2024届高三年级下册开学摸底考数学试卷（天津专用）（解析版）

2024届高三下学期开学摸底考（天津专用）

数学

第I卷

一、选择题

1.已知集合4=卜|04题3%<2},B={^||x-3|<3）,则AB=（）

A.[0,1]B.[0,9]C.[1,6]D,[6,9]

【答案】C

【解析】由0Vlog3尤<2,gplog31<log3x<log39,所以14x49,

所以A={x|。4log3xV2}={x|14xW9},

由上一3归3,§P-3<x-3<3,解得0WxW6,

所以8={目卜_3归3}={x|04x46},

所以AcB={x|14x46}.故选：C.

jr1

2.已知〃：a=y+2fai（Z:eZ）,q：cos«=-,则〃是0的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

|JTJT

【解析】由cosa=—,贝Ija=—+2E（左£2）或二=——+2fai（A;GZ）,

233

jrjr

即q：a=—+2lat（^keZ）=-—+1kit（keZ）,

所以由。推得出q,故充分性成立；

由q推不出〃，故必要性不成立，所以〃是q的充分不必要条件.故选：B.

3.己知函数/（X）的部分图象如图所示，则〃x）的解析式可能是（）

A.f(x)=xsin2xB./(x)=------

2X+2T

2X-1.2X-1

C./(x)=-----sinxD.f(x)-------cosx

2X+12X+1

【答案】D

【解析】由图可知，函数〃元)为奇函数，且/⑴>。，/(2)<0.

对于A,f(-x)=-xsin(-2x)=xsin2x=/(x),则该函数为偶函数，故A错误;

对于B,=sm(-'=一1^_⑴,则该函数为奇函数，

\72T+2"2X+2~xv7

,小sinl2.[八小sin24.__

/(1)=----=—sinl>0/(2)=----=—sin2>0,,上什、口

」2+j_5，」')4+j_9，故B错误；

24

对于C,f(-x\=-----sin(-x)=-―—(-sinx)=-——-sinx=/(x),则该函数为偶函数,

v72-x+lv71+2八72X+1'」

故C错误；

2-x-l1-2X2"—1

对于D,〃f)=cos(-x)=----COSX=----c-o-sx=-/(x),则该函数为奇函数,

2-x+l1+2"2x+l

,2-1I4-13

且/⑴~j^cosl=]COsl>0,/(2)=---cos2=-cos2<0,故D正确.

故选：D.

4.下列命题中，真命题的是（）

A.若回归方程，=_（）,45X+0.6，则变量〉与工正相关

B.线性回归分析中相关指数R2用来刻画回归的效果，若心值越小，则模型的拟合效果越

好

C.若样本数据毛，巧，…，%的方差为2,则数据2再-1,2%-1,…，2/-1的方差

为18

D.一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”

【答案】D

【解析】A选项，回归方程（=一0.45》+0.6,则变量＞与无负相关，A选项错误.

B选项，R?值越小，则模型的拟合效果越差，B选项错误.

C选项，数据物-1,2X2-1,2/-1的方差为2~2=8,C选项错误.

D选项，连续射击三次，

事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次“，D选项正确.

故选：D

5.已知奇函数八>)在R上是增函数，g(x)=W(尤).若。=8(1。852),b=gQn拈,

c=g(log83),则a,6,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】由/(x)为奇函数知g(x)=#(x)为偶函数.

因为"X)在R上单调递增且/(0)=0,所以当x>0时，/(%)>0,

所以g(x)在(。，+⑹上单调递增，且g(x)>。.

X«=g(log52),6=g(lnC)=g(；),c=g(log83),

因为210g52=log54<l,所以log52<g,

因为610g83=610g2,3=6x1log23=2log,3=log,9>log,8=3,所以log83>；,

所以0<log52<；<log83,

所以故A正确.

故选：A

6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为

“三角垛”.“三角垛”的最上层(即第1层)有1个球，第2层有3个球，第3层有6个

球，…设“三角垛”从第1层到第〃层的各层的球数构成一个数列{%},则第21层的球数为

()

【答案】B

【解析】设,

由〃2_q=3—l=2,q—%=6-3=3,

a4—a3=10—6=4,

可知｛2｝为等差数列，首项为2,公差为1,

故4=2+(〃-1)=〃+1,

故a”+i-4,="+1，

贝U/-%=2,/-〃2=3,_〃3=4,

…，见一%=〃(〃22),

甲士”曰(〃一1)(〃+2)

累力口得%―%=-----------,

即％=(〃_1)；"+2)+1,显然该式对于”=1也成立,

故a21=230+1=231.

