湖北省武汉市洪山区南片区2023-2024学年上学期12月月考八年级数学试卷

湖北省武汉市洪山区南片区教联体2023-2024学年八年级（上）

月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案,

其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑.

1.（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对

称图形的是（）

A匚IB1Fc提,升

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（3〃2）3=9〃6Bn.3a•—3a—a

C.（。2）3=〃5D.〃2・〃3=〃5

3.（3分）一个多边形的每个外角都等于72。，则这个多边形的边数为（）

A.5B.6C.7D.8

4.（3分）等式-（）,括号内应填上的项为（）

A.b+cB.b-cC.-b+cD.-b-c

5.（3分）下列因式分解结果正确的是（）

A.-/+4x=-x(x2-4)

B.x2-4)/=(x+4y)(x-4y)

C.--2x-1—~x(x+2)-1

D.x2-5x+6=(x-2)(x-3)

6.（3分）已知〃正整数，若一个三角形的三边长分别是2、8、3小则满足条件的〃的值

有（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

7.（3分）如图，将一副三角板的斜边A3重合，点石是A3的中点，连接CE,DE,已知

CE=2,则AD的长是（）

c

A.3B.2.5C.2D.1.5

8.（3分）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分NAB。、ZACB,BG、CG分别平分三

角形的两个外角NE8C、/FCB,则NO和NG的数量关系为（）

A.ND=^/GB.ZD+ZG=180°

c-ZD-^ZG=90°d-ZD=90°得/G

9.（3分）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZCAB^36°,以C为原点，AC所在

直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△AM8

为等腰三角形，符合条件的M点有（）

10.（3分）如图，在△048和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB^ZCOD

=40°,连接AC,8。交于点Af,连接。M.下列结论：®AC=BD；②/AM8=40°；

③0M平分/30C；④MB平分N480.其中正确的个数为（）

o

,B

A.4B.3C.2D.1

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，

请将结论直接填写在答题卷的指定位置.

11.（3分）若点A的坐标为（1,-2）,则点A关于无轴的对称点A'的坐标

是.

12.（3分）计算：（-2产22xg）2023=.

13.（3分）若多项式/+优_什16是一个完全平方式，则机=.

14.（3分）一个等腰三角形的三边长分别为12,6,0+2,则这个等腰三角形的周长

为.

15.（3分）一个等边三角形，一个直角三角形，一个等腰三角形按如图方式摆放，其中/

16.（3分）如图，边长为2的等边三角形4BC,点C在x轴上，42〃无轴.尸为x轴上一

点，0为直线8c上一点，满足NAPQ=60°,则AP+。。的最小值是

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字

说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17.（8分）计算:

(1)(6x2-2r)+2无;

⑵4-a（3a-6）+（a+1）2,

o

18.（8分）因式分解：

（1）a2-9b2；

（2）2cr-4ab+2b2.

19.（8分）如图，已知E、C是线段BF上两点，满足8E=CF,A,。为线段上方两点，

连接A3,AC,DE,DF,满足AC=DF.

（1）求证：△AB8ADEF；

（2）若五边形ABEDG的面积为10,△GEC的面积为4,请直接写出四边形。GCF的面

积：.

20.（8分）如图，在△ABC中，BE平分/ABC,CE平分NAC2.

（1）若NA=90°,求/BEC的度数；

（2）过点E作BC的平行线与A3、AC分别相交于点。、F,若△ABC与△A。尸的周长

分别为24和15,求BC的长.

21.（8分）如图，网格中每个小正方形的顶点叫格点，点A,B,C都在格点处，请仅用

无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹.

（1）过点B作AC的平行线BD-,

（2）先画△ABC的高AE,再将AE平移到CR使点A与点C重合；

（3）作点B关于AC的对称点8.

t--------1—।--------1—r-n—i--------1—i--------1

22.（10分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧

数”，两个正整数为它的“智慧分解”.

例如，因为16=52-32,所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解.那么

究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和

小颖展开了如下探究.

