2024届陕西省宝鸡市金台区高二数学第一学期期末统考试题含解析

2024届陕西省宝鸡市金台区高二数学第一学期期末统考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集。=R,集合A={x|x-1>0},B={x|0<x<2},则(”)B()

A.{x|0<%<1}B.{x|%<2}

C.{x|%<1}D.{x11<%<2}

2.人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很

多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1,1,2,3,5,8,…为

边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90。的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契

螺旋线.下图为该螺旋线在正方形边长为1,1,2,3,5,8的部分，如图建立平面直角坐标系(规定小方格的边长为

1),则接下来的一段圆弧所在圆的方程为()

A.x2+y2=144B.(x-l)2+(y-2)2=144

C.(x+4)2+(y-2)2=169D.(x-4)2+(y+2)2=169

3.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是平行四边形，已知PA=q,PB=b，PC=c，PE=gpD,则BE=

()

A

B

A」—

B.—a—b+—c

222222

1.31

C.—ClH—bH—cD.—a——b+—c

222222

s

4.设等比数列｛4｝的前〃项和为%且%=4%,则*=（）

916

A.—B.—

1017

178

C.—D.—

1617

7T

5.已知椭圆和双曲线有共同焦点耳,工，P是它们一个交点，且/月也=耳，记椭圆和双曲线的离心率分别为

1

则----的最大值为

e\e2

A.3B.2

「4G

v».---------------

3

6.如图，在棱长为1的正方体A3CD-A3]G2中，点5到直线AG的距离为（）

JT

7.命题“若«=一，则tana=l”的逆否命题是

4

冗兀

A.若a#—，则tan（xrlB.若a=—，贝!|tanaRl

44

冗JI

C.若tana^l,贝！Ja#一D.若tana^l,贝!!a=一

44

8.已知抛物线y?=2px（p〉0）的焦点为歹，过F作斜率为2的直线/与抛物线交于A,B两点,若弦AB的中点到

抛物线准线的距离为3,则抛物线的方程为。

C.y2=12xD.y1=6x

9.命题“七0£尺，%；+2%o+l<O”的否定形式是（）

22

ANxeR,x+2x+l>0B.3x0G7?,x0+2x0+1>0

C.3xe,x2+2x+l>0D.Vxe/?,x2+2x+l<0

2

10.设。为实数，则曲线C：X2-_J=1不可能是（）

1-tz2

A.抛物线B.双曲线

C.圆D.椭圆

22

11.已知点A,B在椭圆工+3=1（。〉人〉0）上，河与A关于原点对称，ZMAB=90，MB交丁轴于点Q,。为

ab

坐标原点，OM-OQ=2OQ1'则椭圆离心率为（）

A1B企

A.・U・--------

22

C.BD至

23

22

12.已知椭圆。：=+•=15〉6〉0）的左、右焦点分别为£,工，。为》轴上一点，△。6耳为正三角形，若。片，

ab~

。心的中点恰好在椭圆。上，则椭圆。的离心率是（）

A.73-1B.2-73

C.72-1D.2-亚

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.莱昂哈德•欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线.后

来人们称这条直线为该三角形的欧拉线.已知ABC的三个顶点坐标分别是（-L0）,（3,0）,（0,2）,则ABC的垂

心坐标为,的欧拉线方程为

14.已知。为坐标原点，A（xi，%）,3（%，%）（%%<°）是抛物线V=4x上的两点，且满足53湍=12，贝!1

%%=;若0M垂直A5于点M,且IMQI为定值，则点。的坐标为.

15.已知S“是数列｛4｝的前"项和，且％=1,5„=2%+i,则a3=；数列｛«„｝的通项公式an=

16.已知长轴长为2a,短轴长为2》的椭圆的面积为水力.现用随机模拟的方法来估计》的近似值，先用计算机产生〃

个数对(4%)，i=1,2,3,“，其中玉，X均为。2］内的随机数，再由计算机统计发现其中满足条件

的数对有m个，由此可估计乃的近似值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等差数列｛%｝公差不为0,。2=5且卬,%，小成等比数列.

