2024年高考数学复习 高三数学开学摸底考试卷（测试范围：新高考数学全部内容）（原卷版+解析+参考答案+答题卡）

高三数学开学摸底考试卷

考试时间：120分钟满分：150分

测试范围：新高考数学全部内容

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.（5分）已知i为虚数单位，贝i|z=—上一在复平面内对应的点位于（）

l-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）设集合M={尤|x=2〃，aeZ},N={Mr=4〃±2,”eZ},则（）

A.M星NB.M叁N

C.M=ND.以上都不正确

3.（5分）A,B,C,D,E,尸六人站成一排，满足A,8相邻，C,。不相邻，E不站两端的不同站法的种

数为（）

A.48B.96C.144D.288

4.（5分）己知偶函数无）=依2+公+1的定义域[a-1,2],则函数/（%）的值域为（）

A.（-8,1）B.（-8,1]C.[-3,1]D.[1,+8）

22

5.（5分）设椭圆与三=1（a>b>0）的左、右焦点分别为为、F2,P是椭圆上一点，ZFIPF2=60°,

2,2

ab

\PF1\=X\PF2\则椭圆的离心率的最小值为（)

3

A.-1B.AC.工D.近

24164

6.（5分）已知/（%）=sinx,g（x）=/川%|+（ex）2,则/（x）・g（x）>0的解集是（）

A.{x|-工V%V0或工VxVn或2zmVxV（2几+1）ir,n£Z,且〃WO}

ee

B.{%|-TTVXV-2或工VxVn或2mrVxV（2n+l）ir,nEZ,且

ee

C.{x|-」VxV0或0<%V工或VxV（2n+l）n,让Z,且〃W0}

ee

D.{x\-A<x<0或[〈jcVn或（2〃-1）7T<x<2nn,〃€Z,且〃W0}

ee

7.（5分）已知cosa=3,a6（3兀，2兀），则sinQ-=（）

512）2

A.近_B.一匹C.—D.汉5_

5555

8.（5分）设Si是等比数列｛斯｝的前w项和.若22=2,54=4,则S8等于（）

a4

A.12B.24C.16D.32

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合

题目要求的.

（多选）9.（5分）已知菱形纸片ABC。的边长为2,且NABC=60°,将△ABC绕AC旋转180°,旋转

过程中记点8位置为点P,则（）

A.直线AC与点尸的轨迹所在平面始终垂直

B.尸2+尸。的最大值为十

C.二面角AC的大小与点P的位置无关

D.旋转形成的几何体的体积为Tt

（多选）10.（5分）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴

的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于

无轴的光线从点M射入，经过抛物线Cf=8x上的点尸反射，再经过C上另一点。反射后，沿直线

/2射出，经过点N,贝IJ（）

A.若/1的方程为y=2,则|PQ=8

B.若/1的方程为y=2,豆/PQM=NMQN,则M（13,2）

C.分别延长尸。，NQ交于点则点。在C的准线上

D.抛物线C在点尸处的切线分别与直线吓，人所成角相等

（多选）11.（5分）已知函数/（%）=xcosx-sinx,下列结论中正确的是（）

A.函数f（x）在x=弓时取得极小值-1

B.VxG[0,n],f（x）W0恒成立

C.若0Vxi〈x2Vn,则」-V1——L

x2sinx2

D.若邑＜6,VxG（0,A）恒成立，则。的最大值为2,6的最小值为1

x2打

（多选）12.（5分）某社团开展“建党100周年主题活动--学党史知识竞赛“，甲、乙两人能得满分的

概率分别为3,2,两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是（）

43

A.两人均获得满分的概率为工

2

B.两人至少一人获得满分的概率为二

12

C.两人恰好只有甲获得满分的概率为国

4

D.两人至多一人获得满分的概率为包

12

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）在平面直角坐标系中，长度为3的线段A2的两个端点分别在无轴和y轴上运动，点M是直线

x+y-4=0上的动点，贝||应+而|的最小值为.

14.（5分）四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为丁5,则

该四棱台的体积为.

15.（5分）已知圆/+y2+4%-6y+〃=0关于直线y=x+b成轴对称图形,贝U〃-b的取值范围是.

TT

16.（5分）已知函数/（x）=sin（（ox+（p）（a）＞0）.若f（x）的图象向左平移——个单位所得的图象与/（x）

3

的图象重合，则3的最小值为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在△A2C中，42=4,AC=2&,点。为BC的中点，连接并延长到点£,使AE=3Z）E.

