2024届湖北宜荆荆随恩高三年级上册1月联考数学试卷含答案

2024届湖北宜荆荆随恩高三上学期1月联考数学试卷+答案

考试时间：2024年1月22日下午15:00-17:00试卷满分：15。分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号未

形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡

上的非答题区域均无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4=｛。,1,，｝,3=｛。+2｝,若/UB=4,则a的值为（）

A.2B.2或一2C.一1或2D.-2或一1

2.在数列｛3｝中，已知a.=-〃2+4“-3,则"442”是“数列｛/｝为单调递减数列”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物、

体育7节课的课程表，要求语文课排在上午，生物课排在下午，则不同排法种数为（）

A.1440B.5040C.720D.1220

4.已知非零向量而满足|宓+0司=|5-丽则君在无方向上的投影向；&为（）

A.BOB.OBC.OAD.AO

5.己知圆C:（X-1）2+U-2）2=3被直线，：x+y-»»=0截得的弦长为何|,则加的值为（〉

A.2士万B.1土6C.2土近D.1±72

6.若函数/（刈=111。+h二+6是奇函数，则4,6分别是（）

3x-2

A.[,ln2B.5,ln3C.1,ln4D.-,ln5

2345

则。+勺4〃

7.已知-------2•=-上，则疝11（24+工）的值为（）

tana156

A.4B,-21C.-±D.-21

12482838

宜荆剂肢息变点商中教科研协■作体*就学试卷（共4页）第1页

8.点片，鸟为椭圆C:£+4=l（a>b>0）的左、右焦点，48是椭圆。上关于原点对称的两点，若椭

ab

7_______

圆C上存在点尸，使得直线心,8尸斜率的平方和为不且4•用=，，则椭圆的离心率范围是（）

—'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.近一个月宜昌气温变化很大，为了解其变化情况，近17天最高气温分别为3,2,7,9,12,13,11,

10,7,8,5,10,.8,m,14,15,11（其中加数据缺失），则下列结论中正确的是（）

A.这组数据的中位数可能是9B.这组数据的众数可能是10

C.m的值可以通过中位数的值确定D.m的值可以通过全部数据的平均数确定

10.声强级4（单位：dB）由公式4=10^^）给出，其中/为声强（单位：%/配）,则下列结论中

正确的是（）

A.女高音的声强级是75期,普通女性的声强级为45d反则女高音声强是普通女性声强的100倍

B.一般正常人听觉能忍受的最高声强为1%/机2,能听到的最低声强为10々%/胆2,则人听觉的声强

级范围为0如-120d8

C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍

D.如果声强级增加UWB,则声强变为原来的10倍

11.己知正方体抽。-4耳GA的棱长为3,则下列结论正确的是（）

A.点4到平面4coi的距离为6

B.AQLBD

C.若正方体的表面上有一动点尸，满足|R4|=2|尸5],则点尸的轨迹长度为如+且

32

D.异面直线皿与45所成角为女

12.设函数/（x）的导函数为/'（X）,若/（x）+酎（x）=£（1!），/（0）=e,则下列结论正确的是（）

X-1

A./（-2）<€f（-l）B./（§>）

3

c.函数/（x）+/'（x）在（0,5）单调递减D.方程/（k=-"/口）有且仅有一个解

\.,.一

'\•

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知z1_z=6—2i，则复数z=.

底荆则随助立点商中收科研例作体*数学试卷（共4万）筮^林

14.如图是某酒杯，可将它近似的看成一个高为5的圆柱和两个高分别为3和3V

的圆台构成的组合体，其中上回台的上底面圆直径为5,圆柱底面圆的直径为

1,下圆台的下底面圆直径为4(单位：cm),则该组合体的体积为

15.已知双曲线与-4=1的两个焦点分别是£与鸟，焦距为6,离心率e=3,M是双曲线上的一点,

Mb2

且|岫|=3,贝|||此|的值为.

16.已知函数/(x)=-28s(0X+e)(o>O),如图45是直线y=J5与曲

线y=/(x)的两个交点，若48=9,则/(型手)=________.

