初一数学下册期末压轴题试题及答案(九)

一、解答题

1.在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P,Q,若存在点M,使得AMPQ的面积等

于1,即SAMPQ=1,则称点M为线段PQ的"单位面积点”，解答下列问题：

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(1,0).

(1)在点A(1,2),8(-1,1),C(-1,-2),。(2,-4)中，线段OP的“单位

面积点”是;

(2)已知点E(0,3),F(0,4),将线段OP沿y轴向上平移t(t>0)个单位长度，

使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围.

(3)已知点Q(1,-2),H(0,-1),点/W,N是线段PQ的两个"单位面积点”，点

/W在HQ的延长线上，若SAHMMN&SAPQM,求出点N纵坐标的取值范围.

60)2=0,求/BEM的度数；

(2)如图②，在(1)的条件下，射线DF平分NCOE,且交线段BE的延长线于点F；请

写出NOEF与NCDF之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，当点P在射线N7■上运动时，NDCP与NB/W7"的平分线交于点Q,则NQ与

NCPM的比值为(直接写出答案).

图①图②图③

3.阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：

已知：如图甲，AB//CD,E为AB,C。之间一点，连接BE,DE,得到NBED.

求证：ZBED=NB+ZD.

（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点E作曰7/AB,

则有NBEF=.

ABIICD,

：._〃—,

ZFED=—.

/.ZBED=ZBEF+NFEO=NB+ZD.

（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线a//b,点4B在直线a上，点C,D在直线b上，连接AD,BC,BE平分

ZABC,DE平分NADC,且BE,DE所在的直线交于点E.

①如图1,当点B在点A的左侧时，若NABC=60。，NADC=70。，求NBED的度数；

②如图2,当点B在点A的右侧时，设N4BC=a,ZADC=6,请你求出NBE。的度数

（用含有a,6的式子表示）.

4.已知，如图1,射线PE分别与直线AB,CD相交于E、F两点，NPFD的平分线与直线

AB相交于点M,射线PM交CD于点M设NPF/W=a。，4EMF=6°,且（40-2a）2+\6

-201=0

（1）a=,6=；直线与CO的位置关系是；

（2）如图2,若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且NMGH=NPNF,试找出NFMN

与NGHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3）,分别与AB、C。相交于

点Ml和点N1时，作NPM1B的角平分线/W1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中

萋%的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

5.如图1,MN11PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间.

(1)求证：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如图2,CDIIAB,点E在PQ上，ZECN=NCAB,求证：ZMCA=NDCE；

(3)如图3,BF平分NABP,CG平分NACN,AFWCG.若NCAB=60。，求NAFB的度数.

(1)求证：AB//CD；

(2)如图(2),点E在AB,CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接

PE、EQ,PF平分NBPE,QF平分NEQD,则NPEQ和NPFQ之间有什么数量关系，请直接

写出你的结论；

(3)如图(3),在(2)的条件下，过P点作PH〃EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平

分NEPH,NQPF：NEQF=1:5,求NPHQ的度数.

7.先阅读然后解答提出的问题：

设a、b是有理数，且满足a+06=3-20,求胪的值.

解：由题意得(“-3)+(匕+2)&=0,

因为a、b都是有理数，所以a-3,b+2也是有理数，

由于血是无理数，所以a-3=0,b+2=0,

所以a=3,b=-2,所以6"=(-2)3=-8.

问题：设x、y都是有理数，且满足尤2-2y+返y=10+3行，求x+y的值.

8.阅读下面的文字，解答问题.

对于实数a,我们规定：用符号⑷表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去回所得的

差.

例如：［若］=1,［2.2］=2,{石}=右-1,{2.2}=2.2-2=0.2.

(1)仿照以上方法计算：［r］={5-77}=;

(2)若［&］=：!,写出所有满足题意的整数x的值：.

(3)已知yo是一个不大于280的非负数，且满足{、/7o}=O.我们规定：=丫2=

［匹］，，3=［42］，…，以此类推，直到加第一次等于1时停止计算.当yo是符合条件的

所有数中的最大数时，此时如=，n=.

9.阅读材料;求值：1+2+2?+23+2,+…+22。',

解答：i5S=l+2+22+23+24+...+22017)①

将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+...+22018,②

将②一①得：S=22018-l,HPS=l+2+2?+23+24+...+22017=22018-l.