（1）若DE=1,求/8AC的余弦值；

（2）若求线段BE的长.

4

+

18.(12分)己知数列｛金｝满足“1=",(an+1+1)(an+l)=2anl.n€N*-

(1)求数列｛板｝的通项公式；

、*1

(2)证明：对，(710243+。2a3。4+…+。"。"+1。〃+2<.

12

19.(12分)某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户.根据这100名用户的评分，绘

制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50),[50,60),[90,100].

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40,60),[60,80),[80,100)的中抽取20人，则

评分在[40,60)内的顾客应抽取多少人？

(3)用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分.

20.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，ZkAPC为等边三角形，AC=4,平面APC_L底面ABC,AB=BC

=2&,。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面ABC；

(2)若点M在棱8C上，BM=XBC,且二面角M-C为30°,求入的值.

21.(12分)已知双曲线：25-%=1(其中。>0,b>0)的左、右焦点分别为尸1(-c,0)、F2(c,0)

(其中c>0).

(1)若双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为y考_x；直线/的倾斜角为十，在y轴上的截距为-

2.直线/与该双曲线交于两点A、B,M为线段AB的中点，求△MF1F2的面积；

(2)以坐标原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P.过尸作圆的切线，若

切线的斜率为f旧，求双曲线的离心率.

22.(12分)己知函数/'(x)—X1-axlnx+1+a,aCR,f'(无)为/(无)的导函数.

(1)讨论,(%)的极值；

(2)若存在正[2,e],使得不等式/(/)<0成立，求。的取值范围.

高三数学开学摸底考试卷

参考答案

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

12345678

BBBCAAAA

多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9101112

ABDBCDBCDBCD

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.4A历-3.

14.皿

6

15.(-8,8).

16.6

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.解：（1）VZ）E=1,AE=3DE,；.A£）=2,

'/ZADB+ZADC—Tt,cosZADB+cosZADC—Q,

由题意设BO=OC=x,AB=4,AC=2-/2,

222

则在△ADB中，由余弦定理得cosZADB=BD+AD-AB—x：+4-16—x：-12

2BD-AD4x4x

由余弦定理得侬加。=噫#x乙+4-8—x?-4

在△ADC中,

4x4x

22

...X-12+X-4=0,解得x=2&,

4x4x

：.BC=2BD=4-/2,

在△ABC中,由余弦定理得C0S/2AC=ABI+ACI-BC[=16+8—32厂.=""；

2AB-AC2X4X264

(2)VAB=4,AC=2近,ZABC=—,

4

.,.在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB・BCCOS/A8C,即8=16+2。？-2X4X亚BC,解得

2

BC=2近,

:点。为BC的中点，:.BD=LBC=M,

2

在△A8£)中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB'BDcosZABC=16+2-2X&X4X亚=10,即AD

2

V10,

\'AE^3DE,会书但挈

AB2+AD2-BD216+10-2sVlO

在△ABO中,由余弦定理得cos/BAE=

2AB-AD2X4XV1010

在△ABE中，由余弦定理得BE1=AB2+AE1-2AB*A£cosZBA£=16+()2-2X4义X3y

2210

回，即BE=\l~L0

22

J-*

18.解：(1)由ai=—(a+l)(a+l)=2a+l.n€N，

2n+1nn

an

可得a+l=

n1+an

由m>0,可得an>0,

则_—=1+—,

an+12n

1.1.

即一=1,

an+1an

所以｛｝是首项为

-L2,公差为1的等差数列,

an

贝-1=〃+1,即an=—^—

ann+1

1

(2)证明:a“=—-—，对k=1,2,3,…，cikcik+1cik+2

n+1(k+1)(k+2)(k+3)

11

］，

/%+iyxk+2y(k+2)(k+3)

11

所以。102(13+。2a3a4++aan+\an+2——[—-—+•••+

n22X33X43X44X5(n+1)(n+2)

1

■]

(n+2)(n+3)

4[2X13(n+2)1(n+3)11

122(n+2)(n+3)

19.解：(1)由(0.004+4+0.022+0.028+0.022+0.018)义10=1,解得a=0.006；

(2)由频率分布直方图可知，

评分在[40,60),[60,80),[80,100]内的顾客人数之比为：(0.004+0.006)：(0.022+0.028)：(0.022+0.018)

=1：5：4,

所以评分在[40,60)内的顾客应抽取20X]+：+4=2(人)；

(3)用户对该APP评分的平均分为：

彳=(45X0.004+55X0.006+65X0.022+75XQ.028+85X0.022+95XQ.Ol^BX10=76.2.

