（1）若a＝5，b＝﹣4，计算a※b的值．（2）若（﹣2）※x＝1，求x的值．（3）若a﹣b＝2022，求a※b﹣b※a的值．解：（1）原式＝5×（﹣4）﹣5+（﹣4）＝﹣20﹣5﹣2＝﹣27；（2）∵（﹣2）※x＝1，∴，解得：；（3）原式＝ab﹣a+b﹣（ab﹣b+a）＝ab﹣a+b﹣ab+b﹣a＝﹣（a﹣b），当a﹣b＝2022时，上式＝2022＝﹣3033．26．（8分）（2023秋•天元区期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是3，小数部分是﹣3（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．解：（1）∵＜＜，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是：﹣3；故答案为：3，﹣3；（2）∵＜＜，∴的小数部分为：a＝﹣2，∵＜＜，∴的整数部分为b＝6，∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．27．（8分）（2023秋•信都区期中）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75cm2的长方形．（1）求长方形的长和宽；（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则3x•x＝75，即x2＝25，∵x＞0，∴x＝5，∴3x＝15，答：长方形的长为15cm，宽为5cm．（2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，y2＝75，∵y＞0，∴，∵原来长方形的宽为5cm，∴正方形的边长与长方形的宽之差为：，∵，即，∴，所以她的说法正确．28．（8分）（2022秋•宣化区校级期末）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小