历年高考数学（理）知识清单 平面向量（考点解读）（原卷+解析版）

平面向量

考情解读

高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各

种题型均有可能出现.

预测高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决

问题的能力.

重点知识梳理

1.向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)零向量的模为0,方向是任意的，记作0.

(3)长度等于I的向量叫单位向量.

(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量.零向量和任一向量平行.

2.共线向量定理

向量以存0)与B共线，当且仅当存在唯一一个实数九使6=2°.

3.平面向量基本定理

如果以、ez是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数力、

丸2,使。=4+%ze2.

4.两向量的夹角

已知两个非零向量。和在平面上任取一点。，作="，=b,则乙4。8=。(0。£比180。)叫作“与分的

夹角.

5.向量的坐标表示及运算

(1)设。=(»,yi),》=(尤2,yi),则

a±b=(xi±X2,yi±”)，ka=(2xi，Xyi).

(2)若A(xi,yi),3(x2,丁2),则=(X2—xi,”一yi).

6.平面向量共线的坐标表示

已知〃=(»,yi),b=(X2,”)，

1

当且仅当xiyi~X2yi=0时，向量a与b共线.

7.平面向量的数量积

设。为a与b的夹角.

(1)定义：ab=\a\\b\cos3.

(2)投影："=|a|cos。叫做向量。在〃方向上的投影.

W

8.数量积的性质

(1)Q_LDQ〃0=O；

(2)当。与方同向时,ab=\a\-\b\；当。与力反向时，ab=—\a\-\b\；特别地，。・。=|砰；

(3)|a创W|aH臼;

sb

(4)cos^=而

9.数量积的坐标表示、模、夹角

已知非零向量。=Q,yi),b=(x2,yi)

(1)〃•力=xiX2+yiy2；

(2)lal=遥+才

(3)a_Lb^^xiX2~\~yiy2—0；

(4)cos。

AM+_V?Jd+I

【误区警示】

1.两向量夹角的范围是［。，汨，＞0与(«,b)为锐角不等价；a-b〈Q与＜«,b)为钝角不等价.

2.点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别.

3.。在》方向上的投影为她，而不是妙.

I*M

4.若a与都是非零向量，则%=0Qa与方共线，若。与万不共线，则痴+〃方=0=2=〃=0.

身频者点突破

高频考点一平面向量的概念及运算

例1.12017课标1,理13】已知向量a,。的夹角为60。，同=2,依=1,则|a+2b|=

【变式探究】已知向量。=(机,4),6=(3,—2),且a〃方，则帆=.

【变式探究】(1)已知点A(0,l),8(3,2),向量=(—4,-3),则向量=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

2

c.(-1,4)D.(1,4)

【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结

合几何法、代数法(坐标)求解.

(2)设D,E,尸分别为AABC的三边8C,CA,A8的中点，则+=()

A.B.

C.D.,

2

高频考点二平面向量数量积的计算与应用

例2.【2019年高考全国n卷理数】已知=(2,3),=(3,。，=1,则.=

A.—3B.—2

C.2D.3

【举一反三】(2018年全国I卷理数)设抛物线C：y2=4尤的焦点为凡过点(一2,0)且斜率为~的直线

3

与C交于N两点，则M=

A.5B.6C.7D.8

11A/1|(VJ11

【变式探究】已知向量2},=12'则/ABC=()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

【变式探究】(1)向量a=(l,—1),Z»=(-l,2),则(2a+»y=()

A.-1B.0

C.1D.2

【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐

标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向

量较简单.

(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则-=.

高频考点三平面向量的综合应用

例3、【2019年高考浙江卷】已知正方形A3CD的边长为1,当每个儿(，=1,2,3,4,5,6)取遍士1时，

\A'AB+A2BC+A3CD+AjjA+A5AC+人茄|的最小值是;最大值是.

3

【举一反三】(2018年江苏卷)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，E：0),

以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D.若京-CD=0，则点A的横坐标为.

【变式探究】【2017江苏，16】已知向量a=(cosx,sinx),》=(3,—3),xE[0R.