20.解：(1)证明：:△APC为等边三角形，。为AC的中点，

：.PO.LAC,

•.•平面APC_L底面ABC,平面APCC平面ABC=AC,POu平面APC,

；.PO_L平面ABC；

(2)连接80,由(1)可知建立以O为坐标原点，以AC、OB、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间

直角坐标系。-qZ,如图所示：

AB=BC=2&,AC=4,贝!|。尸=2«,AB2+BC2=16=AC2,

.♦.△ABC等腰直角三角形，贝！]08=2,BOLAC,

：.C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2^3),A(-2,0,0),设M(x,y,0),

则丽=(龙，厂2,0),BC=(2,-2,0),

'：BM=XBC,.'JX-2,贝!]x=2入，y=2-2A,OW入Wl,

ly-2=-2入

：.M(2A,2-2入，0),

•平面APC_L平面ABC,平面APCCl平面48C=AC,80u平面ABC,

.•.8O_L平面PAC,

平面B4C的一个法向量为羽=(0,2,0),

设平面的一个法向量为：=(无，»z),AP=(2,0,2A/3),AM=(2入+2,2-2入，0),

则0安2x+2«z=0，取x=«,则z=-l,尸凤2

,n・AM=(2、+2)x+(2-2^)y=0入T

平面的一个法向量为：=(V3,返J+1),-1),

,二面角B4-C为30°

12爪（入+1）।

11

In.0B1cos30°=近，即（―2=4,解得入=3

cos<0B>n>=

Ini,IOBI244+3铝产2人-1

（不合题意，舍去）或A=—,

3

故A=—.

3

21.解：（1）双曲线过点（2,1）且一条渐近线方程为y二丝X，

y2

贝！Ia=&b①,

双曲线过点（2,1）,

贝*■£=]②，

ab

联立①②解得，a2=2,b2=l,

2.

故双曲线的方程为2-y2=],

直线I的倾斜角为十，在y轴上的截距为-2,

则/的方程为>=尤-2,代入双曲线方程可得，f-8x+10=0,

设A（xi,yi）,B（及，>2）,M（x,y）,

则Xl+X2=8,

M为线段A3的中点，

贝!Jx=4,y=x-2=2,BPM（4,2）,

•••恒士|=旭

:.△加乃尸2的面积为《IF1左IX函X2=2百;

212

（2）由题意可知，圆的方程为N+y2=c2,

2

联立*2y，解得户aJb2+c),>=直，即尸(型叵岂，bi)；

--fr=lccC

ab

切线的斜率为r®,

则左0P=£~・/cXL化简整理可得，3(c2-a2)=aJ"22,

ca后/3”

故3c4+4/_8〃2c2=0,即3c4-8/+4=0,解得e2=2,

故双曲线的离心率为正.

22.解：(1)由题意，函数/(无)—j?-axlnx+l+a,oGR,

可得函数/(x)的定义域为(0,+8),且/(%)=2x-a(1+Z/u),

Xa

设g(x)=/(x)=2x-a(1+lnx),xE(0,+°°),贝Ug，(x)=2-=^>

XX

①当a<0时，可得g(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，所以/(x)没有极值；

②当。>0时，若x€(0,-1-);则g(x)<0,f(x)在(0,方)上单调递减，

若x€(y,y°°)，则g'(X)>。，f(X)在弓，一)上单调递增，

所以，(尤)在x-1处取得极小值，且极小值为/(y)=-alnY在(°，+8)上没有极大值,

综上，当时，f(x)没有极值；当。>0时，f'(x)的极小值为-alrr|，无极大值.

(2)由题意知,存在怎［2,e］,使得/(力=？-atlnt+l+a<0,

即存在re［2,e］,使得t-alnt」^〈O，

构造函数h(t)=t-alnt4,则h'.)=产与"1)(尸-1),

ttJt”

当a+lW2,即oWl时，h(?)。。在［2,e］上恒成立，h⑺单调递增，

所以/?(2)<0,可得a>一-—，与aWl矛盾，不满足题意；

21n2-l

当2ca+l<e,即时，若怎［2,a+1］,则〃⑺WO,h(r)单调递减，

若正伍+1,e］,则"⑺20,h(?)单调递增，止匕时〃G)min=h(a+1),

由〃(/)min—h(。+1)<0,可得(。+1)-aln(。+1)+1<0,所以〃+2<。/〃(4+1),

因为2VQ+1Ve,所以不等式Q+2V〃/〃(a+1)不成立；

当〃+lNe,即时，h'(力W0在怎［2,e］上恒成立，h⑺单调递减，

2..