小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22-I2,5=32-22,7=42-32,9=52-

42,•••

小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：

设两个数分别为什1,k,其中左21,且左为整数.

贝IJ（左+1）2-法=（k+l+k）（KI-k）=2k+l.

（1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧数，并请直接写出11

的智慧分解：；

（2）继续探究，他们发现8=32-i，12=42-22,所以8和12均是智慧数，由此，他

们猜想：4k（k^2,且左为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想；

（3）根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解.

23.（10分）如图1,点尸是△ABC内一点，PA^PB=PC,ZBPC=150°,则NA4c

=°（直接写出结果）；

如图2,尸是△ABC外一点，满足E4=P3=PC,ZACB=45°,求/APB的度数；

如图3,尸是△ABC内一点，PB=PC,ZBPC=60°,ZBAC=30°,求证：PA^PB.

图2图3

24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0,a）,点B（6,0）,ZBAC=90°,

AB=AC,a2-6a+9+\a+nb\=0.

(1)当〃=-2时，若直接写出A、8的坐标;

（2）如图2,〃是x轴上一点，连接AM（AM与线段8c相交），分别过点8、C作AM

的垂线，垂足分别为点。、E,请证明：AD=CE-,

（3）如图3,在（2）的条件下,当〃<0时，取点A关于BC的对称点G,连接EG,判断

EG与CD的关系并证

明.

图1图2图3

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，

其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑.

1.（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对

称图形的是（）

A合B作C提,升

【解答】解：B,C,D选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，所以是轴对称图形.

故选：A.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（3a2）3=9a6B.aijrai=a

C.（a2）3—a5D.a^'a3—a5

【解答】解：：（3a2）3=275,

...选项A不符合题意；

・cr—a=l,

；•选项8不符合题意；

,?（a2）3=/,

・•・选项。不符合题意；

〃2・〃3=〃5,

・•・选项。符合题意，

故选：D.

3.(3分)一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为()

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：多边形的边数是：360+72=5.

故选：A.

4.(3分)等式4-匕+c="-(),括号内应填上的项为()

A.b+cB.b-cC.-b+cD.-b-c

【解答】解：根据填括号的法则可知，

原式=4-(Z?-(?)

故选：B.

5.(3分)下列因式分解结果正确的是()

A.-/4=-x(x2-4)

B.x2-4/=(x+4y)(x-4y)

C.--2x-1--x(x+2)-1

D.x2-5x+6=(x-2)(x-3)

【解答】解：A.-X3+4X=-x(x2-4)=-x(x+2)(x-2),故A不符合题意；

B.7-4/=(X+2y)(x-2y),故3不符合题意；

C.-x1-2x-1=-(X+l)2,故C不符合题意；

D./-5x+6=(x-2)(x-3),故。符合题意；

故选：D.

6.(3分)已知〃正整数，若一个三角形的三边长分别是2、8、3n,则满足条件的〃的值

有()

A.1个B.2个C.3个D.0个

【解答】解：・・•三角形的三边长分别是2、8、3n,

.,.8-2<3n<8+2,

A6<3n<10,

：.2<n<^-,

3

满足条件的〃的值是3,有1个.

故选：A.

7.（3分）如图，将一副三角板的斜边AB重合，点E是AB的中点，连接CE,DE,已知

CE=2,则的长是（）

A.3B.2.5C.2D.1.5

【解答】解：：点E是AB的中点，ZACB=90°,CE=2,

：.CE是直角AABC斜边A8上的中线，

；.AE=CE=2.

,：AADB=90°,OE是直角△A3。斜边AB上的中线，

：.AE^ED^2.

又：/EW=60°,

...△AE。是等边三角形.

：.AD=AE=2.

故选：C.