故选：B

7.虎殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐尻殿顶与重檐疣殿顶.

单檐尻殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体

FE-ABCD的形状（如图②），若四边形A3CD是矩形，AB//EF,且AB=CD=2EF

=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3,贝！I五面体FE-ABCD的表面积为（）

A.48B.32石C.16+16君D.32+16石

【答案】D

【解析】分别取AD,BC的中点G,H,连接G”，FH,

过点F作48的垂线77,垂足为/,

因为FB=/C=3,3C=4,所以切LBC,所以FH=布,

根据对称性易得BBC冬AEAD,

所以以改=；届*9=34X6=2石，

在RtAFB/中，BI==2,所以打=，时-Bl?=生,

S梯形“=1(EF+AB)XF/=1X(4+8)X75=6A/5,

又S矩形ABCD=A3xBC=32,

所以^FE-ABCD=2sAFBC+2s梯形的§+S矩形245cD=32+1675.

故选：D.

8.已知抛物线y2=2pMp>0）上一点加（1,根）（租>。）到其焦点的距离为5,双曲线

的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（）

a

B.—

A.—34C.—9D.—2

【答案】A

【解析】根据题意，抛物线V=2px（p>0）上一点M（1,M（利>0）到其焦点的距离为5,

则点〃到抛物线的准线x=/的距离也为5,即1+g5,解得p=8,

所以抛物线的方程为V=i6x,则病=16,所以根=4,即加的坐标为（1,4）,

又双曲线W-y2=i的左顶点A（_q,0）,一条渐近线为y=

aa

4411

而心—，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有;一=一，解得。=不

1+。1+。a3

故选：A

9.已知函数/'(x)=<若有三个不同的实数a,仇c,使得

/(a)=/(&)=/(c),则a+6+c的取值范围为()

A.(271,201771)B.(271,201871)

3兀4035兀）

C.D.(71,201771)

T，2）

【答案】B

sinX,XG[0,TC]

【解析】由题意得:/（X）二

10g2017一，%£(兀，+8)

71

jrjr

当xe0,-时，单调递增；当xe-,7i时，〃尤）单调递减；且x«0,可时，

〃x）关于x对称；当行（兀,”）时，〃x）单调递增；

又/（0）=/（兀）=0,=/（20177i）=log20172017=1,

TT

设a<b<c,由/（«）=/伍）=/（c）知：a+b=2x—=7r,兀<0<2017兀，

:.a+b+c&（271,2018K）.

故选：B.

第n卷

二、填空题

io.设i为虚数单位，复数z满足z（2-i）=i3,则复数Z的虚部为.

【答案】

【解析】由Z（2—i）=i3可得：z=11--7i,即复数2的虚部为9

2

故答案为：-1.

11.1尤-*：的展开式中各项系数之和为64,则'的展开式中常数项为.

【答案】84

【解析】令x=l,得二项式1-告］的展开式中各项系数和为（1-3）"=64,得〃=6.

二项式卜+J「即卜+其通项心=&卜2广］£|'=的心，

由18-3/=0得r=6,所以展开式中常数项为C；=84.

故答案为：84.

12.已知直线处尤+2）+y-3=0（4eR）与圆。：（％+4）2+（y-5）2=12交于A,8两点，则当

/ACB取得最小值时，其余弦值为.

【答案】|

【解析】直线4彳+2）+k3=0（2€2恒过定点”（一2,3）,

\CM\^J(-4+2)2+(5-3)2=20<2后,所以点M(-2,3)在圆内,

如图，当，四时，弦长|AB|最小，则/AC3最小,

此时|AB|=2,产-3『=4,

12+12—161

所以cosZ.ACB=

2X2A/3X2A/33

故答案为：—.

