2024年中考数学一轮复习讲义-解直角三角形及应用 培优练习

解直角三角形及应用培优练习

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

了解解直角三角形的含义★

解直角三角形及会解直角三角形，能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解

★★

应用由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题

能综合应用直角三角形的性质解决有关问题

二、核心纲要

1.直角三角形的性质（如下表所示）

如下右图所示，在Rt△4BC中,NC=90。,乙4、乙B、”的对边分别为a,b,c,斜边中线长为d.

边的关系a2+b2=c2（勾股定理）;;d=c（直角三角形斜边中线等于斜边一半）

角的关系NA+/B=90。

..aAba

边角关系sin4=cos力=-,tan4=-

ccb

2.解直角三角形

⑴定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

⑵解直角三角形的基本类型（如下表所示）.

类型已知解法

两直角边a,b由tanA=±,,求NA;NB=90°-NA;c=3+b2

D

两边

一直角边a,斜边c由sinA=",^<ZA;ZB=90°-ZA;b=-a'

c

一直角边a,锐角AZB=90°-ZA.b=a-tanB.c=sinA

一边一锐角

斜边c,锐角AZB=90°-ZA,a=c-sinA,b=c-cosA

注：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中，化斜为直.3.几种常见的三角形（如下表所示）

（1）仰角和俯角都是视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角.如下左图

所示.

（2）如下中图所示，坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡度（坡比）.用字母i表示，即i=彳.坡度一般写成1：m的形

式，如i=l：5等.把坡面与水平面的夹角，记作a（叫做坡角），那么i=+tana.

（3）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于990。。的水平角，叫做方向角.如下右图所示，OA、OB、OC、OD的方向角

分别是：北偏东30。,南偏东45。（东南方向）,南偏西（60°,,北偏西45。（西北方向）.

本节重点讲解：一个性质，四个图形，五个概念.

三、全能突破

基础演练

1.在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5m,那么这两树在坡面上的距离AB为（）m.

A.5cosaB.—C.5sinaD.-^—

cosasina

2.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图28-2-1所示，此时测得地面上的影长为8m,坡面

上的影长为4m.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻，一根长为1m且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2m,则树的高

度为（）m.

A.6+V3B.12C.4-2V3D.10

3.图28-2-2所示是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O,直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD||48,且（CD=24goE1

CD于点E.已测得sin/DOE=蔡.根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过一小时才能将水排干.

图28-2-1图28-2-2

4.如图2823所示，在△48c中，乙4=30",乙B=45。,"=2次,求A48c的面积

图28-2-3

5.小红在学习教科书上相关内容后自制了一个测角仪（如图28-2-4（a）所示），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD的高度（如图28-2-

4（b）所示）.她先在A处测得楼顶C的仰角（a=30。,再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角0=60。,，若小红的目高

（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：V2x1.41,V3«1.73

,V5x2.24).

图28-2-4

6.图2825是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45。改为30°.

已知原传送带AB长为4m.

⑴求新传送带AC的长度.

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由（计算结果精确

到0.1m,参考数据：V2x1.41,73a1.73,V5«2.24,V6«2.45）.

图28-2-5

7.如图28-2-6所示，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C

处测得端点A的俯角为（60。,，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45。,，求岛屿两端A、B

的距离（结果精确到0』米，参考数据：V3«1.73,V2«1.41）.

D\45°

图28-2-6

8.如图28-2-7所示，一艘货轮在A处发现其北偏东45。方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警

舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60。方向的C处.

⑴求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离.

⑵若货轮以45海里/时的速度从A处向正东方向海警舰靠拢，海盗船以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截：问

海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）？

图28-2-7

能力提升

9.一副直角三角板按图28-2-8所示放置，点C在FD的延长线上,AB〃CF,NF=NACB=90o,/E=3（r,/A=45o,AC=12/2,则CD的长为—

1。.学校校园内有一小山坡，如图28-2-9所示，经测量,坡角.乙4BC=30。,斜坡AB长为12m.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使

斜坡BD的坡比是I:3（即为CD与BC的长度之比）,A、D两点处于同一铅垂线上，则开挖后小山坡下降的高度AD为___m.

11.如图28-2-10所示.AABC内接于OO,BC=m，锐角.NA=a“则。O的半径为____.AABC的AABC面积的最大值为.

图28-2-9

图28-2-8

图28-2-10

12.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2,设tanNBOOm,则

m的取值范围是—.

13.如图28-2-11所示,四边形ABCD中,CD=V2,ZBCD=90°,ZB=60°,ZACB=45°,ZCAD=30°,3<AB的长.

图28-2-11

14.如图28-2-12所示在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,ZDAB=ZCDB=90°,ZABD=45°,ZDCA=30°,AB=显求AE的长

和2kADE的面积..

图28-2-12

15.小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题，如图28-2-13所示，把一张长方形卡片AB-CD放在每格宽度为12mm的

横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知Na=36。，求长方形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题(结果精确到1mm).

参考数据：

sin36°=0.60

cos36°=0.80

Clan36°R.75

C

图28-2-13

16.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图28-2-14所示，观测点设

在A处，离益阳大道的距离AC为30m.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8s,

乙BAC=75°.

(1)求B、C两点的距离.

(2)请判断此车是否超过了益阳大道60knVh的限制速度？

(计算时距离精确到1m,参考数据：sirw75°«0.9659,cos75°«0.2588,tan75"«3.732,V3«1.732,60km/h-16.7m/s)

A

图28-2-14

17.如图28-2-15所示，某防洪指挥部发现长江边一处长500m,高10m,背水坡的坡角为4EDc

5。的防洪大堤(横断面为梯形AB-CD)急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定/=1：弓k--------

的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3m,加固后背水坡EF,

「p----千------------------B----

的坡比i=1：V3.