(1)求数列｛%,｝的通项公式及其前”项和S“；

⑵记2=詈十，求数列也｝的前“项和小

18.(12分)在一ABC中，内角A,5c的对边分别是a,"c,且4+方2一C2=加

(1)求角C的大小

(2)若TcsinA+〃sinC=O,且a=l,求ABC的面积

19.(12分)已知命题P：xe［0,2］；命题q:m<x<2〃z+3.

(1)若P是g的充分条件，求m的取值范围；

(2)当加=1时，已知。人4是假命题，Pvq是真命题，求x的取值范围.

X2V21

20.(12分)设椭圆C：-^-+^-=1(a>/?>0)的离心率为e=—,椭圆C上一点P到左右两个焦点月、居的距

a2b22

离之和是4.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过工的直线与椭圆。交于A、B两点,且两点与左右顶点不重合，若可"=KA+,求四边形

面积的最大值.

21.(12分)在等比数列｛4｝中，3岛3是4与%的等比中项，3q与的的等差中项为6

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设么=始+logs、,求数列也｝前〃项和Sn

22.(10分)已知圆C:X?+y+2x-4y+1=0

(1)求圆心C的坐标和圆的面积；

(2)若直线/：x+y—3=。与圆C相交于A,3两点，求弦长|AB|

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】先求低力，然后求他A)B.

【题目详解】A={x|x-l>O}={x|x>l},

(^A)={x|x<l},(^A)nB={x|O<x<l}.

故选：A

2、C

【解题分析】由题意可知图中每90。的圆弧半径符合斐波那契数1,1,2,3,5,8,从而可求出下一段圆弧的半

径为13,由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程

【题目详解】解：由题意可知图中每90。的圆弧半径符合斐波那契数1,1,2,3,5,8,…，从而可求出下一段圆弧

的半径为13,

由题意可知下一段圆弧过点(9,2),

因为每一段圆弧的圆心角都为90°,

所以下一段圆弧所在圆的圆心与点(9,2)的连线平行于x轴，

因为下一段圆弧半径为13,

所以所求圆的圆心为(7,2),

所以所求圆的方程为(X+4)2+(y—2)2=169,

故选:C

3、A

【解题分析】利用空间向量加法法则直接求解

【题目详解】连接3,如图，

故选：A

4、C

【解题分析】根据给定条件求出等比数列｛4｝公比q的关系，再利用前“项和公式计算得解.

【题目详解】设等比数列｛%｝的的公比为会由%=4%o得：%=4%^,解得

%(1-产)

所以'=J1=]+.=1+(+=—,

S6一(1Y)”'416

i-q

故选:c

5、D

【解题分析】设椭圆长半轴长为«i,双曲线的半实轴长ai,焦距2c.根据椭圆及双曲线的定义可以用曲，“2表示出IPSI，

13,

\PF2\,在△尸IP尸2中根据余弦定理可得到二+二=4,利用基本不等式可得结论

eie2

【题目详解】如图，设椭圆的长半轴长为双曲线的半实轴长为。2,则根据椭圆及双曲线的定义：|PH|+|PB|=2〃1,

|PFi|-\PF2\=2a29A\PF\\=a\+ai9\PFi\=a\-ai,

JI

设I尸也2|=2C,ZF1PFI=—,贝！I：在△尸凡适中，由余弦定理得，

71

4c2—(ai+a2)2+(«i-02)2-2(ai+02)(ai-02)cos一

3

13,

.•.化简得：«I2+3«22=4C2,该式可变成：—+—=4,

13,

e©3

故选。

【题目点拨】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等

式求最值问题，属于中档题

6、A

【解题分析】以A为坐标原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取。=43,

利用向量法，根据公式d=g.〃)2即可求出答案.

【题目详解】以2为坐标原点，以｛。4，。£，。。｝为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。-盯Z,

则A(l,0,1),3(1,1,1)，G(0,1,0),

.--AB=(0,1,0),AC,=(-1,1,-1)

AC

取。=48=(0,1,0),M-T—T=,则/=1，

叶333

则点B到直线AG的距离为-(a•")2

7、C

jr

【解题分析】因为“若。，则的逆否命题为“若F,则子"，所以“若a=—,则tana=l”的逆否命题是“若tanarl,

4

71

则

4

【点评】本题考查了“若P，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.