13.函数〃x）=sin2x-0（cos?%-sir?%）的图象为。，如下结论中正确的是

（1）图象C关于直线彳=三兀对称；

12

（2）图象C关于点（与,。）对称;

（3）函数小）在区间（咱，利内单调递增；

7T

（4）由>=2sin2x的图象向右平移1个单位长度可以得到图象C.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】因为=sin2x-\/3（cos2x-sin2x）=sin2x-^cos2x=2sin^2x-,

、1,11.7C1IjC7C3兀LL|PI3兀I1LL1,,—L-r-f-l

当x=兀时，2x——=--——=—,所以/q-t=-1,所以（I）正确；

123632V27

当x=：7i时，2x-g=餐q=无，所以/[4]=0,所以⑵正确；

■jTTCTCTL57T

令——+2kn<2x——<一+2祈，左£Z,所以----\-k7i<x<----卜kn,kGZ,

2321212

jrSir

取％=0,得一争.二,所以⑶正确；

由y=2sin2x的图象向右平移g个单位长度可以得到y=2sin=2sin12x-g

故（4）不正确;

故答案为：（1）（2）（3）.

14.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新

纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,概率就被广泛应用于

ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相

同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随

机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；掷一枚

质地均匀的骰子，如果点数小于等于4,从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于

5,从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.

12

【答案】if

【解析】记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，

则尸（4）=1一与=2,P（AB）=^=—,

\'cj10V7Cj10

]_

3

即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为g；

设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件乙表示“从甲箱中抽球”，事件。表示“抽到红球”,

72

则尸(c)=d

r明吟3

P（必c）=+尸伊@=|，

所以尸（0=尸（C0+P（8）

=P(C)P(D|C)+P(C)P(Z)|C)

14232

=—x—+—x—=—

35353

14

所以「（叫二叫"^力2

5

3

2

即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是

19

故答案为：—；—

15.在等腰梯形ABCQ中，已知ABDC,ZABC=60°,BC=2,AB=4,动点E和F

分别在线段BC和。C上，且BE=2BC，DF=^-DC,则4£.8尸的最小值为_____.

2/t

夕工(

/

--'B

【答案】476-13

【解析】由题意BC=2,AB=4,44BC=6O。，

所以CD=AB-28C.cos60°=4-2=2,/.DC=—,

2

CO<2<1

又动点E和/分别在线段3c和QC上，且BE=/LBC，DF=^-DC,所以八1,

2A0<——<1

I22

解得

AEBF=(AB+ABC)•(BC+CF)=(AB+ABC)•(BC-FC)

=(AB+ABC)-[BC-(DC-OF)]=(AB+ABC)-(BC+—DC-DC)

2A

1ARARi_oo

=(AB+XBC)\BC+--------)={AB+ABC)-(BC+———AB)

2A2244

=AB2+(1+-BC+ABC2

444

i—72i—2/14i—

=^-X16+(1+-^—)X4X2XCOS120°+42=-+62-13>2A/24-13=476-13,

当且仅当。=64时，即4=通时取等号，故AEBP的最小值为4&_13,

故答案为：476-13.

三、解答题

16.在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且2a—c=26cosC.

(1)求sin]?+8)的值；

(2)若b=6,求r的取值范围.

74.扇一川

解：(1)因为2〃一c=2匕cosC=--------------x2Z?,整理可得，a2+c2-b2=ac^

lab

由余弦定理可得cos8=工，故2=60。，A+C=120°,所以

2

sinf+31=sin120°=—；

I2)2

(2)由正弦定理可得，，—=，=及—，所以。=2sinA,c=2sinC,所以

sinAsinCsin60°

1.J

c-a=2sinC-2sinA=2sinC-2sin(120°-C)=2sinC-2——cosCr+—smC

\227

=sinC-百cosC=2sin(C—60°),

因为0°<C<120。，所以-60。<。一60。<60。，所以一日<sin(C-60。)〈孝,

故—A/3<c—G<\/3■

所以取值范围为(-招,6).

17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面ABCD,PA=AD=2,

BD=272.

⑴求证：平面PAC；

(2)求二面角P-CD-3余弦值的大小;

(3)求点C到平面PBD的距离.

(1)证明：建立如图所示的直角坐标系,

则4(0,0,0)、£>(0,2,0)、尸(0,0,2).

在R"BAD中，AD=2,BD=2及,

AB=^BD2-AD2=2-

.•.3(2,0,0)、C(2,2,0),

/、uuuiUUU

：.AP=(O,O,2),AC=(2,2,0),BD=(-2,2,0),

VAPBD=0>ACBD=0,

即BD_LAP,BD1AC,

又APcAC=A,AP,ACu平面PAC,

，30_L平面PAC；

⑵解：由⑴得PD=(0,2,-2),CD=(-2,0,0).

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),

则，即:.八，故平面PCD的法向量可取为〃=(O,Ll),

CD-n=0\j-2x=0

•・・R4_L平面ABC。，

AP=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量.

