中考数学总复习《二次函数与不等式的综合应用》训练（附答案）

中考数学总复习《二次函数与不等式的综合应用》专题训练(附答案)

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1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,3),交x轴于点

B(3,0).

(1)求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y>3时x的取值范围；

(2)将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'(m,n均为正数)，若点O',B'

均落在此二次函数图象上，求m,n的值.

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/-2/?x.

(1)当抛物线过点(2,0)时，求抛物线的表达式；

(2)求这个二次函数的对称轴(用含6的式子表示)；

(3)若抛物线上存在两点A(b-1,y/)和8(6+2,x)，当2Vo时，求匕的取值范围.

3.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=-l.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求该图象的顶点坐标；

(3)观察图象，当y>0时，求自变量x的取值范围.

4.某园林专业户王先生计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润弘与投资量x

成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润当与投资量x成二次函数关系，如图2所示(图中实线部

分)

图1图2

(1)分别求出y与%关于投资量x的函数解析式；

(2)王先生以总资金9万元投入种植花卉和树木，且投入种植花卉的资金不能超过投入种植树木资金

的2倍.设王先生投入种植花卉资金m万元，种植花卉和树木共获利W万元，求W关于m的函数解析

式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

(3)若王先生想获利不低于26万，在(2)的条件下，直接写出投资种植花卉的资金m的范围.

5.二次函数的图象经过点A(2,0),B(3,0),C(l,6).

(1)求二次函数解析式；

(2)求当y>4时，自变量x的取值范围.

6.二次函数y=ax?+bx+c(a/0)的图象如图所示.

(2)当y>0时，求x的取值范围.

(3)当y随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围.

(4)若方程ax?+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

7.某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的

进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个.

(1)求第二批每个挂件的进价；

(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，

当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能

卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线丁=如2一2如一3(m与x轴交于A,B两点，且点A的坐标

为(3,0).

(1)求点B的坐标及m的值；

(2)求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；

(3)结合函数图象直接写出当y>0时x的取值范围.

9.对于抛物线y=ax2-4x+3(a>0)

(1)若抛物线过点(4,3)

①求顶点坐标；

②当0WX/6时，直接写出y的取值范围为；

(2)已知当0<x<m时,l<y<9,求a和m的值.

10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点A坐标为(1，-1),与直线y=^x相交于

0、B两点，点O是原点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)求点B的坐标；

(3)直接写出不等式ax2+bx+c<-x的解.

2

11.如图二次函数y="2+辰+，的图象与x轴交于点(1,0)、(3,0),根据图象解答下列问题:

(1)写出方程ax2+b^\-c、=0的两个根;

(2)当x为何值时，y>0?当x为何值时，y<0?

(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.

12.如图为二次函数y=-x2-x+2的图象，试根据图象回答下列问题:

(2)当y>0时，x的取值范围是；

(3)当-3<x<0时，y的取值范围是.

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.

(2)当2时，请根据图象直接写出x的取值范围.

14.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+l(m为常数)的图象与y轴交于点A.

(1)求点A的坐标.

(2)当此抛物线的顶点恰好落在x轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出

函数值y随x的增大而增大时x的取值范围.

31

(3)当x«—m时，若函数y=x2-2mx+l(m为常数)的最小值一，求m的值.

22

(4)已知RSEFG三个顶点的坐标分别为E(m,m)、F(0,m),G(m,m-10).若设抛

物线y=xJ2mx+l(m为常数)与△EFG的较短的直角边的交点为P,过点P作x轴的平行线，与抛物线

的另一个交点为Q，过点A作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为B.若AB=2PQ,直接写出m的

值，

15.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+4x-3的图象的顶点是A，与x轴交于B,C

两点，与y轴交于点。.点8的坐标是(1，0).

(1)求A,C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.

(2)平移该二次函数的图象，使点。恰好落在点A的位置上，求平移后的图象所对应的二次函数的

表达式.

16.如图，已知二次函数,=一/+法+©的图像经过A(-2,-1),3(0,7)两点.