(1)若。〃6,求尤的值；

(2)记大x)=a.6,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

真题感悟

1.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a,b满足|Q1=2|Z>I,且(a—小)」b,则a与》的夹角

2.【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3),=(3,t),=1,则二

A.-3B.-2

C.2D.3

3.【2019年高考北京卷理数】设点A,B,C不共线，贝与的夹角为锐角”是“|A，,+|”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.【2019年高考全国III卷理数】已知°,方为单位向量，且°仍=0,若c=2a—贝！]

cos\a,c')=.

5.(2019年高考天津卷理数】在四边形A3CD中，AD//BCAB=2-八AD=5经A=30。，

点E在线段C3的延长线上，且AE=3E,则BD.AE=.

6.【2019年高考浙江卷】已知正方形A3CD的边长为1,当每个4a=1,2,3,4,5,6)取遍土1时，

\A'AB+AJ3C+/\3CZ)+A'DA+/\5AC+人访|的最小值是；最大值是.

1.(2018年浙江卷)已知〃，b,e是平面向量，。是单位向量.若非零向量〃与e的夹角为\向量力

满足炉-4右。+3=0,则|。-加的最小值是

4

A.V5TB.<5+1C.2D.2-<5

2.（2018年天津卷）如图，在平面四边形ABC。中，，,,;iE

若点E为边CD上的动点，则,近・配的最小值为

3.（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点（一2,0）且斜率为~的直线与C交于

3

M,N两点，则FFN=

A.5B.6C.7D.8

4.（2018年全国I卷理数）在4中，Al）为B边上的中线，E为/的中点，贝I」

3-1.1-31

A.ARACB.ABAC

4444

3-1.1一3一

C.AB、：\<'D.AB'：y'

4444

5.（2018年全国H卷理数）已知向量,1满足,,则

A.4B.3C.2D.0

6.（2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，B（5,0）,以A3

为直径的圆。与直线/交于另一点。.若Ab-cb=o,则点A的横坐标为.

7.（2018年全国ni卷理数）已知向量，,.若，贝以

1.【2017课标3,理12］在矩形A3CQ中，AB=lfAD=2,动点尸在以点。为圆心且与3。相切的圆上.

若A记入AR+pAn,则人+|J的最大值为

L3B.2-J2U石D2

2.【2017北京，理6】设私〃为非零向量，贝存在负数人使得机=*〃”是“机.〃<0”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

3.【2017课标n,理12］已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则万1.（，+：）

5

的最小是()

34

A.-2B.——C.-—D.—1

23

4.【2017课标1,理13］已知向量a,b的夹角为60。，⑷=2,依=1,则|a+26|=.

5.［2017天津，理13］在AABC中，NA=600,AB=3,AC=2.若BD=2DC,

Al=-Aw(/\ER),且A1.A.=-4,贝”的值为.

6.［2017山东，理12］已知4,e,是互相垂直的单位向量，若—g与q+及，的夹角为60.，则实数/

的值是.

7.12017浙江，15】已知向量a,b满用a|=1,|对=2,则|a+b+(^~b的最小值是|,最大值

是.

8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形A8CD,ABLBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交

于点。，记/产以方%,I^OBOC,I3=OCOD,则

A.A<4B.A<z?<4c./3<A<4D.k<h<h

9【2017江苏，12】如图在同一个平面内，向量仁二(J7.二7的模分别为11；。;与7T：的夹角为。

且tanC=7,OB与OC的夹角为45。.若OC=mOA+nOB(m,几ER),贝ljm+〃=▲.

10.12017江苏，16]已知向量〃=(cos%,sinx)J=(3,—./p,xE[0,7d

(1)若。〃。，求x的值;

6

(2)记Ax)=〃.b，求/(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

1.12016高考新课标2理数】已知向量。=(1,m)，3=(3,—2),且(,；+/,)」g,则机=()

(A)-8(B)-6(C)6(D)8

2.【2016高考江苏卷】如图，在AA5C中，。是BC的中点，及厂是上的两个三等分点,

■■■■————————

BC.CA=4,BF.CF=—l,则BE.CE的值是▲.