63

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a,6,c分别为A48c三个内角48,C的对边，且J，asinC-a8sC+b-任=0.

⑴求才：

(2)若a=2,6=1,求&48c的面积.

18.已知点/(2,1),4BJLx轴于点8,C是线段上任意一点，。。，》轴于点。，CEJ.49于点£,

OE与CD相交于点P.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)记点尸到x轴的距高为4,点P到点8的距离为4,求4+4的圾小值.

19.在正三梭柱中，AB=2,AA'=l,£>,E,F分别为4'C',8C,"C的中点.

。)线段念上是否存在一点P,使得尸尸〃平而AB'D；

(2)求平面AB'D与平面DCF的夹角大小.

20.已知函数/(x)=-aeu+(4-o)eJ+2x

(1)当。=1时，求/(x)在点(0,/(0))处的切线方程।

(2)讨论/(x)的单调性.

文荆荆随恩重点为中做科宏的作休*致学试卷(共4JD第3页

21.已知等比数列｛aj的公比g>0,前〃项和为S“，3。2+2%=%，5,=13a,+4,数列｛%｝的前"

an

项和为/-2〃_1.

(1)求数列｛4｝的通项公式：

(2)求数列｛"｝的前n项和T„.

22.秋冬季节支原体肺炎肆虐，我校高三(22)班已有部分同学感染，为了筛查本班其他同学是否感染，

需要检验血液是否为阳性.现有4(46村・,222)份血液样本，有以下两种检验方式，方式一：逐份检

验，则霜要检验4次：方式二：混合检验，将4eN•，胴22)份血液样本分别取样混合在一

起检验一次，若检验结果为阴性，则加份血液样本均为阴性；若检验结果为阳性，为了确定加份血

液中的阳性血液样本，则对小份血液样本再逐一检验。逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是

a(a>0)元，且m份血液样本混合检验一次需要额外收2a元的材料费.假设在接受检验的血液样本

4

中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为p(O<p<l).

⑴通过随机检验发现宜昌城区高中生血液为阳性的概率约为1.2%。为调查我校高三(22)班感染情

况，对班级翁I余40人进行混合检验，有两个分组方案：

方案一：将40人分为10组，每组4人：

方案二：将40人分为4组，每组10人.

试分析哪种方案的检验费用更少？

1

⑵若p=l-e。，以检验总费用为决策依据，将m份血液样本采用方式二(巾份血液样本一起混检)

产生的总费用的数学期望低于方式一，求m的破大值.

(参考数据：0.988,=0.964,0.9884=0,953,0.98810=0.886,0.988”=0.876.

In2*0.6931,In3»1.0986,ln6«1.7918,ln7«1.9459)

宜荆荆随息支点高中做科研称作体*敬学试卷《共4页)第4页

2024年宜荆荆随恩高三1月联考

高三数学参考答案

一、单选题

l.B2.A3.A4.B5.C6.C7.D8.B

I.【答案】B

【详解】解：4U8=4o8q/l.・.{a+2}q{0,l,"},

a+2=0。+2=1a+2=a~

T工0或，a2#0或，a2Ho»：.a=2或-2

a1*Ia2*1/Hl

2.【答案】A

【详解】解：数列{%}为单调递减数列，则%+1-见<0对V〃eN•恒成立，故；1-2〃-1<0恒成立，即

2<3,所以242=义<3

3.【答案】A

【详解】解：由题意，要求语文课排在上午，生物课排在下午，有C：C；=12种

再排其余5节，有团=120种，根据乘法原理，共有12'120=1440种方法.

4.【答案】B

【解析】由防+函=|方-得知：OA^WAOB^off=OA-WAOB+OB，可得

~ABOBOB(OB-OA^OB——

万.丽=0,所以在在而方向上的投影向量为一|^|~.阿=一厨OB=OB

5.【答案】C

［解析】圆心C(l,2)到直线/:x+y-〃i=0的距离为d=卜二，=与必，故(匕叫)2+(也1)2=3,

\/2yj2\J22

所以机=2士J5

6.【答案】C

【解析】若/(x)=lna+^^+b是奇函数,所以其定义域关于原点对称，且定义域中介g.