(1)求该抛物线的解析式及对称轴；

(2)当x为何值时，y>0?

(3)在x轴上方作平行于x轴的直线I,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧)，过点

C,D作x轴的垂线，垂足分别为F,E.当矩形为正方形时，求C点的坐标.

17.阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务.

小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式/一工一6<0的解集？

通过思考，小丽得到以下3种方法：

方法1：方程必―％—6=0的两根为％=-2,%=3,可得函数y=—6的图象与x

轴的两个交点横坐标为-2、3,画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的

范围是不等式/一万—6<0的解集.

方法2：不等式f一％—6<0可变形为/<%+6,问题转化为研究函数y=V与y=x+6

的图象关系.画出函数图象，观察发现：两图象的交点横坐标也是-2、3；y=V的图象在

y=x+6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集.

方法3：当x=0时，不等式一定成立；当x〉0时，不等式变为尤—1<9；当x<0时，不

X

等式变为X-1>9.问题转化为研究函数y=x-i与>=£的图象关系…

XX

任务：

（1）不等式f—x—6<0的解集为;

（2）3种方法都运用了—数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；

A.分类讨论B.转化思想C.特殊到一般D.数形结合

18.已知二次函数y=x2+ax+a（a为常数，a^O）.

（1）当a=2时，求二次函数的对称轴.

（2）当0<。<4时;求该二次函数的图象与x轴的交点个数.

（3）设M（Xpyj,N&必）是该函数图象上的两点，其中为<々，当xt+x2>4时，都

有/<必，求a的取值范围.

19.如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x

轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线Ci：y=-+3近

822

似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：

y=--x2+bx+c运动.

4

(1)当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b,c的值；

(2)在(I)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是

2米？

2

(3)若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围.

20.已知抛物线y=ax2+3ax+c(a/))与y轴交于点A

(1)若a>0

①当a=l,c=-1,求该抛物线与x轴交点坐标；

②点P(m,n)在二次函数抛物线y=ax?+3ax+c的图象上，且n—c>0,试求m的取值范围；

(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；

(3)若点A的坐标是(0,1),当一2c<x<c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.

21.已知抛物线y=x?+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A(-1,0),与y轴的交点坐

标为C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；

(2)根据图象回答：当x取何值时，y<0?

(3)在抛物线的对称轴上有一动点P,求PA+PC的值最小时的点P的坐标.

22.已知二次函数y=ax2+Zzr+c(aR0).

(1)若。=-1,且函数图象经过(0,3),(2,-5)两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写

出函数值y23时自变量x的取值范围;

(2)在(1)的条件下，已知抛物线丁="2+加+。(。/0)与*轴交于人，B两点(点A在点B的

左侧)，将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位，平移后的抛物线于x轴交于C,D两点(点C在点

D的左侧)，若B,C是线段AO的三等分点，求m的值.

(3)已知a^b=c=\,当％=〃，q(p,q是实数，P丰q)时，该函数对应的函数值分别为P,

Q.若〃+q=2,求证P+Q>6.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：将A(0,3),B(3,0)代入二次函数y=-x2+bx+c,

^{-9+3h+c=0'

b=2

解得

c=3

•••抛物线的解析式为y=-/+2尤+3,

如图，过点A作ACx轴交抛物线于点C,

A与C两点关于对称轴对称,

C(2,3),

由图象可得，当0VxV2时，y>3；

(2)解：•.•将0(0,0),B(3,0)向左平移m个单位，向上平移n个单位后至O'、B',

/.(J(-m,ri),〃)，

•.,点0=B'均落在此二次函数图象上,

.(—m2-2m+3=n

(—(3-m)2+2(3—m)+3=

整理得「源『"3=好，

I-m2+4m=n(2)

②一①得6加一3=0,解得加=g,

I7

将〃2=］代入②式，解得〃=)，

17

m=—,n=—.

24

2.【答案】(1)解：把(2)0)代入解析式y=x2-2bx,

0=4-4/?,

解得b=\,

抛物线的解析式为：y^x2-2x.