8.（3分）如图，在△ABC中，BD.CQ分别平分N4BC、ZACB,BG、CG分别平分三

角形的两个外角/班C、ZFCB,则/。和NG的数量关系为（）

B.ZD+ZG=180°

c-ND卷NG=90°d-ZD=90°+1ZG

【解答】解：方法一：•：BD、CD分别平分/ABC、ZACB,

•■•ZDBC=yZABC>ZDCB=yZACB-

.•.//)=180°-CZDBC+ZDCB)

=180°-y(ZABC+ZACB)

=180°-y(180°-NA)=90°+yZA-

,:BG、CG分别平分三角形的两个外角/EBC、ZFCB,

•■•ZGBC=yZEBC-ZGCB=yZFCB)

.\ZG=180°-(NGBC+/GCB)

=180。-y(ZEBC+ZFCB)

=180°-y(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-y(2ZA+1800-/A)

=180°-y(180°+ZA)

=90°-yZA>

•'•ZD+ZG=90°+yZA+90°-^-ZA=180°-

方法二：,:BD、CD分别平分/ABC、ZACB,

•■•ZDBC=yZABC-ZDCB=yZACB-

；BG、CG分别平分三角形的两个外角NEBC、ZFCB,

•'-ZGBC=yZEBC-ZGCB=yZFCB-

ZDBG=ZDBC+ZGBC=j-(ZABC+ZEBC)=90°，

同理可得：NOCG=90°,

在四边形DBGC中，根据内角和为360°,

.•.ZD+ZG=18O°.

故选：B.

9.（3分）如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZCAB=36°,以C为原点，AC所在

直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使

为等腰三角形，符合条件的M点有（）

【解答】解：（1）当AB是底边时，作的垂直平分线分别与AC,x轴负半轴相交，

共两个交点，都符合条件；

（2）当A3是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，尤

轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；

②以点B为圆心长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个

交点，都符合条件，

因此共有8个符合条件的点.

故选：D.

10.（3分）如图，在△048和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=ZCOD

=40°,连接AC,BD交于点M,连接0M.下列结论：®AC=BD；②/AMB=40°；

③。Af平分NBOC；④MB平分NAB。.其中正确的个数为（）

C.2D.1

【解答】解：•••/AOBn/COOndO。，

ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

即ZAOC^ZBOD,

在△AOC和中，

'OA=OB

'ZAOC=ZBOD>

OC=OD

AAAOC^ABOD(SAS),

：.ZOCA=ZODB,AC=BD,ZOAC=ZOBD,

故①正确，符合题意；

由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,

：.ZAMB^ZAOB=40°,

故②正确，符合题意；

作。G_LMC于G,OHLMB于H,如图所示,

则NOGC=NOHO=90°,

在△OCG和△0。8中，

，ZOGC=ZOHD=90°

<ZOCG=ZODH，

,OC=OD

:.AOCG沿AODH(A4S),

0G=0H,

平分/BMC,

ZAOB^ZCOD,

.•.当■时，0M才平分/BOC,

假设ZAOM,

,：ZAOB=ZCOD,

：.ZC0M=ZB0M,

：MO平分/BMC,

：.ZCMO=ZBMO,

在△COM和△BOM■中，

，ZCOM=ZBOM

'ZCMO=ZBMO>

OM=OM

；.LCOM咨LBOM(ASA),

：.OB=OC,

'JOA^OB,

：.OA=OC,

与OA>OC矛盾，

，③错误；

:没有条件可以证明M2平分NAB。，

④错误；

正确的个数有2个；

故选：C.

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，

请将结论直接填写在答题卷的指定位置.

11.（3分）若点A的坐标为（1,-2）,则点A关于无轴的对称点A'的坐标是（1,

2）.

【解答】解：•••点A的坐标为（1,-2）,

点A关于无轴的对称点的坐标为（1,2）,

故答案为：（1,2）.

12.（3分）计算：（-2产22xg严23=_.

【解答】解：原式=22°22义（1）2022Xl

22

=（2XA）2022XA

22

=1义工

2

故答案为：1.

2

13.（3分）若多项式尤2+mx+16是一个完全平方式，则m=±8.

【解答】解：=

mx=±2X4Xx,

解得加=±8.