8、B

【解题分析】设出直线，并与抛物线联立，得到西+々=羊，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.

【题目详解】因为直线/的方程为y=21x—gj,即y=2x—p,

由2px,消去y,得4--6px+p2=0,

y=2x-p,

设A（%,yJ,双程％），则为+X2=当，

又因为弦A5的中点到抛物线的准线的距离为3,所以||=6,

而|A31=%+%+P,所以再+%=6-p,

3”1224

故三=6-p,解得，=（，所以抛物线的方程为丁=二X

故选：B.

9、A

【解题分析】特称命题的否定是全称命题

【题目详解】3x0e/?,+2x0+1<0的否定形式是X/xe凡必+2x+1>0

故选：A

10、A

【解题分析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.

【题目详解】解：对A：因为曲线c的方程中尤,y都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线c不可能是抛物

线，故选项A正确；

对B：当1一。2>0时，曲线C为双曲线，故选项B错误；

对C：当1—/=—1时，曲线C为圆，故选项C错误；

对D：当1—4<。且1—//—1时，曲线C为椭圆，故选项D错误；

故选：A.

11、B

【解题分析】由OM.OQ=2OQ2,得到/=—g，结合NM43=90,得至UKB=-；，左MB=会，进而求得

kAB-kMB=-E_,得出—、=—_1，结合离心率的定义，即可求解.

aa2

【题目详解】设人（%,州）,5（孙％），°（°1），则河（—和—乂），

由.0Q=2OQ?，可得一取=2/,所以

71X,,X

因为ZMAB=90，可得左AB=—==kMQ=丁，

kOA%2%

22222_22_2

又由工+与=1,与+q=1,两式相减得五三三+&_普=0,

CTb2a2b2a2b1

削二A.豆土支=£皿J."一心

2

药一%2%+%a

,一1b11b21

又因为以/。"=~=-,所以---7=------，即一7=—

%2石2a22a22

又由廿=/一。2,所以二£1=工，解得e=£=Y2.

a2a2

【解题分析】根据题意得二闺司=2c,取线段。耳的中点”，则根据题意得9=。，MF2=y/3c9根据椭圆

的定义可知c+Gc=a，然后解出离心率e的值.

【题目详解】因为△。耳耳为正三角形，所以|。4|=|耳闾=2c,取线段的中点“，连结加工，则

所以|5|+|摩卜c+&=2a,得一自SI，

所以椭圆。的离心率e=6—1.

故选：A.

【题目点拨】求解离心率及其范围的问题时，解题的关键在于画出图形，根据题目中的几何条件列出关于。，b,c的

齐次式，然后得到关于离心率e的方程或不等式求解

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①[O,3##(O,L5)②.5x+4y—6=0

【解题分析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.

【题目详解】由4-1,0),3(3,0),C(0,2),可知AB边上的高所在的直线为x=0,

又怎c=E=-(，因此边上的高所在的直线的斜率为:，

所以边上的高所在的直线为：y-0=j(x+l),即3x-2y+3=0,

-r\X=0/c、

%=0(3、

所以。c、c3,所以一ABC的垂心坐标为。，；，

3x—2y+3=0y=-I2)

、2

「1+3+00+0+2]_122]

由重心坐标公式可得ABC的重心坐标为

3

尸5X_Q

所以ABC的欧拉线方程为：厂，化简得5尤+4y-6=0.

-------0

323

故答案为：[o,|15x+4y—6=0

14、①.-24②.（3,0）

【解题分析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出力%，设直线45的方程为％=冲+乙联立抛物线方程，由根

与系数的关系可求出r,由圆的定义求出圆心即可.

22

【题目详解】由即3■•号■+%%=12,

解得以为=-24或%%=8(舍去).

设直线AB的方程为尤=7盯+/.

x=my+tc

由<21,消去X并整理得V—4my—4f=0,

〔y=4x

二%+%=4根，y1y2=-4t.

又以为=—24,1=6,

直线A5恒过定点N(6,0),

。拉垂直AB于点M,

二点M在以ON为直径圆上.

|MQ|为定值，

点。为该圆的圆心，又即。(3,0).