-2h

(2)解：二次函数的对称轴为直线：x=-----=b,

2x1

2

(3)解：将A(b-1,yi)和B(b+2,y2)代入y=x-2bx得,

y=3—1)2—2b3—1),必=3+2)2—2伙人+2)

整理得：乂=1一〃，%=4一〃，

当y-y2<0时，则%%=(1-勿(1+勿(2-勿(2+与<0,

(1—勿(1+勿(2—份(2+份<0,

S—DS+DS—2)3+2)<0,

令0-1)(/?+1)(/?-2)0+2)=0,

解得：b、=-2,b2--1,83=1，仇=2,

根据高次不等式的求解法则，

y•%=(1->)(1+协(2-b)(2+/)<0的解集为，

-2<Z?<-1或\<b<2.

3.【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+1)2+k,

0-4a+k

将(-3,0),(0,3)代入y=a(x+1)2+k得《，

3=a+k

a——1

解得「,，

«=4

：.y=-(x+1)2+4.

⑵解:Vy=-(x+1)2+4,

抛物线顶点坐标为(-1,4).

(3)解：•.•抛物线经过(-3,0),对称轴为直线x=-1,

二抛物线经过(1,0),

，-3<x<l时，y>0.

4.【答案】(1)解：设种植树木的利润M与投资量x的解析式为x="，种植花卉的利润y2与投资量x

的解析式为

由题意得：k=2,4。=4,

:•k=2,a=\

2

y=2x,y2=x；

(2)解：,•王先生投入种植花卉资金m万元，则其投入种植树木资金为(9-根)万元,

W—2(9—+-m2—2/n+18=(m—l)-+17,

•••投入种植花卉的资金不能超过投入种植树木资金的2倍，

0<m<6>

Vl>0,

当根=1时，％小=17,当机=6时，％大=(6—I)?+17=42,

他至少获得17万元利润，他能获取的最大利润是42万元；

(3)当时，王先生获利不低于26万

5.【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-3),

把C(l,6)代入得6=ax3x(—2),解得a=T,

所以抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-3),

即y=-x2+x+6；

(2)解：把y=4代入y=-x?+x+6得，4=-x2+x+6,

解得x=2或x=-l,

二交点为(2,4),(-1,4),

:抛物线y=-x2+x+6开口向下，

.•.当y>4H寸，自变量x的取值范围为T<xV2.

6.【答案】(1)解：•.•抛物线与x轴的交点为(1,0),(3,0),

二方程ax2+bx+c=0的两个根为％=1,%=3；

(2)解：由图象可知，当l<x<3时，y>0；

(3)解：•.•抛物线的对称轴为直线x=2,

...当x>2时，y随着x的增大而减小；

（4）解：方程必2+法+c=后有两个不相等的实数根，即函数>=公2+加+4。。0）与y=z有两个交

点，如图所示:

当4>2时，y=ar?+加+。（。彳0）与y=左无交点；

当々=2时，>=公2+加+0（。工0）与3；=々只有一个交点；

当z<2时，函数y=以2+云+«。。0）与y=&有两个交点,

故攵<2.

7.【答案】（1）解：设第二批每个挂件进价是每个x元,

33004000”

根据题意得------23

l.lxx

解得x=40,

经检验，x=40是原方程的解，也符合题意,

x=40,

答：第二批每个挂件进价是每个40元;

（2）解：设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元,

每周最多能卖90个,

60-m

40+10x<90，

解得加255，

根据题意得W=（加一40）［40+10x”皆U-10（/〃-52y+1440

-10>0，

・・・当〃后52时，y随X的增大而减小，

m>55,

当加=55时，W取最大，此时W=70x（55—52）2+1440=1350.

当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元.

8.【答案】（1）解：把A（3,0）代入y=-2/nx-3,

得9m-6m-3=0,解得m=l,

•••抛物线解析式为y=d-2x-3,

当y=0时，X2-2X-3=0，解得X=T，々=3,

所以B点坐标为（一1,0）；

（2）解：y=x2-2x-3=（x-l）2-4,则抛物线的顶点坐标为（1，-4））,

列表如下:

X-2-10123

y50-3-4-30

（3）解：由函数图象可知，当y>0时，x<-l或x>3,即x的取值范围是x<-l或x>3.

