2025版高考数学一轮总复习考点突破第7章立体几何第6讲空间的角与距离第2课时综合问题角度1空间中的翻折问题

角度1空间中的翻折问题(2024·山西师大附中月考)长方形ABCD中，AB＝2AD＝2eq\r(2)，点E为CD中点(如图1)，将点D绕AE旋转至点P处，使平面PAE⊥平面ABCE(如图2)．(1)求证：PA⊥PB；(2)点F在线段PB上，当二面角F－AE－P大小为eq\f(π,4)时，求四棱锥F－ABCE的体积．[分析](1)要证PA⊥PB.由PA⊥PE知，证PA⊥平面PBE即可，也即需证PA⊥BE，又平面PAE⊥平面ABCE，故证BE⊥AE即可，这在平面图中易证．(2)取AE的中点O连接PO，分别以OA、OP为x轴、z轴建立空间直角坐标系，设eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，只需根据条件求出λ即可，得点F的竖坐标z，进而可求VF－ABCE＝eq\f(1,3)SABCE·|z|.[解析](1)证明：在长方形ABCD中，AB＝2AD＝2eq\r(2)，E为CD中点，∴AE＝BE＝2，∴AE2＋BE2＝AB2，∴AE⊥BE，∵平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面PAE，AP⊂平面PAE，∴BE⊥PA，又PA⊥PE，BE⊂平面PBE，PE⊂平面PBE，PE∩BE＝E，∴PA⊥平面PBE，PB⊂平面PBE，∴PA⊥PB.(2)如图，取AE的中点O，AB的中点G，连接OP，OG，由题意可得OP，OG，OA两两互相垂直，以O为坐标原点，以OA，OG，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E(－1,0,0)，B(－1,2,0)，P(0,0,1)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，设eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，则F(－λ，2λ，1－λ)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－λ－1,2λ，1－λ)．解法一：设平面FAE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝－2x＝0，,m·\o(AF,\s\up6(→))＝－λ－1x＋2λy＋1－λz＝0，))令y＝1，得z＝eq\f(2λ,λ－1)，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(2λ,λ－1)))，又BE⊥平面PAE，∴n＝eq\o(EB,\s\up6(→))＝(0,2,0)是平面PAE的一个法向量，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2,2×\r(1＋\f(4λ2,λ2－2λ＋1)))＝eq\f(\r(2),2)，解得λ＝eq\f(1,3)或λ＝－1(舍)．即F为PB的靠近P的三等分点时，二面角F－AE－P的平面角为eq\f(π,4)，∵PO⊥平面ABCE，且PO＝1，∴F到平面ABCE的距离为eq\f(2,3)，又四边形ABCE的面积为3，∴四棱锥F－ABCE的体积VF－ABCE＝eq\f(1,3)SABCE·h＝eq\f(1,3)×3×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).解法二：作FH⊥AE于H，则eq\o(HF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－teq\o(AE,\s\up6(→))(t∈R)，由eq\o(HF,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0得t＝eq\f(\o(AF,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|2)＝eq\f(λ＋1,2)，∴eq\o(HF,\s\up6(→))＝(0,2λ，1－λ)，又eq\o(OP,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴〈eq\o(HF,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))〉＝45°，∴eq\f(1－λ,\r(4λ2＋1－λ2))＝eq\f(\r(2),2)，解得λ＝eq\f(1,3)或－1(舍去)(以下同解法一部分)．名师点拨：空间折叠问题的解题策略1．解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．2．在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．3．解决折叠问题的关注点：平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出“未折坏”的直角(从而观察是否存在线面垂直)，然后标出其他特殊角以及所有不变的线段．【变式训练】(2023·河北衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2AD＝2，将△ADC沿着AC翻折，使得点D到点P处，且AP⊥BC.(1)求证：平面APC⊥平面ABC；(2)求二面角C－PA－B的平面角的正弦值．[解析](1)证明：由等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2AD＝2，过C做CE⊥AB，交AB于E，连接AC，如图所示根据对称性可得，BE＝eq\f(1,2)，所以cos∠ABC＝eq\f(EB,BC)＝eq\f(1,2)，可得∠ABC＝60°，又由AB＝2BC，所以AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcos∠ABC＝3，即AC＝eq\r(3)，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，又因为BC⊥AP，且AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC，又由BC⊂平面ABC，所以平面APC⊥平面ABC.(2)取AC的中点E，AB的中点F，以E为坐标原点，EA为x轴，EF为y轴，EP为z轴正方向建立空间坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0，0))，P(D)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0，\f(1,2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，0,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1，－\f(1,2)))，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(1,2)))，由(1)知平面APC的一个法向量n1＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，设平面BPA的法向量为n2＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)x＋y－\f(1,2)z＝0，,\f(\r(3),2)x－\f(1,2)z＝0，))令x＝1，则y＝z＝eq\r(3)，得一个法向量n2＝(1，