请你类比此方法计算：

(1)1+2+22+23+24+...+220.

(2)1+3+32+33+34+…+3"(其中n为正整数)

2a-b(a>b)

10.对于有理数。、b,定义了一种新运算"※"为：a-^b(a<b)

2

如：5M=2x5—3=7,1X3=1——x3=-l.

3

（1）计算：①2※（-1）=；②（T）※（-3）=；

（2）若3※m=-l+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x=2,求的值；

（3）若4=_%3+4彳2_了+1,B=-xi+6x2-x+2,且4派8=-3,求2丁+2尤的值.

U.小学的时候我们已经学过分数的加减法法则："同分母分数相加减，分母不变，分子相

加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减.”如：

3____23-211

=百=m7,反之,这个式子仍然成立，

2~32^3~2^3即:

113-23211

62x32x32x32x323

（1）问题发现

观察下列等式:

①Ai=l2x-211x221x121」

2

②£=3-23211

2x32x32x323

③-43-x434311

3x42x334,.

猜想并写出第〃个式子的结果:（直接写出结果，不说明理由）

n(ji+1)

（2）类比探究

将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得:

111一1—」

----1-----1----

1x22x33x4一22334

类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果:

①—1

H-------------二

Jx22x33x42019x2020-----

1111

(2)-----1------1------FH--------=.

<1x22x33x4

（3）拓展延伸

计算：----1----4-----F••H-------.

1x33x55x799x101

12.如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个

面积为2的大正方形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.

（1）图2中A、B两点表示的数分别为，：

-4-3-24Toi8234

图2

（2）请你参照上面的方法：

①把图3中5x1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形.在图3中画出裁剪线，并在图

4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长。=.（注：小正方

形边长都为1,拼接不重叠也无空隙）

②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及a-3.（图

中标出必要线段的长）

-4~-3-2-16~123~4~*

13.如图，在长方形0RC中，。为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为0）,点C的

坐标为（0/）且“、，满足J^+|6-12|=0,点8在第一象限内，点尸从原点出发，以每

秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动.

备用图

（1）点8的坐标为；当点尸移动5秒时，点P的坐标为

（2）在移动过程中，当点尸到X轴的距离为4个单位长度时，求点尸移动的时间；

（3）在O-C-3的线路移动过程中，是否存在点尸使的面积是20,若存在直接写

出点尸移动的时间；若不存在，请说明理由.

14.如图1,已知直线CDIIEF,点A,B分别在直线C。与EF上.P为两平行线间一点.

（1）若NOAP=40°,NFBP=70°,则NAPB=

（2）猜想NOAP,ZFBP,NAPB之间有什么关系？并说明理由；

（3）利用（2）的结论解答：

①如图2,APuBPi分别平分NOAP,ZFBP,请你写出NP与NPi的数量关系，并说明理

由；

②如图3,APz,BP2分别平分NCAP,ZEBP,若NAP8=B，求NAP2B.（用含B的代数式

表示）

15.问题情境：

在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（xi,yi）和点B（x2,丫2），小明在学习中发

现，若X1=X2,贝!jABIIy轴，且线段A8的长度为|yi-力|;若yi=）/2,贝！jABIIx轴，且线

段AB的长度为|xi-X2|；

（应用）：

（1）若点4（-1,1）、B（2,1）,则ABIIx轴，AB的长度为.

（2）若点C（l,0）,且CDIIy轴，且8=2,则点。的坐标为.

（拓展）：

我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（X!,V!）,N（X2,y2）之间的折线距

离为d（M,A/）=|xi-X2|+|yi-y2|;例如：图1中，点M（-1,1）与点N（1,-2）

(1)如图1,己知E(2,0),若F(-1,-2),则d(£,F)；

(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t=.

(3)如图3,己知P(3,3)，点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3,则d(P,Q)

16.阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作［司.

例如，[3.2]=3,[5]=5,[―21]=-3,那么，x=[x]+a,其中OWa<l.

例如，3.2=[3.2]+0.2,5=[5]+0,-2.1=[-2.1]+0.9.