3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A,B,C,。满足

=陋卜冈;DA'.DB^DB：DC^DC.DA^-2,动点P,M满足祠=1，万j=寸，则|方间一的最

大值是()

(A)翌(B)y(C)21^1(D)37+2加

4444

4.【2016高考江苏卷】如图，在AA5c中，。是的中点，E,厂是A,。上的两个三等分点，

■■■■■■■■■■——■■■

5c.e4=4,BF.CF=—1,贝IJ3E.CE的值是▲.

7

平面向量

考情解读

高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各

种题型均有可能出现.

预测高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决

问题的能力.

重点知识梳理

1.向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)零向量的模为0,方向是任意的，记作0.

(3)长度等于I的向量叫单位向量.

(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量.零向量和任一向量平行.

2.共线向量定理

向量以存0)与B共线，当且仅当存在唯一一个实数九使6=2°.

3.平面向量基本定理

如果ei、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数力、

丸2,使。=4+%ze2.

4.两向量的夹角

已知两个非零向量。和方，在平面上任取一点。，作A=a,O^B=b,则/4。8=。(0。£比180。)叫作a

与b的夹角.

5.向量的坐标表示及运算

(1)设a=(xi,yi),分=(无2,y2),则

a±b=(尤i±%2,yi±y2)，Xa=(Zxi，Ayi).

(2)若A(xi,yi),B(X2,>2),贝!JA3=(X2—九i,yi—yi).

6.平面向量共线的坐标表示

8

已知〃=(X1,yi),方=(冗2,>2),

当且仅当xiy2-X2yi=0时，向量。与b共线.

7.平面向量的数量积

设。为。与b的夹角.

(1)定义：a-b=\a\\b\cos3.

(2)投影：仪=|a|cos。叫做向量。在方方向上的投影.

1*1

8.数量积的性质

(l)a_Lb=ab=0；

(2)当。与方同向时，a-b=\a\-\b\；当。与力反向时，〃•力=一⑷•阴；特别地，aa=|砰;

(3)\a-b\<\a\­\b\；

(4)cos<9=a.

同团

9.数量积的坐标表示、模、夹角

已知非零向量a=(»,yi),b=(X2^yi)

(V)ab=xixi+yiy2；

(2)向=&-T；

(3)aJ_b^^xixi—0；

/八n为必+力通

(4)cos8=।-----------------.

vri+nvii+n

【误区警示】

1.两向量夹角的范围是[0,兀"Q0>0与〈〃，b)为锐角不等价；a仍<0与〈a,b)为钝角不等价.

2.点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别.

3.。在〜方向上的投影为她，而不是好.

网Id

4.若。与力都是非零向量，贝！Ma+〃力=0=a与力共线，若〃与方不共线，贝!UQ+〃力=0Ud=〃二0.

高频考点突攻

高频考点一平面向量的概念及运算

例1.【2017课标1,理13】已知向量a,6的夹角为60°,同=2,|臼=1,贝!]|。+26|=

【答案】2A

9

【解析】利用如下图形，可以判断出,；+2A的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,

|〃+2%FF+4a.b+41&|2=4+4x2x1xcos60°+4=12

所以匕+2胪而=28

【变式探究】已知向量Q=(根,4),〃=(3,—2),且Q〃方，则机=.

解析：基本法：,:aIIb、.*.a-Xb

即(加,4)=2(3,-2)=(32,-22)

|m=32,

•■-4=-22,故根=—6.

速解法：根据向量平行的坐标运算求解：

,.•。=(租,4),b=(3,—2),a//b

mx(—2)—4x3=0

~2m—12=0,m——6.

答案：一6

【变式探究】(1)已知点4(0,1),8(3,2),向量A-C=(-4,—3),则向量8^6=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：基本法：设C(x,y),则C=(x,y—1)=(—4,—3),

\x=—4,

所以b=_2,从而8一。=(一4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.

速解法：VA->B=(3,2)-(0,l)=(3,l),

B^C=A^C~A^B=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

答案：A

【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结

10

合几何法、代数法(坐标)求解.

(2)设D,E,F分别为△ABC的三边8C,CA,AB的中点，贝!jL8+LC=()

AADB-At)

2

CBCD.-fit

-2

IiC7-I|

倾：基和4-：砌f=a,则LB=—%+a,F^C^-'a+b,从而片B+产C=2」+-2-

=-(a+b)=A^D,故选A.