故答案为：-24;0,0)

【解题分析】当时，Sn_x=2an,推导出冬旦=；,从而数列｛4｝是从第二项起，公比为3的等比数列，进而能

求出数列｛4｝的通项公式，即可求得答案.

【题目详解】Qs“为数列｛«„｝的前”项和，％=l,Sn=2an+l①

时，Sn_i=2a"②

①一②'得：2a-2a"=,

2%=3a,

3

•・an+l=^an9

■/S]=2a2-ax-1,

._1._3_3

..—9.•。3—Cl2—

2124-

1,n=l

数列｛4｝的通项公式为4=1(3丫-2

---,n>2

12

1,n—\

3

故答案为：3n-2

7n>2

2

8m

16、——

n

22

【解题分析】由%,%e[0,2],根据y.<亍一去表示的数对对应的点（斗，y）在椭圆亍+/=i的内部，且在第一

1-i满足条件的点（七,y）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解

象限，求出

【题目详解】巧，J,e[0,2],

22

1-^-表示的数对对应的点（七,y）在椭圆亍+/=1的内部，且在第一象限,

.・V<

^■x2x1兀

其面积为

4

71

故5=",

2x2n

得哈网

n

8m

故答案为：・

n

【题目点拨】本题主要考查了几何型概率应用，解题关键是掌握几何型概率求法，考查了分析能力和计算能力，属于

基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)an=2n+l,Sn=n(n+2)

1

(2)T=-

n3(〃+1)(〃+3)

【解题分析】（1）根据分式的合分比性质以及等差数列的性质即可求出;

（2）根据裂项相消法即可求出

【小问1详解】

a.〃口-a.9d

由题意：—=o3,即％=3%,

「35

又?+3d,a1=—d,a2=+d=—d=5d=2,

：n

.an=2n+l,S=(，+%)—二〃(〃+2)・

"2

【小问2详解】

因为11

，〃墨+1^n^n+1

•*-Tn=回向=不一钉1111

-

dd3(H+1)(H+3)

i=li=lIzi+l&Sn+1

18、(1)C——；(2)y/3

3

^2/2_2

【解题分析】(1)根据/+/—/=〃〃，通过余弦定理COSC二十,一°求解.

2ab

(2)根据Tcsin4+〃sinC=0,通过正弦定理，把角转化为边得4c〃=bc,再根据Q=1,得b=4.再代入ABC

的面积公式求解.

【题目详解】(1)・・・/+/—/=",

2.72_2

・・・由余弦定理得cosC=a-cab_I

lablab2

TT

又C£(0,»),・・.C=—.

3

(2):Tcsin4+〃sinC=0,

・・・由正弦定理得4c〃=仪;，

丁cw0,4a=b9

又Q=1,:・b=4

ABC面积S=LqbsinC=Lxlx4x^_=6

222

【题目点拨】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19、(1)--<m<0；

2

(2)[0,l]u(2,5].

m<0

【解题分析】(1)解不等式组LoC即得解；

2m+3>2

(2)由题得八4一真一假，分两种情况讨论得解.

【小问1详解】

解：由题意知p是q的充分条件，即p集合包含于q集合,

m<01

有[0,2仁（m,2m+3]二><=>—<m<Q'

2m+3>22

【小问2详解】

解：当机=1时，有q:xe(l,5],

由题意知，p、q一真一假,

0<%<2

当P真q假时,=^>0<%<1,

%<1或%>5

或X）2=2<X«5,

当P假q真时,

1<X<5

综上，X的取值范围为[0,1]"2,5]

20、(1)—+^=1；(2)6.

43

【解题分析】(1)本小题根据题意先求。，b,c,再求椭圆的标准方程；

(2)本小题先设过工的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.

【题目详解】解：(1)V椭圆C上一点P到左右两个焦点工、工的距离之和是%

2〃=4即q=2,

又,**a2=b2+c29***b2=3•

22

...椭圆C的标准方程为工+乙=1；

43

(2)设点A、3的坐标为3(%,%),

因为直线过点招，所以可设直线A3方程为％=加丁+1,