请你解决下列问题：

(1)[4.8]=,[-6.5]=；

(2)如果卜]=5,那么x的取值范围是；

(3)如果[5x-2]=3x+l,那么x的值是；

(4)如果x=[x]+a,其中0<a<l,且4a=[x]+l,求x的值.

17.(了解概念)

在平面直角坐标系xQy中，若P(a,b),Q(c,d),式子的值就叫做线段PQ的"勾

股距”，记作4>°=|a-d+M-d.同时，我们把两边的"勾股距”之和等于第三边的"勾股距"

的三角形叫做”等距三角形

(理解运用)

在平面直角坐标系xOy中，4(2,3),3(4,2),C(m,n).

(1)线段。1的“勾股距"d”=；

(2)若点C在第三象限，且BcuZd.,求4c并判断ABC是否为"等距三角形"；

(拓展提升)

(3)若点C在x轴上，AOBC是"等距三角形"，请直接写出小的取值范围.

18.在平面直角坐标系中，点3(6,3)满足关系式(0+1)2+|6-2|=0.

(1)求“，6的值；

(2)若点尸(3,〃)满足&WP的面积等于6,求〃的值；

(3)线段A3与y轴交于点c,动点E从点c出发，在y轴上以每秒1个单位长度的速度

向下运动，动点F从点M(-8,0)出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，问/为何值时

有S~ABE=2SVAKF，请直接写出f的值.

19.先阅读下面材料，再完成任务：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的

值，如以下问题：

已知实数了,>满足3x—y=5,......①，2x+3y=7,......②，求x-4，和7x+5y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得七y的值再代入欲求值的代数式得到

答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题

还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①一②可得了-分=-2,由①+②x2可

得7元+5y=19,这样的解题思想就是通常所说的"整体思想"

解决问题：

(1)已知二元一次方程组?一]贝1Jx—y=______，*+y=______；

[2元-3y=-3

(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39

支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需

多少元？

(3)对于实数x,y,定义新运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数，等式右边

是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

20.已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆

B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A型车a

辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆A型车和I辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

(2)请你帮该物流公司设计租车方案；

⑶若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车

方案，并求出最少租车费.

21.如图，已知/a和皿勺度数满足方程组?=23°,且CD//EF,AC，AE.

Zp-Za=80

⑴分别求Na和4的度数；

(2)请判断与CD的位置关系，并说明理由；

⑶求”的度数.

22.为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民"一户一

表"生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：

自来水销售价格

每户每月用水量单位：元/吨

15吨及以下a

超过15吨但不超过25吨的部分b

超过25吨的部分5

（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费元；（用。，b的代数式表示）

（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费

70元，求。，6的值.

（3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量.

（4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月

份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说："水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上

调了整数角钱（没超过1元），其他都没变.”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符

合条件的所有可能情况.

23.平面直角坐标系中，A（a,0）,B（0,b）,a,b满足

（2a+b+5）2+y/a+2b-2=0,将线段AB平移得到CD,A,B的对应点分别为C,D,其中

点C在y轴负半轴上.

（2）如图1,连/W交BC于点E,若点E在y轴正半轴上，求B三F-渭OF的值；

（3）如图2,点F,G分别在C。，BD的延长线上，连结FG,NBAC的角平分线与NDFG

的角平分线交于点从求NG与之间的数量关系.

24.在平面直角坐标系中，点4、8在坐标轴上，其中A（0,a）、8仅,0）满足

（2）将线段平移到C。，点A的对应点为C（-2,。，如图1所示，若三角形A3C的面

积为9,求点。的坐标；

(3)平移线段AB到。，若点C、。也在坐标轴上，如图2所示.尸为线段AB上的一

动点(不与A、5重合)，连接。尸、PE平%ZOPB,ZBCE=2/ECD.求证：

NBCD=3(NCEP-ZOPE).