所以/i(e)<0,可得a〉£三,满足题意.

e-1

2小

综上，实数〃的取值范围为(旦二艮，g).

e-l

高三数学开学摸底考试卷

条码粘贴处

试卷类型：A

（正面朝上贴在此虚线框内）

姓名：班级：

准考证号

缺考标记注意事项

口1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

考生禁止填涂2、请将准考证条码粘贴在右侧的［条码粘贴处］的方框内一.选择题（共8小题，

缺考标记！只能3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的

由监考老师负签字笔填写，字体工整

；请按题号’顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、

责用黑色字迹满分分,每小题分）

的签字笔填涂。试卷上作答无效。405

5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸

刀。

6、填涂样例正确［■］错误（请用2B铅笔填涂）

12345678

[A][A][A][A][A][A][A][A]

[B][B][B][B][B][B][B][B]

[C][C][C][C][C][C][C][C]

[D][D][D][D][D][D][D][D]

满分20分，每小题5分）（请用2B铅笔填涂）

三.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（请在各试题的答题区内作答）

13.

14.

15.

16.

四.解答题（共6小题，满分70分）（请在各试题的答题区内作答）

17.答：

18.答:

19.

答:

答:

21.答:

22.答:

高三数学开学摸底考试卷

考试时间：120分钟满分：150分

测试范围：新高考数学全部内容

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）已知i为虚数单位，贝帖=二一在复平面内对应的点位于（）

1-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可.

【解答】解:—i—i(l+2i)--2+i

l-2i(l-2i)(l+2i)5

故z在复平面内对应的点位于第二象限,

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题.

2.（5分）设集合M={Rx=2",吒Z},N=Wr=4"±2,〃eZ},则（）

A.B.M我N

C.M=ND.以上都不正确

【分析】对集合N进行变形，可以看到集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，集合N的元素是2与

奇数的乘积的集合，再判断即可.

【解答】解：集合M={x|x=2",〃eZ},故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，

N={尤|尤=4〃±2,〃eZ}={x|x=2（2”±1）,〃eZ},

故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，

故

故选：B.

【点评】本题考查集合与集合，集合与元素的关系，基础题.

3.（5分）A,B,C,D,E,尸六人站成一排，满足A,2相邻，C,。不相邻，E不站两端的不同站法的种

数为（）

A.48B.96C.144D.288

【分析】使用捆绑法，然后恰当分类，结合间接法能求出结果.

【解答】解：第一步，先排A,B,共有/^=2种排法，将排好的A、3作为一个整体，记为G；

第二步，(1)先将C,D,G,尸排成一排，再在产生的3个空位中选择一个排E,共有3A：=72种排法，

(2)先将C,。捆绑在一起，记为然后将H,G排成一排，

最后在2个空位中选一个排共，共有2AgA,=24种排法，

(3)将C,D,G,F,E排成一排，且C,。不相邻，E不站两端的排法有72-24=48种，

综上，满足条件的不同排法共有2X48=96种.

故选：B.

【点评】本题考查排列数的计算，考查捆绑法，恰当分类、间接法等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

4.(5分)已知偶函数/(尤)=a/+bx+l的定义域[a-1,2],则函数/(%)的值域为()

A.(-8,1)B.(-8,1]C.[-3,1]D.[1,+8)

【分析】根据函数的奇偶性的定义和性质，建立方程求出a,b的值，结合一元二次函数值域的性质进行

求解即可.

【解答】解：：偶函数/(x)=。/+法+1的定义域[a-1,2],

：.a-1+2=0,得。=7,即函数的定义域为[-2,2],

此时函数/(x)=-d+fcv+l,

则对称轴为y轴，则-,X；])=。'得b=。，

则/(x)=-/+1,

；-2WxW2,

：.-30(x)W1,即函数的值域为[-3,1],

故选：C.

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合二次函数的性质是解决本题的关键.