故答案为：士8.

14.（3分）一个等腰三角形的三边长分别为12,6,〃+2,则这个等腰三角形的周长为

30.

【解答】解：①当〃+2=12时，

•・"+2=12,

等腰三角形的周长=12+12+6=30,

②当a+2—6时,

:两边之和需大于第三边，6+6=12,

此种情况不能构成三角形,

故答案为：30.

15.（3分）一个等边三角形，一个直角三角形，一个等腰三角形按如图方式摆放，其中/

.,.Zl+Z2=360°-Z3-Z4-Z5=360°-75°-60°-90°=135°.

16.（3分）如图，边长为2的等边三角形A8C,点C在x轴上，48〃尤轴.尸为x轴上一

满足NAPQ=60°,则AP+。。的最小值是3.

【解答】解：过P作PM_LAC,PNLBC,过。作OK_L3C,交AC延长线于R,过R作

R//_Lx轴.

y

:等边△ABC,

:./B=/ACB=NBCH=60°,

无轴，

AZACO=60°,

,：ZOCQ=ZBCH=60°,

ZACO=ZOCQ,

利用角平分线上的点到角两边的距离相等得：PM=PN,

VZAPQ+ZACQ=60°+60°+60°=180°,

利用四边形内角和为360°得：ZPAM+ZPQC=180°,

ZPQC+ZPQN=ISO°,

：.ZPAM=ZPQN,

在△NVf和△PQN中，

"ZPAM=ZPQN

<ZAMP=ZPNQ-

PM=PN

：.^\PAM^/\PQN(A4S),

C.PA^PQ,

：.^APQ为等边△,

：.AP=AQ,

在△OCK和△RCK中，

，ZOCK=ZRCK=60°

<CK=CK，

Z0KC=ZRKC=90°

:.△OCKQARCK(ASA),

OK=KR,

：.OC=CR,OQ=QR,

VZOAC=30°,

利用直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半，得：。。=工4。=1,

2

：.CR=\,

"：AQ+QR^AR,

：.AQ+QR^AC+CR,

即AP+OQ23,

：.AP+OQ的最小值为3.

故答案为：3.

三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字

说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17.(8分)计算：

(1)(6x2-2x)-r2x；

⑵(3a-6)+(a+1)2,

o

【解答】解：(1)(6?-2x)4-2x

=(6/+2x)-(2x+2x)

=3x-1.

⑵---a(3a-6)+(a+1)2

=a~-2a+/+2a+l

=2a2+l.

18.(8分)因式分解：

(1)a2-9b2；

(2)2a2-4ab+2b2.

【解答】解：(1)/一泌2=Q+36)(a-3b)；

(2)2a2-4ab+2b2

=2(a2-lab+tr)

=2(a-b)2.

19.(8分)如图，已知E、C是线段8尸上两点，满足BE=CF，A,。为线段上方两点，

连接A3,AC,DE,DF,满足AC=DF.

(1)求证：△ABC-DEF；

(2)若五边形ABFDG的面积为10,△GEC的面积为4,请直接写出四边形。GCF的面

积：3

【解答】（1）证明：,:BE=CF,

：.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

在△ABC和△OEF中，

'AB=DE

<AC=DF-

BC=EF

:.△ABgADEFCSSS）；

（2）解：YAABC乌△DEF,

••S/\ABC=SADEF,

五边形ABFDGW[Ei=S^ABC+S^DEF-S^GEC—10,S&GEC=4,

SADEF=1，

四边形DGCF的面积=S4DEF-S&GEC=3,

故答案为：3.

20.（8分）如图，在△ABC中，BE平分/ABC,CE平分/ACB.

（1）若NA=90°,求/8EC的度数；

（2）过点E作BC的平行线与AB.AC分别相交于点。、F,若△A8C与△A。尸的周长

分别为24和15,求BC的长.