25.学校组织270名同学和7名教师参加校外学习交流活动现打算选租大、小两种客车，

大客车载客量为45人/辆，小客车载客量为30人/辆

(1)学校准备租用7辆客车，有几种租车方案？

(2)在(1)的条件下，若大客车租金为400元/辆，小客车租金为300元/辆，哪种租车方

案最省钱？

(3)学校临时增加10名学生和4名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客

车至少有1名教师带队.同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有

20人，请你帮助设计租车方案

26.某数码专营店销售A,B两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：

AB

进价(元/

33003700

部)

售价(元/

38004300

部)

(1)该店销售记录显示，三月份销售A、B两种手机共34部，且销售A种手机的利润恰

好是销售B种手机利润的2倍，求该店三月份售出A种手机和B种手机各多少部？

(2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共40部，要求购进B种手机数不低

于A种手机数的：，用于购买这两种手机的资金低于140000元，请通过计算设计所有可

能的进货方案.

27.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b).如果存在点N(d,b，)，满足d=|a

+b\,b'=\a-b\,则称点N为点M的"控变点".

(1)点A(-1,2)的“控变点"B的坐标为；

(2)已知点C(m,-1)的“控变点”。的坐标为(4,"),求m,n的值；

(3)长方形EFG”的顶点坐标分别为(1,1),(5,1),(5,4),(1,4).如果点

P(x,-2x)的"控变点"Q在长方形EFGH的内部，直接写出x的取值范围.

yA

5

4

3

2

1

J~――1~•—>

12345x

28.小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方

体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）.如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做

成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的"接口"用来折叠后粘贴或封

至nn.•

（1）若小语用长40cm,宽34cm的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒

高是盒底边长的2.5倍，三处"接口”的宽度相等.则该茶叶盒的容积是多少？

（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一

个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装

后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程

中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？

29.某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B

每吨1000元.由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储

存.经市场调查获得以下信息：

①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁

路全程150千米；

②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；

③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；

④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费

220元.

（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？

（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务.加工厂为

了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，

哪种方案运输总花费较少？请说明理由.

30.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知A（4,o）,将线段OA平移至CB,点。在X轴正

半轴上，C（a,b）,且-3|=0.连接OC,AB,CD,BD.

（1）写出点C的坐标为_；点8的坐标为_；

（2）当△ODC的面积是的面积的3倍时，求点。的坐标；

（3）设NOCD=a,ZDBA=0,ZBDC=0,判断a、B、9之间的数量关系，并说明理

由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1.（1）A,C；（2）l<r<2^5<r<6；（3）见解析

【分析】

（1）分别根据三角形的面积计算△0%,ADPB,ADPC,△OP。的面积即可；

（2）分线段OP在线段EF下方和线段0P在线段EF上方分别求解；

（3）画出图形，根据SAPQN=L得到SAHMNN正，分当XN=0时，当加=2时，分别结合

SAHMN26,得到不等式，求出N点纵坐标的范围.

【详解】

解：（1）SAO%=；X1X1=1,则点A是线段OP的"单位面积点”，

SAOPB=1X1X1=1,则点8不是线段0P的"单位面积点”，

SA0PC=|xlx2=l,则点C是线段OP的"单位面积点”，

5AOPD=1X1X4=2,则点D不是线段OP的“单位面积点”，

2

（2）设点G是线段0P的“单位面积点”，则SAOPG=L

1.点E的坐标为（0,3），点F的坐标为（0,4）,且点G在线段EF上,

点G的横坐标为0,

S^OPG=1,线段。P为y轴向上平移t（t>0）个单位长度，

当E为单位面积点时，13Tl=2,

「./=1/=5,

当尸为单位面积点时，|4t|=2,

t=2,t=6,

综上所述：14仁2或54仁6；

（3）M,N是线段PQ的两个单位面积点，

=

SAPQM=1fPQN1f

P(1,0),Q(1,-2),

PQ=2,

M,/V的横坐标为。或2,

点M在HQ的延长线上，

点M的横坐标为XM=2,

SAHMNN^2PQN，

SRHMNNV2，

当X/v=0时，$△HMN=万x2xHN=HN,

则|，

-1-或NNN-1+；

当XN=2时，S&HMN=：X2XMN=MN,

则1%-应，

••明4-3-或NN之-3+.

【点睛】

本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位

面积点的轨迹进行求解.

2.(1)30°；(2)ZDEF+2ZCDF=150°,理由见解析；(3)；

【分析】

(1)由非负性可求a,B的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

(2)过点E作直线EHWAB,由角平分线的性质和平行线的性质可求NDEF=180。-300-

2x°=150°-2x°,由角的数量可求解；

(3)由平行线的性质和外角性质可求NPMB=2NQ+NPC。，NCPM=2ZQ,即可求解.

