浙江省重点中学四校2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

2023学年第二学期高一年级四校联考数学学科试题卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知向量，，若与共线，则（）A. B.4 C. D.或43.如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（）A. B. C.6 D.4.某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A.12 B.16 C.17 D.18.55.已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（）A. B. C. D.7.如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.正方形边长为1，平面内一点满足，满足的点的轨迹分别与，交于，两点，令，分别为和方向上的单位向量，，为任意实数，则的最小值为（）A.3 B. C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.，，则10.已知，，且，则下列说法正确的是（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最小值 D.有最小值1611.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.存在点使得B.若点满足，则动点的轨迹长度为C.若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形D.当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，满足，则向量在上的投影向量为______.（用表示）13.若，则的最大值为______.14.在中，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的取值范围是______.四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.16.（15分）如图，在直三棱柱中，，，四边形为正方形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.17.（15分）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在中，，，分别是角，，的对边，若______，（1）求角的大小；（2）若，为边上一点，，，求的面积.18.（17分）在菱形中，，，以为轴将菱形翻折到菱形，使得平面平面，点为边的中点，连接，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（17分）如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：______.（用，表示）（2），不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.

2023学年第二学期高一年级四校联考数学学科答案一、单选题12345678BDDCACCB二、多选题91011ABDABAC三、填空题12.13.314.四、解答题15.（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，，解得.（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84.（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故；由样本方差计算总体方差公式可得总方差为.16.（1）证明：由平面为正方形因为，所以，又因为，，所以，所以，又，且，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，平面平面.（2）因为直角三角形中，.所以，所以为等边三角形.又因为为等腰三角形.所以取得中点，连结，，则，，所以为二面角的平面角.因为直角三角形中，.在等边三角形中，所以在三角形中，17.（1）若选①因为，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以.若选②由，化简得.由正弦定理得：，即，所以.因为，所以.若选③由正弦定理得，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以（2）由（1）知，且，在中，由余弦定理得，即①由于，所以，平方，即②.由①②得：，，所以的面积为，即所求面积为18.（1）∵，平面，平面，∴平面同理可得平面.又∵，，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）法1：取中点，则是平行四边形，所以.所以与平面所成角即与平面所成角.等体积法：易得：，，，，到平面的距离为，解得所以直线与平面所成角的正弦值为.法2：取中点，则是平行四边形，所以.从而与平面所成角即为与平面所成角，设为.过作交于，过作交于，过作交于.因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，从而平面，因为平面，所以，又，，，平面，从而平面.所以的长即为到平面的距离由，，可得.又，所以到平面的距离设为即为到平面的距离，即又，可得.在中，，，所以，得.所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.（1）（2）依题意，，不等式，函数在上