(1)求加固后坝底增加的宽度AF.图28-2-15

⑵求完成这项工程需要土石多少立方米(结果保留根号)？

18如图28-2-16所示，在AABC中,BC=3,AC=2,P为BC边上一个动点，过点P作PD〃AB,交AC于点D,连接BD.

⑴若"=45。请直接写出:当黑=一时,ABDP的面积最大.

⑵若NC=a为任意锐角,则当点P在BC上何处时,ABDP的面积最大?BP

图28-2-16

中考链接

19.(杭州)如图28-2-17所示,在RtAABO中，斜边AB=1.若OC〃BA,NAOC=36oJJl]().

A.点B到AO的距离为sin54°

B.点B到AO的距离为tan36°

C点A到OC的距离为sin36°sin540

D.点A到OC的距离为cos36°sm54°

20.(张家界演岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图28218(a)所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图28218(b)所示

其中/B=ND=9(r,AB=BC=15km,CD=3或km,请据此解答如下问题：

(a)

图28-2-18

⑴求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据鱼、1.414,73«1.73,V6«2.45).

(2)求NACD的余弦值.

巅峰突破

21.如图28-2-19所示,在AABC中,NA=6(F,NC=8(r,NC的平分线与NA的外角平分线交

于点D,连接BD,则tanNBDC的值是().

A.IB.-C.V3D.—

23

22.如图28-2-20所示，在△ABC中,D为边BC上一点BD=：DC/ADB=120\AD=2^AADC的面积为即2隰T9

则NBAC=

图28-2-20

基础演练

I.B2.A3.10

4.过点C作CD±AB于点D,

在RtAACD中,ZA=30°,.\CD=ACsinA=4，

•••AD=AC-cosA=2V3Xy=3.

在RtABCD中./B=45。,则BD=CD=V3.

，AB=AD+BD=3+V3.

•••SAIC=^B-CD=1x(3+V3)xV3=噌.

5.Va=30°,p=60°,/.ZECF=P-a=30°.

ACF=EF=10.

在RtACFG中,CG=CF-COS[3=54.

；.CD=CG+GD=573+1.6=10.3.

答：这座教学楼的高度约为10.3m.

6.⑴如下图所示作ADJ_BC于点D.

在RtAABD中.4D=4Bsin45°=4X孝=2遮

在RtAACD中NACD=30°,.\AC=2AD=4/2之5.6.

即新传送带AC的长度约为5.6m；

⑵结论:货物MNQP应挪走。

在RtAABD中.BD=4Bcos45°=4xy=2V2.

在RtAACD中,CD=ACcos30*2V2.

；.CB=CD-BD=2V6-2V2=2(V6-a)=2.1.

PC=PB-CB=4-2,1=1.9<2.

货物MNQP应挪走.

7.如下图所示，过点A作AE±CD于点E.过点B作BF±CD于点F,

VAB/7CD,AZAEF=ZEFB=ZABF=90°.

四边形ABFE为矩形.AB=EF,AE=BF.

由题意可知:AE=BF=100m,CD=500m.

在RtAAEC中,NC=6()o,AE=100m.

在RtABFD中,NBDF=45o,BF=100.

.•.DF=100m.

/.AB=EF=CD+DF-CE=500+100-100/3=542.3m.

8.⑴如下图所示过点C作AB的垂线CD,设CD的长为x,那么可知：

ZCAD=90°-45°=45°.

・•・在R3ACD中,AD=CD=x.

•・•ZCBD=90°-60°=30°,

在中.

RtACBDtan30°=—BD=—BD

:.BD=奈=V3x,sinx+y[3x=200

3

_200_200(V3-l)_200(V3-l)

=100V3-100.

,•X-V3+1-(V3+1)(V3-1)-2

10100

⑵设海警舰的速度应为y才能抢在海盗之前去救货轮.海盗从C点到D点所用的时间为:°±=2V3-2.海警舰要抢在海盗之

前去救货轮，则((2B-2)yNBx(100V5-100)

.\y>50V3

答：⑴海盗船所在C处距货轮航线AB的距离为(100b-100)海里

⑵海警舰的速度应为50/3海里/时才能抢在海盗之前去救货轮.

能力提升

9.12-4/310.6-2/3

m而Vs

11,7?=---------a12.m>——

2sina4tan-2

13过点D作DE1AC于点E,过点A作AF1BC于点F.

ZACB=45°,ZBCD=90°.

ZACD=45°.VCD=/2,:.DE=EC=1.

VZCAD=30°.AAE=V3.AAC=V3+1.

V3+1

FT7AA=FC=­；=-手••.ZBF=6。

V2

•••AABC=---A-F----=--V-6-+--V-2-,-p2=-3--V-2-+--V-6.

sin6002V33

14.如下图所示，过点A作AF±BD于点F.

,/ZCDB=90o.Zl=30°..\Z2=Z3=60°.

在ZkAFB中,NAFB=90。.：Z4=45°,AB=否、

AF=BF=V3.

SAAFE中,NAFE=900.・・.EF=1.AE=2.

在2kABD中,NDAB=9()o.・・・DB=2V3.

二•DE=DB-BF-EF=V3-1.

.-.SADB=|DE-?lF=i(V3-l)xV3=^.

15.作BE_L1于点E,DF±1于点F.

Za+ZDAF=1800-ZBAD=180°-90°=90°.^ADF+^DAF=90°,

...NADF=Na=36。.根据题意彳导

BE=24mm,DF=48mm.

___