【详解】

解：(1)•••V«-30+(P-60)2=0,

a=30,B=60,

•/ABWCD,

：，ZAMN=4MND=60°,

,/ZAMN=NB+NBEM=60°,

：.ZBEM=60°-30°=30°；

(2)ZDEF+2NCDF=150°.

理由如下：过点E作直线

图2

OF平分NCDE,

：.设NCDF=ZEDF=x°；

■：EHWAB,

：.ZDEH=ZEDC=2x°,

：.ZDEF=180°-30°-2x°=150°-2x°；

/.ZDEF=1500-2ZCDF,

即NDEF+2NCDF=150°；

（3）如图3,设MQ与CD交于点E,

■，-MQ平分NBMT,QC平分NDCP,

：.ZBMT=2NPMQ,ZDCP=2ZDCQ,

•/ABWCD,

/.ZBME=NMEC,ZBMP=NPND,

,/ZMEC=NQ+ZDCQ,

/.2ZMEC=2NQ+2ZDCQ,

/.ZPMB=2NQ+ZPCD,

,/ZPND=NPCD+NCPM=ZPMB,

/.ZCPM=2NQ,

:.NQ与NCP/M的比值为《，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键.

3.（1）ZB,EF,CD,NO；⑵①65。；②180°-

【分析】

（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图1,过点E作EFIIAB,当点B在点八的左侧时，根据N4BC=60。，AADC=

70。，参考小亮思考问题的方法即可求NBED的度数；

②如图2,过点E作EFIIAB,当点B在点A的右侧时，NABC=a,NADC=B，参考小亮

思考问题的方法即可求出NBED的度数.

【详解】

解：（1）过点£作£尸1148,

则有NBEF=ZB,

ABWCD,

：.EFWCD,

/.ZFED=ND,

：.ZBED=NBEF+NFED=NB+ND；

故答案为：NB；EF；CD；ND；

（2）①如图）,过点E作EFII4B,有NBEF=NEBA.

图1

,/ABWCD,

/.EFWCD.

：.ZFED=NEDC.

：.ZBEF+NFED=ZEBA+ZEDC.

即NBED=NEBA+NEDC,

BE平分NABC,DE平分NADC,

：.ZEBA=^ABC=30°,ZEDC=gN4DC=35。，

/.ZBED=NEBA+NEDC=65°.

答：NBED的度数为65。；

②如图2,过点E作EFWAB,有NBEF+NEBA=180°.

：.ZBEF=1800-NEBA,

,：ABWCD,

EFWCD.

/.ZFED=NEDC.

：.ZBEF+NFED=1800-ZEBA+NEDC.

即NBED=18Q°-ZEBA+NEDC,

,/BE平分NABC,DE平分NADC,

11i1A

ZEBA——Z.ABC——a,zEDC——ZADC——13,

~2-2

11c

ZBED=180°-ZEBA+AEDC=180°--a+-j3

22

答：NBED的度数为180。-

22

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

ZFPN

4.(1)20,20,AB//CD；(2)ZFMN+ZGHF=180°；(3)丁「的值不变,

NFPN12

ze

【分析】

⑴根据(40-24+16一201=0,即可计算a和力的值,再根据内错角相等可证4?〃CD；

(2)先根据内错角相等证GH//PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

NFMN+NGHF=18。。；

(3)作的平分线交M©的延长线于R,先根据同位角相等证ER〃歹。，得

ZFQMt=ZR,设/PER=NREB=x,ZPMtR=ZRMtB=y,得出NE?M=2NR,即可

得3=2

【详解】

2

解：(1)(4O-2a)+|)0-2O|=O,

「.40—2a=0,，-20=0,

:.a=°=20,

ZPFM=ZMFN=20°,ZEMF=20°,

:.ZEMF=ZMFN,

：.AB//CD；

故答案为：20、20,AB//CD；

（2）NFMN+NGHF=180。；

理由：由（1）得AB//CD,

:.ZMNF=APME,

ZMGH=ZMNF,

:.ZPME=ZMGH,

..GH//PN,

.\ZGHM=ZFMN,

,ZGHF+ZGHM=180°,

/./FMN+/GHF=180°；

/FPN-—ZFPN,c

（3）/Q的值不变,/0=2；

理由：如图3中，作N尸近明的平分线交的延长线于R,

AB//CD.