产qfc

基本法二：如图，E^B+F^C=ET，CJrC^B+F^B+B^C=E^C+F^B=^(A^C+A^B)

=-2AD=AD.

2

答案：A

高频考点二平面向量数量积的计算与应用

例2.【2019年高考全国H超数】已知4%T2,3),ATC=(3,t),B^C=1,

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

购晰】^C=A^C—A^B=(1,t-3),[B(1=Jl2+("3)2=1,得f=3，则3=(1,0)七2.故

选C.

2

【举一反三】(2018年全国I卷理数)设抛物线C>2=4%的焦点为尸，过点(-2,0)且斜率为;的直线

与C交于M,N两点，贝卜二

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

11

【解析】根据题意，过点(-2,0)且斜率为:的直线方程为y=：x，2)，与抛物线方程联立，

(y2"4x

消元整理得：/_6y+8=0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以FM=(0,2),N=(3,4),从而可以求得

IM*N=0x3+2x4=8,故选D

ri_\5|11

【变式探究】已知向量22,，3To【22,贝！J/A3C=()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

解析：基本法：根据向量的夹角公式求解.

4t212臼=1,『0=1,8-48飞+,+^^=坐

一一成BC

.*.cosZABC—cos〈BA,BO==.

\BA\-\Bq2

P

V0P<(B^A,尸。<180^,：.ZABC=(B^AfB^O=30.

速解法：如…为原…

ZABx=60°i

答案：A

【变式探究】⑴向量a=(1,-1),0=(T,2),则(2a+»,a=()

A.-1B.0

C.1D.2

解析：基本法：因为2a+》=2(l,-l)+(-l,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2。+本)•a=(l,0)・(L

-1)=1X1+0x(—1)=1.故选c.

速解法：Va=(1,—1),b=(—1,2),Aa2=2,a-b=—3,

从而(2a+》)・a=2a2+a-b=4—3=1.故选C.

答案：C

12

【举一反三】当向量以几何图形的形式（有向线段）出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐

标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向

量较简单.

⑵已知正方形A8CD的边长为2,E为CD的中点，则4一45-。=

解析：基本法：以A-B、A—Q为基底表示A一斫口8后直接计算数量积.

A^E=A^D+-A^B,B^D=A^D-A^B,

|A^D+-A^B|

：.A^EB^D=^240-0—A%

=以一坪—犷麻=22_：x22=2.

速解法：（坐标法）先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解.

如图，以A为坐标原点，A8所在的直线为x轴，A£＞所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0,0）,

8(2,0),0(0,2),£(1,2),

.•.A%=(12)，一级

；.「E『D=1x（-2）+2x2=2

答案：2

高频考点三平面向量的综合应用

例3、【2019年高考浙江卷】已知正方形A3CD的边长为1,当每个4a=1,2,3,4,5,6）取遍士1时，

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

\\AB+A2BC+A3CD+A4DA+4AC+45。I的最小值是;最大值是.

【答案】。；2K

【解析】以ABAD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

13

Z>(O,D-----------------C(l,l)

--------------------------------------------►

,4(0,0)3(1,0)x

则君三(l,0),BC=(0,l),d5-=(―l,0),DA=(0,-1),AC'=(1,1),BD=(—1,1),

令

—-

y=|/,A+A2BC+/3iJ+/\4D1+A5AC+/\6.1=+/5/6)+(4一人+4+人之0.

又因为儿(，=1,2,3,4,5,6)可取遍土1,

所以当a=4=4=人="=M2=-1时，有最小值为n=0.

因为(4一人+人)和(人一人+人)的取值不相关，4=1或4="I,

所以当(4f+4)和(4一4+人)分别取得最大值时，y有最大值，

所以当4=4=人=4=i/3=4=t时，有最大值小„=斤一，=6=2j(

故答案为o；2n

【举一反三】(2018年江苏卷)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，二：。)，

以A3为直径的圆C与直线/交于另一点£).若而-而二。，则点A的横坐标为.