设二面角P-CD-3的大小为6,由图易得6为锐角，

\n-AP\J?B

依题意可得cos0=%^=」,即二面角尸—CD—3余弦值为土.

|H|.|AP|22

(3)解:由⑴得尸3=(2,0,—2),PD=(0,2,-2),

PB-m=2a-2c=0

设平面的法向量为相=(a,6,c),贝卜

PD'm=2b-2c=0

a=b=c,故可取为m=(1,1,1).

•••PC=(2,2,-2),

|m-PC|2J3

・・・C到平面PBD的距离为d=J」=+.

\m\3

18.已知等比数列｛%｝是递增数列，且％+4=1。，$3=14.

⑴求｛%｝通项公式；

⑵在为和电之间插入1个数如，使％、如、出成等差数列；在电和“3之间插入2个数

%、%,使如、&、%2、。3成等差数列；…；在4,和巴+1之间插入几个数与、%、

…、b“",使J、%、%、…、b,“、%+i成等差数列.若小="+（人21+，22）++

（鬣+々2++或），且4-3“2<（-1）"功对"eN*恒成立，求实数机的取值范围.

解：（1）设｛%｝的公比为4,

ax-10

由〃1+〃3=1。，S3=14得:2，

ax+axq+axq=14

q--8

4=2-

解得4=2或1,

q=3

因为｛。"｝是递增数歹U,

%=2

所以4>1,则

（7=2

所以a“=2x2"T=2".

（2）在。“和一之间插入"个数如、b*、…、bnn,

使。“、%、b„2....%、成等差数列，设其公差为d,

此数列首项为«„=2”,末项为an+i=2向，

则的=%+d，bnn=an+l-d,

则如+%+%,="«+dd）/（2"；2向）=3〃.2“一

又（=练+（3+3）++（第+々2++%）,

贝I]7；=3x2°+6x2】++3〃-2"T,

2

2Tn=3X2'+6X2++3/7-2"

1n2

贝lJ（=-3x2°-3（2i+22+2--）+3M-2=_3_3x0-^~'）+3w.2»=（3/1_3）y+3,

贝|]雹-3小2"=-3x20+3,

令c“=-3x2"+3,则数列匕｝为递减数列，

由7；-3"•2”＜（-1）"-m对〃wN*恒成立,

则当”为偶数时，m＞-3x2"+3对〃eN*恒成立，贝卜九＞。2=-9；

当"为奇数时，一机＞-3x2"+3对“eN*恒成立，则-相＞仇=-3,即加＜3,

综上实数机的取值范围为-9〈加＜3.

19.已知椭圆C:[+/=l(a＞6＞0)的离心率为#，长轴的右端点为A(2,0).

(1)求C的方程；

⑵不经过点A的直线/与椭圆C分别相交于N两点，且以MN为直径的圆过点A,

①试证明直线/过一定点，并求出此定点；

②从点A作垂足为。，点«|，2)写出忸刈的最小值(结论不要求证明).

解：(1)椭圆C：£+¥=1的离心率为正，长轴的右端点为A(2,0),

ab2

a2

可得＜4=2,解得〃=2,A=l,c=

c2=a2-b2

所以椭圆的标准方程为—+/=1.

4

(2)①当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁=丘+利,

y=kx+m

联立方程组/整理得(4左2+1)%2+8kmx+4根2—4=0,

——+V=1

14'

-Skm4m2-4

可得%/=4F7I，V2=4FTT

设Ma,%),N(%,%)，所以40=(9一2,乂),3=(々一2,为)，

由题意得4M即AM_LAN,

可得=(玉-2,另)・(彳2-2,%)=网々-2(*1+12)+4+乂％

22

=玉%—2(芯+%)+4+(kx1+m)(kx2+m)=(k+l)x,x2+(km-2)(%+x2)+m+4

“，，、4m2-4,c、~~8km“5m2+16km+12k2

=(k~+1)------------F(zkm-2)x——----1-m~2+4

4k-+14k-+14F+1

所以5疗+16km+12k2=0,解得根=-2左或根=一|上，

当m=-2左时，直线方程为丁=依-2左=左5-2),此时过A(2,0),不符合题意(舍去);

当吁-g左时，直线方程为了=依—-g),此时过P(g,O),符合题意,

当直线/的斜率不存在时，设直线/：x=r,根据对称性，不妨设的坐标分别为

于是=