/.ZPEM,=ZPFN,

/PER=；/PEM],ZPFQ=^ZPFN,

.\ZPER=ZPFQ,

图3

/.ZFQM{=NR,

设NPER=NREB=x,/PM】R=/RM1B=y,

[y=x+ZR

?

则有：[2y=2x+ZEPMl

可得NEPM]=2ZR,

/."PM】=2ZFQM,,

.NEPMJ2

"ZFQM,■

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

5.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120。.

【分析】

（1）过点A作4011MN,根据两直线平行，内错角相等得到NMCA=NDAC,ZPBA=

NDAB,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）由两直线平行，同旁内角互补得到二、ZCAB+ZACD=180°,由邻补角定义得到

NECM+NECN=180°,再等量代换即可得解；

（3）由平行线的性质得到，ZMB=1200-ZGCA,再由角平分线的定义及平行线的性质

得到NGCA-ZABF=60°,最后根据三角形的内角和是180。即可求解.

【详解】

解：（1）证明：如图1,过点4作人。11乂/\/,

ADWMNWPQ,

:.NMCA=NDAC,NPBA=NDAB,

：.ZCAB=ZDAC+Z.DAB=NMCA+Z.PBA,

即：ZCZ\B=ZMCA+APBA-,

(2)如图2,rCDIIAB,

：.ZCAB+NACD=180",

ZECM+NECW=180°,

ZECN=NCAB

：.ZECM=NACD,

即NMCA+NACE=NDCE+NACE,

：.ZMCA=ADCE；

(3)AFWCG,

：.ZGCA+NE4C=180°,

•••ZCAB=60°

即NGCA+NCAB+AE4B=180°,

ZMB=180°-60°-ZGCA=120°-ZGCA,

由(1)可知，ZCAB=AMCA+AABP,

-：BF平分NABP,CG平分NACN,

ZACN=2AGCA,NABP=2NABF,

又ZMCA=1800-ZACN,

：.ZCAB=180°-2ZGCA+2NABF=60°,

：.ZGCA-ZABF=60",

,,,ZAFB+NABF+N£48=180",

/.ZAFB=1800-NFAB-ZFBA

=180°-(120°-ZGCA)-ZABF

=180°-120°+ZGCA-ZABF

=120。.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关

键.

6.(1)见解析；(2)NPEQ+2NPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得AB〃CO；

(2)如图2中，NPEQ+2NPFQ=360。.作EH〃/理由平行线的性质即可证明；

(3)如图3中，设NQPF=y,NPHQ=x.NEPQ=z,则NEQF=NFQH=5y,想办法构建

方程即可解决问题；

【详解】

(1)如图1中，

Z2=Z3,Z1=Z2,

/.Z1=Z3,

AB//CD.

(2)结论：如图2中，NPEQ+2NPFQ=360°.

理由：作EH"AB.

-：AB//CD,EH//AB,

：.EH//CD,

Z1=Z2,Z3=Z4,

/.Z2+Z3=N1+Z4,

/.ZPEQ=N1+Z4,

同法可证：ZPFQ=NBPF+NFQD,

,/ZBPE=24BPF,NEQD=2NFQD,Z1+ZBPE=180°,Z4+NEQD=180°,

/.Z1+Z4+ZEQD+NBPE=2xl80°,

即NPEQ+2(NFQD+NBPF)=360°,

/.ZPEQ+2NPFQ=360°.

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.NEPQ=z,则NEQF=NFQH=5y,

vEQJ/PH,

：.ZEQC=NPHQ=x,

/.x+10y=180°,

,/AB//CD,

：.ZBPH=NPHQ=x,

••・PF平分NBPE,

：.ZEPQ+NFPQ=NFPH+NBPH,

/.ZFPH=y+z-x,

/PQ平分NEPH,

/.Z=y+y+z-x,

••x=2y,

12y=180°,

「♦y=15°,

/.x=30°,

/.ZPHQ=30°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识.（2）中能正确作出辅助线是解

题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键.

7.7或-1.