否且"得卜所以嚓解得。《再由

由"2ro可得定义域即=9

〃0)=0可得"=1114.

此时/(x)=ln'+」s+ln4=ln8/，在定义域内满足/(r)=-/(x),/(x)为奇函数,

43x~~23x2

符合题意.

7.【答案】D

(4、

tanci+-r-

【解析】(法1)由一~”=-3,可解得tana=5G或tana=-3.

tana154

11A.u.e2tana5G.I-tan2a37

3tana=5V3Hi,sin2a=-------=-----,cos2a=-------=-----

1+tan'a3814-tan'a38

=正sin2a+-cos2a11

所以sin|2a+菅

2238

._2tana8百,l-tan2a13

当tana=--lb1,sin2a=------l=------,cos2a=------r—=—

4I+tana191+tan'a19

所以sin|2a+—sin2a+-cos2a=--

I6238

K

tana+sina+—cosa

I__6J.也可得一6)4

（法2）由is

tanaK

cosa+-sina

6

两式相加得

两式相减得

n.

sina+----a=sm

6J)

所以sin|2a+今IU="—

38

n

tana+

I__6J=

（法3）由—,号a=x-三,则a+X=x+土,

tana1512612

所以

—sin2x+sin

2

所以Csin2x=-“，所以sin2a+—111

=sin2x=-

24I6）38

（法4）设sin2a+—l=r,则

=2t9

\6；

n[a，、

sina+—+asinIIcosa+cossinatan+tana

6

所以2f=16JI6J

sin0coscr-cossinatan-tana

'1I6,

tana+--（、4----tana+tana..

因为—V_丝=-二_,即tana+工=-*tana,故2/=-^-------------=-1,所以

19

皿〃厅I6）15-4t

15

sin（2a+11

卫=---

I438

8.【答案】B

【解析】设P（x,y）,则所屎=x'+y'-c=.-.x2+/=2c:

...点。在以原点为例心，&为半径的圆上，该醐与桶网有交点，

•M4&CS0，则0-2"，解得金d，

32

设直线/P.8P的斜率分别为A”/由记+可=!>2|〃佐|（当且仅当人=&时取等），48是椭冈。上关

6

于原点对称的两点，有第三定义可知欣=e—,故即/*=>乎4e<l，综上所述.确

圆的离心率取值范困为叵me4立.

62

二、多选题

9.ABDIO.BD11.BCD12.ABD

9.【答案】ABD

【详解】由题意，若，”<9,中位数是9,A正确:

若机=10,众数都是10,B正确,

中位数是10时，"1位0,加不确定，C错误:

3+2+7+9+12+13+11+10+7+8+5+10+8+14+15+114W

平均值x=----------------------------------------------------

则X与"I•一对应，即平均数确定则对应，“确定，D正确.

10.【答案】BD

【详解】设女高音声强为。，普通女性声强为八，则101以备）=75,所以去.=10”①，101g（磊）=45,

所以修产"‘②，则①+②得：夕小。00,故女高许声强是普通女性声强的1颂倍A错误

10*2

2

101gUlOxIglO'=120(<75),101g=101gl=0(d8).

因此人听觉的用强级范围为048-120.B正确

由乙=IOIg(系■)=IOIg/+12O,当/变为2/,L,/=lO!g(2/)+12O*2(IOIg/+l2O),C错误

i殳声强变为原来的A倍,则10lg(〃)+120-(10lg/+120)=10,解得Q10.故选项D正确.

II.【答案】BCD

【详解】三棱锥iS为极长3五的正三棱锥，高力邛x3夜=25A错误.

'：AA,L^ABCD,BDu面/l8CD,；./i4■LBD,又•.•8O1/C,AA,（）AC=A,二"。！面44。,又

Y/lC.cilii/l/liC,.\AQ1BD,B正确

在平面中，以8为原点以48为x轴建系如图.设阿氏阴回心。（。,0）,半径为

2,.'.r=|-j-^r|-|/<5|=jx3=2

\AM\,

设阴。与48交于由阿氏阴I性质知曾=%=2.