【答案】3

【解析】设A(a,2a)(a>0),则由圆心C为AB中点得C(上±a).易得OC:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0,与联

2

_a+5

立解得点。的横坐标XD=1.所以D(1,2).所以Ab=(5,a.2a),CD=(l\,2a),

由心-CD=0^T(5-aX*~~~)+("2aX2-'a)"O.a"2a3=O.a=3或，

因为，所以

【变式探究】【2017江苏，16】已知向量〃=(cosx,sinx)J=(3,—6)—30,兀］,

14

（1）若a〃b,求x的值;

（2）记/（x）="1,求大乃的最大值和最小值以及对应的x的值.

【答案】（1）X=3.（2）X=0时，/G）取得最大值，为3；x=2时，/G）取得最小值，为一2匕

【解析】

解：(1)因为a=(cosx,siru),6=(3,—jj),a〃b,

所以一；Qcosx=3sinx.

若cosx=0,则sinx=0,与sin2%+cos2x=1矛盾，故cosx子0.

于是tanx='

3

又xe。,』所以户”.

⑵/Cr)=a.b-(cosxsinx).\3—.7/二-3cosx-"sinx=2-"cos(|(

9，UJ

x7x

因为xe[o,7i],所以x+一，一，

一66一

oos(|(x+：＜l、i.

于是，当x+：=三，即x=0时，/G）取到最大值3；

当X+即％=皂时，/（X）取到最小值一2行.

箕题感信

1.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量“，力满足|“|二2仍|,且（“一份」b,则“与力的夹角

为

7171

A.B.-

63

2兀5兀

CD——

3.6

【答案】B

【解析】因为（“一份」b,所以（“一力）力二“力一加二o,所以“2二严，所以

15

a.b|&|217i

cos6==万寸E=不，所以。与。的夹角为a，故选B.

2.【2019年高考全国n卷理数】已知/「居(2,3),A^C=(3,t),则

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

【解析】由(1,t-3)后八|=*+(r—3)2=1,得/=3，则)T=(1,0),「的一七2.故

选C.

3.【2019年高考北京卷理数】设点A,B,C不共线，则“与A^C的夹角为锐角”是，：|>|B

的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

■———————————————————————

【解析】X又与万的夹角为锐角，所以|AB|2+|AC|2+2AB.AC>\ABi1+|AC|2—2AB.AC,

即

■■■■■■■■■■■■■————————————-―

\AB+AC\l>\AC-AB|2,因为AC-AB=BC，所以+AC|>|8C|；

■■■■——■■■■■■■■■■

当L42+Aa>IBd成立时,IAfi+AC\2>\AB-AC\2AB'-AC>0,又因为点A,B,C不共线，所

以X:与〒的夹角为锐角.故“1片与〒的夹角为锐角”是“11七+77'1>13一「'的充分必要条件，故选C.

4.【2019年高考全国HI卷理数】已知明)为单位向量，且°力=0,若c=2a一不力，贝U

cos!a,c\=.

【答案】j

【解析】因为c=,a.b=0,

所以a.c=2解一；国力=2,

22

IeI=4|a|7"'、a.A+5|bF=9,所以lcl=3,

16

/、a.c_2_2

所以cos〈a，c)=而=.=不

5.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD中，AD//BCAB=2-RAD=5Z杳1=30°,

点E在线段C3的延长线上，且AE=BE,则5,，，.A，=

【答案】-1

【解析】建立如图所示的直角坐标系，ZDAB^30°,AB=2V3,AD=5,则3(2/0)，0(5'$

因为AD〃3C,经班£>=300,所以经4BE=300,

因为AE-BE,所以经BAE=300,

所以直线BE的斜率为g,其方程为＞=F&-2.用)，

直线AE的斜率为―父，其方程为丫=一组「

33

y=—(X-2-x/s),

由k

得x=«，y=-1，

I道

『二一3、

所以—

所以8h=(y-,1).(JI,-D="I-

6.【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1,当每个人(，=1,2,3,4,5,6)取遍土1.时,

+48：+人。|+4。1+儿61|的最小值是；最大值是.

【答案】0；2n

17

【解析】以AB,A。分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

。(0.D

,4(00)3(10)

则拔=(1,0),沅=(0,1),CD=(-1,0),714=(0,-1),AC=(1,1),而=(-1,1),

令

y=|/\]Ali+A-,B+A3C1)+A4D1+/5Af+/6Ri=(/\j-/3+/5-/6)"+(人-人+人+人)~>0.