【分析】

根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值.

【详解】

解：/_2y+6y=10+36，

(厂—2y—10)+=0,

X2-2J-10=0,回-3指=0

x=±4,y=3

当x=4时，x+y=4+3=7

当x=-4时，x+y=-4+3=-l

x+y的值是7或-1.

【点睛】

本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行

解答.

8.(1)2；3-g；(2)1、2、3；(3)256,4

【分析】

(1)依照定义进行计算即可；

(2)由题可知，0<x<4,则可得满足题意的整数的x的值为1、2、3；

(3)由｛仄｝=0,可知，%是某个整数的平方，又先是符合条件的所有数中最大的数，

则%=256,再依次进行计算.

【详解】

解：(1)由定义可得，诉]=2,[5-e]=2,

.-.｛5-77)=3-77.

故答案为：2；3-77.

(2)诉=1,

[4x]<2,即0<x<4,

二整数x的值为1、2、3.

故答案为：1、2、3.

(3)诉｝=0,即｛屈=匹-[屈=0,

二可设仄=产，且二是自然数，

%是符合条件的所有数中的最大数，

%=256,

y[=[7)?]=[16]=16,

y2=[历]=[4]=4,

%=而=[2]=2,

”=[屈=诋=1，

即〃=4.

故答案为：256,4.

【点睛】

本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解

定义内容是解题关键.

9.(1)221-1;(2)|(3n+1-l).

【解析】

【分析】

⑴设S=l+2+22+23+24+...+22。，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即

可求出所求式子的值；

(2)同理即可得到所求式子的值.

【详解】

解：⑴设S=l+2+22+23+24+...+22°,

将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+25...+221,

将下式减去上式得：2S-S=221-1,即S=2"l,

则1+2+2?+23+2"+...+22°=221-1；

⑵设S=1+3+3?+33+34+...+3"①，

两边同时乘3得：3s=3+3?+33+3，+…+3”+3田②，

②一①得：3S-S=3n+1-1,即5=

则1+3+32+33+3%..+311=：(311+-).

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题

目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题.

10.(1)①5；②一2;(2)1；(3)16.

【分析】

⑴根据题中定义代入即可得出；

⑵根据x=2,讨论3和m的两种大小关系，进行计算；

⑶先判定A、B的大小关系，再进行求解.

【详解】

(1)根据题意：；2>-1,

2※㈠)=2x2-(T)=5,

V-4<-3,

2

(-4)※(-3)=_4_§x(_3)=_4+2=_2.

(2),/x=2,

3※机=—l+3x2=5,

①若3>加，

贝!J2x3-加=5,解得加=1,

②若3<加，

2

则3-根=5,解得m=-3(不符合题意)，

/.m=l.

A<B,

22

^B=A——B=

3

得/+工一8=0,

2丁+2%=2x8=16.

【点睛】

本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键.

11.⑴,—⑵①2019n,、50

@——；3—.

nn+\2020n+1101

【分析】

（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；

（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值;

②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；

（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值.

【详解】

解：（1）由题目中的式子可得,

111

〃(几+1)nn+1

故答案为：-------

nn+1

1111

(2)①----++-----++------------

1X2---2x33x42019x2020

11111111

=1---1------------1------------1-------------

2233420192020

=1-/

2019

—2020'

2019

故答案为:

2020

②,+——1+——1+1

H---------------

^1x22x33x4

11111

=U1-—I------------F...H--------

2+2334nn+1

=1———

n+1

n

n+1

故答案为：公

---------1-----------1-----------F■,H---------------

1x33x55x799x101

2101

50

【点睛】

本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式

子的变化特点，求出所求式子的值.

12.（1）-近，&；（2）①图见解析，6；②见解析

【分析】

（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数

（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；

（3）从原点开始画一个长是2,高是1的长方形，对角线长即是。，再用圆规以这个长度

画弧，交数轴于点M,再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N.

【详解】

（1）由图1知，小正方形的对角线长是

...图2中点A表示的数是一夜，点B表示的数是血，

故答案是：-后，夜；

（2）①长方形的面积是5,拼成的正方形的面积也应该是5,

•••正方形的边长是有，

如图所示：

图3图4

故答案是：舟

②如图所示：

-4-3-2TN012M34