9.【答案】（1）解:①把（4,3）代入得，16a-16+3=3.\a=l

y=x2-4x+3=（x-2）2—1

二顶点坐标为（2,-1）；

②-iwy*.

（2）解：抛物线与y轴交于点（0,3）,

由题意当OWxWm时，抛物线经历了下降再上升的过程

12a-16_

-4a-=1

am2—4m+3=9

a=2,m=3

10.【答案】(1)解：解：•・,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O(0,0),顶点A(1,-1),

・••对称轴为x=l,c=0,

・•・点(2,0)也在图象上，

y=ax(x-2),

.".-l=a(1-2),

a=l,

2a

Ab=-2,

・•・二次函数的解析式为y=x2-2x；

(2)解：・・・B为抛物线和直线的交点，

「1

/.x2-2x=-x,

2

5、

Ax(X--)=0,

2

.•.点B的横坐标为?，

2

.•.点B得纵坐标为2

4

,55、

..B(一，一)；

24

(3)解：0<x<一

2

11.【答案】(1)解：二次函数>=32+区+44/0)的图象与x轴交于(3,0)、(1,0),

,or?+Zzx+c=0的根为：玉=3,々=1;

(2)解：.二次函数y=加+历t+c(aH0)的图象与x轴交于(3,0)、(1,0)

观察图象可知：当l<x<3时，图象总在x轴的上方.

不等式y>0的解集为：1<%<3.

观察图象可知：当x>3或x<l时，图象总在x轴的下方.

・•.当x>3或x<l时，，y<0,

(3)解：二次函数〉="2+法+4。。0)的图象与*轴交于(3,0)、(1,0),

，该图象的对称轴为直线x=2,

图象开口向下，

・・・当x>2时，y随x的增大而减小.

即y随x的增大而减少时x>2.

12.【答案】(1)玉=-2,x2=1

(2)一2a<1

9

(3)-4<y„-

-4

13.【答案】(1)解：•.•二次函数y=/+以+c图象经过点A(l,-2)和B(0,-5).

c--52

，解得:

1+b+c=-2

.•.抛物线为y=f+2x-5=(%+1)2-6,

•••顶点坐标为：(-1，-6)；

(2)-3<x<l

14.【答案】(1)解：•.,抛物线y=x2-2mx+l(m为常数)的图象与y轴交于点A,

.•.另x=0,贝ijy=l

...点A的坐标是(0,1)

(2)解:另y=0,则x2-2mx+l=0,

•/抛物线的顶点恰好落在x轴的负半轴，

；・△=b2-4ac=(-2m)2-4x]x]=0,B|Jm=±1,

_b-2m

又二”=----二------=m<0,

2a2

m=-l

则此抛物线所对应的二次函数的表达式为y=x2+2x+l,

由于该抛物线开口向上，对称轴为直线x=・l,

・・・函数值y随x的增大而增大时x的取值范围为x"l

(3)解：,:抛物线y=x2-2mx+l=(x-m)2+l-m2

・•・该抛物线的对称轴为直线x=m,顶点坐标为(m,l-n?)

31

当时，若函数y=xZ2mx+l(m为常数)的最小值大，分两种情况：

22

若m>0,则l-m2=,，解得111=也或m=-它(舍去);

222

若mVO,则当x=3"z,y=(—m)2-2mx—m+l=—,解得(舍去)或m=-Y^

222233

综上可知，m的值为史或-迈。

23

2

(4)m=-2或m=—

3

15.【答案】⑴解:将点B(L0)代入y=ax2+4x-3,

得a+4-3=0,

解得a=-l,

.•.二次函数的解析式为:y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,

.•.点A(2,1),

令y=0得-x2-4x-3=0,

解得Xl=l,X2=3,

.•.点C(3,0)；

.•.当y>0时，x的取值范围为：I<x<3；

(2)解：•.•y=-x2+4x-3中，当x=0时,y=3,

.•.点D(0,-3),

：平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，

.•.抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，

•••平移后抛物线的解析式为：y=-(x-2-2)2+l+4=-(x-4)2+5.