又因为4a=1,2,3,4,5,6)可取遍士,1

所以当A=A3=A4=A5=A6=I,A=T时，有最小值Win=o.

因为(/\「人+人)和优/+4)的取值不相关，*6=1或*6=-1-

所以当“一人+人)和(4“4+4)分别取得最大值时，y有最大值，

所以当4=4=4=4=1,4=4=t时，有最大值%=TFTF=向=2求.

故答案为0；2；尺.

1.(2018年浙江卷)已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为'，向量》

3

满足庐-4eS+3=0,则的最小值是

A.、展1B.#+1C.2D.2-\5

【答案】A

【解析】设a=(xy),e=(1,0),b=(m,n),则由(a»=：得「e=Ia|•|e|cos；,x=；与.二y=土/x，

由b2-48b；=0>m2+n2-4m+：

因此|a-H的最小值为圆心到直线的距离型=吊咸去半径1,为选A.

2.(2018年天津卷)如图，在平面四边形A8CD中，,,

18

若点E为边。上的动点，则通・曲的最小值为

【答案】A

点E在CD上，则C0=.W1),设E(X.Y),则:

整理可得：疝,^4Z：-2X+2X（）Z1）.

4

结合二次函数的性质可知，当入=一时，，近•能取得最小值”.

416

19

本题选择A选项.

3.(2018年全国I卷理数)设抛物线C：y2=4x的焦点为凡过点(-2,0)且斜率为尹直线与C交于

M,N两点，贝叶=

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

2

【解析】根据题意，过点(-2,0)且斜率为2的直线方程为y=%x+2)，与抛物线方程联立=+,

33(V2-4x

消元整理得：0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以FM=(0,2),N=(3,4),从而可以求得

FM,N=0x3+2x4=8,故选D

4.(2018年全国I卷理数)在^;中，为BC边上的中线，为的中点，则

3-1-1-3-

A.ABA1B.\BA1

4444

3-1-1-3-

C.AB•?\<'D.AIJ1A('

4444

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

二I・JI・1・•1-1-I-3-I-

2222124444

-3-1-

所以EB=ABAC，故选A.

44

5.(2018年全国H卷理数)已知向量，「满足,,贝!I

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析］因为a•(2a—6)=Z^-a,b=2a产一(-1)=2+1=3.

所以选B.

6.(2018年江苏卷)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，B(5,0),以A3

20

为直径的圆C与直线/交于另一点D.若Ab-cb=O，则点A的横坐标为.

【答案】3

a+5

【解析】设A(a,2a)(a>0),则由圆心C为AB中点得C(——,a),易得。C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0，与联

2

立解得点。的横坐标所以,2).所以疝=(5a,2a),CD=(l*',2a),

a+5,

由A・CD=0得(5ax1+(-2aX2-a)=O.a12a3=0,a=3或,

因为，所以

7.(2018年全国in卷理数)已知向量，bU1),.若，则入-

【答案】।

一

【解析】由题可得2&+5=(4.2)

,•♦25«b).c(I.X)

A4X-2-OJPX!

故答案为-

2

1.【2017课标3,理12］在矩形ABC。中，AB=\,AD=2,动点尸在以点C为圆心且与5D相切的圆上.

若A击入Ait+MAn,则入+|J的最大值为

%.3/2万5斤D.2

【答案】A

【解析】如图.所示，建立平面直角坐标系

设A（0,l）,3（0,0）,D（2,l）,P（x,y）

2即圆的方程是(x-2)2+/=1

根据等面积公式可得圆的半径是

21

AP-(x,y-l),Afl=(0,-1),A/)=(2,0),若满=小豆+一

Ix—2〃xxxx

即(/J=A=1-y,所以4+〃=-y+1,设2=。-丁+1,即0-y+l-z=0,

[y--A2222

点p(x,y)在圆(x-2)2+y2=±上，所以圆心到直线的距离d<r,即

J5解得1<2<3,

所以z的最大值是3,即R+〃的最大值是3,故选Ao

2.12017北京，理6】设加，〃为非零向量，则“存在负数人使得m=4〃”是“7"<0”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件