I.W/J

v|BM1=2-|/?O|=2-a,：.\|=21卜4-2。,

，4-2。+2-a=6-3。=3,工a=0(1,0),

P在空间内轨迹为以。为球心半径为2的球,

若尸在四边形4844内部时如图，截面网与X8.BB,分别交干M.R.所以尸在四边形内的轨迹为疏.

•••|RO|=2.|5O|=1,在RtA/?8O中N/;O8=60,，二疏=2乂：=1*

所以，当尸在面力88/内部的轨迹长为:x,

同理，当。在面48。内部的轨迹长为I*.

当?在面8CC内时，如图所示.

。8_1面88£,平面8CC£截球所得小国是以8为圆心，以8。为半径的圆，截面圆与848c分别交

于凡0,且BPNOP，-OB'==6，

所以。在正方形BCCB内的轨迹为破，

所以RQ=4~x6=立贡,P的轨迹长度为2K+'+且n=，+3n,C正确

2233232

.•./IA〃BCj；.N48q即为所求，.•.△//G为正三角形，极幺BC尸gD正确.

12.【答案】ABD

【洋解】设g(x)=e'f(x),则g'(x)=e'(/(x)+f\x))=,"l)，令g，(外>。，

x-l

则X>1或X<1,令g'(X)<0.则1<X<1.故函数g(x)在(一8一)和(1,+8)上

222

单调递增，(：,1)上服调递诚，."(-2)<8(-1),即e-2〃-2)<eT/(-l),故

/（-2）＜ef（-l）,A正确。即//（；）＞e°/（0）,•••/（（））=e,故〃；）＞e"B正确。

（）

i5/7（.r）=/（x）+/＞（x）=gT2X~1•定义域：（-^,1）U（1,-K»）,则MX）=X：Q£3）.,故心）在（一8⑴和

x-\（x-1）

33

（Q,+8）上单调递增，（0,1）和（1,］）上单调递减，C错误。力（X）的图象如图，故D正确。

三、填空题

79乃

I3.z=2+2i或z=-l+2i14.-----15.516.2

8

13.【答案】z=2+2i或z=-】+2i

【详解】解：设2=々+历（a,6wR）,则所以（a+6i）（a-历）一（。+历）=6-2i,即

a2+b2—a=6a=2a=-1

/+〃-a—6i=6-2i,则，…'解得nV<

5=2'b=2

故z=2+2i或z=-1+2i.

乃

14.【答案】79等

O

【详解】上圆台r=g,4=例=3,则上网台的体枳匕=；兀似/+咽+舄2）=?兀圆柱,.=；也=5,

!

则圆柱的体积匕下圆台〃==2禽=；,则上圆台的体积匕=；兀力式，2+r为+&）=:31,

所以该组合体的体积，二三79九.

O

15.【答案】5

【详解】由题意得，焦距2c・=6,可得c=3,离心率e=3,可得a=l

根据双曲线定义可得||A/G|-|M/s||=2a=2,

所以13Tgl|=2,解得q=1或|咋|=5,

当|M用=1时，阿用+阿用=4＜6不满足题意，故舍去,

当|例周=5时，四用+|M£|=8＞6,满足题意,

所以|M&|=5

16.【答案】2

【详解】设力■，石）,812,石）,由|阴可得西-4=看.

因为-2cos（0X+o）=6,结合图象可知

(t)x2+Q-(3X1+3)=/"一普=y，即矶x2_xj=q,所以<y=2.

因为/(£”)=-2cos^^+0]=0,

所以11£+3=£.+〃兀，即/=一±乃+々”,4eZ,

623

所以/(x)=-2cos2x-g/r+2£;r)或/(x)=-2cosIx-^+lkn

4

即/(x)=-2cos2.针或小)=一2叫滔铲.