16.【答案】(1)解：二次函数了=一/+法+。的图像经过A(-2,-l),8(0,7)两点.

.(-1——4—2b+c

Ic=7

解得：[b=L

k=7

=-(x2-2x)+1,

=-[(X2-2X+1)-1]+7,

-(X-1)2+8,

，对称轴为：直线x=l.

(2)解：当y=0,

0=-(-V-1)2+8,

x-1=+2V2>

=

%11+2>/2»%2=1-2>^2)

，抛物线与x轴交点坐标为：(1-20,0),(1+20,0),

,当1—20<x<l+2拒时，y>。；

(3)解：当矩形CDEF为正方形时，

假设C点坐标为(x,--+2尤+7),

.:。点坐标为(一一+2x+7+x,-x2+2x+7),

即：(-f+3x+7,-X2+2X+7),

对称轴为：直线x=l,D到对称轴距离等于C到对称轴距离相等,

-+3x+7—1———x+1,

解得：％=-1,々=5(不合题意舍去)，

%=-1时，-*2+2X+7=4，

.•.C点坐标为：(T，4).

17.【答案】(1)-2<x<3

(2)D

18.【答案】(1)解：..“=2,

y=x2+2x+2=(x+1)2+1,

二次函数的对称轴为x=-l；

(2)解：V0<a<4,

.,.A=b2-4ac=a2-4a=a(a-4)<0,

...二次函数图象与x轴无交点；

2

(3)解：：y=x2+ax+a=(x+—)2+a--,

24

.,.对称轴为x=-：,

2

.•.当时，y随x的增大而增大，

Vxi<x2,当m；”?>2时,总有yi<y2,

..•对称轴需要在M和N点中点坐标的左侧,

a-

--W2,

2

*,•a2-4,

又,:又0,

・••近-4且a#0.

19.【答案】(1)解：由题意可知抛物线C2：y=-'x2+bx+c过点(0,4)和(8,10)

4

4=c

将其代入得:1

10=——x892+8b+c

4

c=4

解得，Lii

b-——

I4

11

b=——，c=4

4

(2)解：由(1)可得抛物线Cq解析式为：y=-!x2+?x+4,

44

设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为2米，依题意得:

2

1211,,1,33、5

448222

解得：mi=l(),m2=0(舍)，

故运动员运动的水平距离为1()米时，运动员与小山坡的竖直距离为为之米.

2

(3)解：•抛物线C2经过点(0,4),

/.c=4,

1331o

抛物线Ci：y=—x0H—x-\—=—(x—6厂+6

8228

当x=6时，运动员到达坡项，

即x62+6b+4%+6.

4

,15

.♦bN—

6

20.【答案】(1)解：①当。=1,。=一1时，

y=x2+3x-l,

当y=0时，X2+3X-1=0,

解得：-3+V13,土巫，

'22

.•・抛物线与x轴的交点坐标(士史，0),(土正，0)；

22

②〃一c>0,。〉0,

/.airr+3am+c-c>0,

解得：m>0或根<一3；

(2)解：♦.,抛物线恒在x轴下方,

叱=9<0,解得U<a<。，

•••符合条件的整数a只有三个，

4c

.\-4<—<-3,

9

27

解得：-9<c<一一

4

的最小值为・9,

(3)解：•，点A的坐标是(0,1),

c=l,

/.y-ax2+3ax+1,

又・・•当-2avl时，抛物线与x轴只有一个公共点,

当x=-2时，y=4。-6a+1=-2a+1,

当％=1时，y=。+3。+1=4。+1,

①当。>0时，

a>0।

-2a+l<0,解得：a>~,

、4a+1>02

(a>0

或者卜2a+1>0,无解

I4a+1<0

②当a<0时，

a<0

-2CL+140,无解，

.4Q+1>0

a<0j

或者—2Q+1>0,解得：aS—,

.4a4-1<04