AZABC+ZACB^90°,

平分/ABC,CE平分/ACB,

ZEBC=l-ABC,ZACB^JLACB,

22

:./EBC+NECB=ZCZABC+ZACB)=45

2

.•.ZBEC=180°-45°=135°；

(2)：BE平分NABC,

：.ZDBE=ZDEB,

,:DF〃BC,

：.ZDBE=ZCBE,

:./DBE=NDEB,

：.BD=ED,

同理EF=FC,

•.•△48(7与44。6的周长分别为24和15,

AABC^AB+AC+BC^AD+BD+AF+CF+BC,

AADFWJIHs:=AD+AF+DE=AD+DE+AF+CF,

：.BC=/\ABC的周长-△AOB的周长=24-15=9.

21.（8分）如图，网格中每个小正方形的顶点叫格点，点A,B,C都在格点处，请仅用

无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹.

（1）过点B作AC的平行线BD-,

（2）先画△ABC的高AE,再将AE平移到CR使点A与点C重合；

（3）作点B关于AC的对称点B'.

【解答】解：（1）如图所示，直线3。即为所求；

（2）取格点K连接AK交BC于点E,则线段AE即为所求；过点。作BC的平行线与

过点C作AE的平行线相交于点F,则线段CF即为所求；

（3）延长BC到G使CG=3G,取格点H连接G8并延长交三角形A3C边AC上的高

线于点8,则点9即为所求.

22.（10分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧

数”，两个正整数为它的“智慧分解”.

例如，因为16=52-32,所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解.那么

究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和

小颖展开了如下探究.

小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22-i,5=32-22,7=42-32,9=5?-

42,•••

小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：

设两个数分别为k+1,k,其中左21,且左为整数.

贝IJ（左+1）2-必=（k+1+k）（左+1-左）=2左+1.

（1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有都奇数是智慧数，并请直接写出11

的智慧分解：5,6；

(2)继续探究，他们发现8=32-C,12=42-22,所以8和12均是智慧数，由此，他

们猜想：4k且左为整数)均为智慧数，请证明他们的猜想；

(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解.

【解答】(1)解：：(％+1)2-话=(4+1+Z)(k+1-k)=2k+l(k^l,且左为整数)，

智慧数是除1外所有的奇数，

(5+1)2-5~—62-52—(6+5)(6-5)=11,

故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6；

(2)证明：设殍力,且人为整数，

V8=32-12=(2+1)2-(2-1)2=(2+1+2-1)(2+1-2+1),12=42-22=(3+1)

2-(3-1)2=(3+1+3-1)(3+1-3+1),

(左+1)2-(左-1)2=(k+1+k-1)(Hl-A-+1)=4k,

,除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.

：.4k(左22且人为整数)均为智慧数；

(3)解：据探究得，智慧数是奇数时左21,且左为整数，智慧数是4的倍数时，上22

且左为整数，

...正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，

(2023-1)4-3=674,

4X(674+1)=2700,

.•.第2023个智慧数是2700,

V2700能被4整除，

.\2700=6762-6742=(676+674)(676-674).

23.(10分)如图1,点尸是△ABC内一点，PA=PB=PC,ZBPC=150°,贝!J/8AC=

75°(直接写出结果)；

如图2,P是△ABC外一点，满足ZACB=45°,求/AP8的度数；

如图3,尸是△ABC内一点，PB=PC,/BPC=60°,NBAC=30°,求证：PA^PB.

图2图3

150°，

：.ZPBC+ZPCB=1SO°-NBPC=30°,

VZBAC+ZABC+ZACB=180°,

：.ZB4B+ZPBA+ZB4C+ZPCA+300=180°,

'：PA=PB=PC,

:・NPAB=/PBA,ZPAC=ZPCA,

.\2ZB4B+2ZB4C+30°=180°,

・・・NB45+NB4C=75°,

ZBAC=ZPAB+ZPAC=75°,

故答案为：75.

(2)解：9：PA=PB=PC,

：.ZPAB=ZPBA,ZPAC=ZPCA,/PBC=/PCB,

设NB4C=NPC4=a,ZP