3

又因为/(0)<0,所以/(x)=-2coslx--7T

、3

2024”

所以/(7)=-2cos2x~T

四、解答题

17.(10分)【解析】(I)

>/3sinJsinC-sinJcosC+sin8-6sinC=0

GsinJsinC-sinJcosC+sin/IcosC+cosJsinC-6sinC=0

VJsinJ+cosA=>/3,2sin(^+—)=7J,vAe(O,zr)/I+—G(—,—)

6666

it.TC一°27r.TC7t

故/+—=—或—/.A=一或一

63362

(2)①当力=£时，在A48C中利用正弦定理得，一^一=，一,则sin8=1,

6sinAsinB4

'：a>b,:.A>B,故cos8=—

4

vsinC=sin(4+8)=sin/cosB+cos^4sinB=

故MBC的面积S=-abs\nC=/十炉

28

②当/=工时，利用勾股定理，c=J/"=6故MBC的而枳S=-hc=—

222

终上所述，①当力=工时，S=3土叵；②当力=工时，s=—

6822......(10分)

18.(12分)【解析】(1)设点P的坐标为(x,y)

CM直线方程：y=[x,则C(x,1x),E(2,」x),•••O,P,E三点共线，，土=?-

22221“

-X

2

故点P的轨迹方程：x2=4y(0<x<2)

......(6分)

(2)点尸的轨迹为抛物线，其焦点为6(0,1),由抛物线的定义可知，d,=|PF|-1,

故4+出=|p尸|+\PB\-\>\FB\-\《当且仅当尸,P,8三点共线时取"=")

•••俨8|=石,&+d2的最小值为旧-1

.…・…(12分)

19.(12分)【解析】(1)如图建立空间直角坐标系E-平

J(V3,0,0),5(0,1,0),C(0,-l,0)./T(瓜0,1),S'(0,l,l),C'(0,-l,l),

尸(o,o,g)

假设存在点P,设丽=7球(OS241),则P(Ga,0,0),故

丽=(疯,0,-g)

设面AB'D的法向最为薪=(x,y,z),则相1)

AB'ni=-x/3x+y+z=0

■_____।»令x=G、则y=l,z=2,m=(\/3,l,2)

ADnt=------x—y+z=0

22

•.•丽行=0.•"=1.故线段AE上存在一点P,P是靠近点E的三等分点.

3........(6分)

(2)设面CO产的法向量为最=(a,b,c),则而=(巫一,1),#=(0,1,3

222

CD-ii--^-a+—b+c=0

22,令6=2,WOa=2\[3,c=-4•/.n=(2>/3,2,-4)：

一1

CFn=/>+—c=0

2

•.•，〃•〃=6+2-8=0故两平面的夹角为工

2........(12分)

20.(12分)【解析】(I)当a=l时，f(x)=-e2x+3ex+2x,f\x)=-2e2x+3ex+2

设切线斜率为A,则〃=/'(0)=3,又•••/(())=2,.•.切线方程为：y=3x+2

........(4分)

(2)定义域：R,/V)=-2ae2x+(4-a)ex+2=~(2ex+\)(aex-2)

①当a40时,/'(x)>0,.,./(x)在及上单调递增:

22

②当。>0时，令/'(x)>0,得℃”一2<0,J.x<ln—,令/'(x)<0，得ac"-2>0,x>In—,

aa

22

故/(x)在(Yojnf)上单调递增，(ln£,+8)上单调递减.

aa

__22

综上所述:①当aWO时，/(x)在/?上单调递增:②当。>0时，/(外在(-oo」n-)上单调递增，(ln-,+oo)

aa

上单调递减.

……(12分)

21.(12分)【解析】(1)设=qi,丁3a2+2%=4,则3qq+2qq2=qq‘，1・q=3或g=-1(舍)，

又•••S$=13%+4,则91!二h2=13qX32+4..••《=I,故数列｛《,｝的通项公式为a„=3"，

1一3..…依分)

(2)设数列｛2｝的前〃项和为K.=/-2〃-1

①当〃=1时，AT1=—=-2»*•*a.=I»bt=-2

a\

②当〃22时，△=尸2〃-3,，。=(2〃-3)X3WT不满足"=一2

a”

M,-2,zi=l