22

5.(5分)设椭圆=1(。>6>0)的左、右焦点分别为乃、Fi,P是椭圆上一点，ZFIPF2=60°,

|PF1|=X|PF2|(2W入W3),则椭圆的离心率的最小值为()

3

2a入

僧1|树2卜2aX+1rcC

【分析】由J,在△尸为尸2中，由余弦定理,得附2=|尸"2+|尸附2_

|PF1|=X|PF2|严2卜2a

入+1

2|PFI|«|PF2|COS60°,即(2c)2=(孕2_)2+(*_)2-2X^—X-^-X—>求解即可求椭圆的

X+1X+1X+1X+12

离心率的最小值.

2a入

pFiMPF*2a.X+1

【解答】解：由

.四1]=入/2|’

P「2卜2a

入+1

在△PHf'2中，由余弦定理，ifl|FiF2|2=|PFi|2+|PF2|2-2|PFir|PF2|cos60°

22

即(2c)=(-^A)+(_2a_)2_2X-^21X_2a_xl,

X+1X+1X+1X+12

2

上式两边同除以(2a)2,得e2=(-2^)2+(―^)2-——-~~-=-A-A+]；=1--/——

入+1入+1(x+l)2(x+l)2X2+2X+1

=1-

等号当且仅当入=1时成立，故椭圆的离心率的最小值为工.

22

故选：A.

【点评】本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用，属中档题.

6.(5分)已知/(x)=sinx,g(x)=ln\x\+(ex)2,则/(x)・g(x)>0的解集是()

A.3-2<xV0或工VxVir或2mrVxV(2n+l)n,芯Z,且〃W0}

ee

B.{%|-irVxV-2或工VxVii或2mlVxV(2n+l)n,n£Z,且〃WO}

ee

C.{x|-工VxVO或0<九<』或2mi<rV(2〃+l)n,尤Z,且〃W0}

ee

D.{x|-工V%V0或工V%VTI或(2〃-l)ir<x<2zzn,nGZ,且〃WO}

ee

【分析】不等式/(xAg(x)>0等价于或(f由此能求出结果.

lg(x)>0lg(x)<0

【解答】解：：g(尤)=ln\x\+(ex)2是偶函数,

...当x>0时，g(x)—lnx+(ex)2,g'(x)=工+2/x>。在%>。恒成立，

X

二.g(x)在(o,+8)单调递增，且g(A)=0,

e

・••当xc(-8,-A)u(A,+8)时，g(X)>0,

ee

当尤(-工，0)U(0,工)时，g(x)<0,

ee

当xE(2mr,2mr+jr),时，f(x)>0,

当xW(2mi+m2nn+2n),〃€Z时，f(x)<0,

(x)>0ff(x)<0

,不等式/(x)・g(x)>o等价于4

g(x)>01g(x)<0

.•.不等式/(x)・g(x)>0的解集为：

{x|-」<x<0或!<无<it或2mt<x<(2H+1)it,”eZ,且”W0}.

ee

故选：A.

【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

分)已知a_

7.(5cosa=3,a€兀,2兀），则sin-()

52

返巫

A.B.一返c.AD,

5555

进而根据二倍角公式即可计算得解巴的

【分析】由已知可求范围We(",n),则sin-^—.>0,sin

2422

值.

【解答】解：：cosa=看，a€c|•冗，2打）,

*/cosa=—=1-2sin2-^-,可得sin2-^-=—

5225

故选：A.

【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于

基础题.

软R

8.（5分）设S,是等比数列｛斯｝的前〃项和.若一邑=2,54=4,则我等于（）

a4

A.12B.24C.16D.32

【分析】本题先设等比数列｛•｝的公比为q,然后根据等比数列的定义及已知条件可计算出1=2,再根

据等比数列的求和公式写出S4及S8的表达式，进一步计算即可得到S8的结果.

【解答】解：由题意，设等比数列｛斯｝的公比为必贝I

"3

、

ai(/1-q4)ai

S4=-...................=---=4

1-q1-Q

842

ai(l-q)ai[l-(q)]ai

Ss=—：--------------=--------------------—i-«(l-4)=(-4)X(-3)=12.

1-q1-q1-q

故选：A.

【点评】本题主要考查等比数列的基本计算.考查了方程思想，定义法，整体思想，以及逻辑推理能力

和数学运算能力.本题属基础题.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

（多选）9.（5分）已知菱形纸片ABCD的边长为2,且NABC=60°,将△ABC绕AC旋转180°,旋转

过程中记点B位置为点P,则（）

A.直线AC与点P的轨迹所在平面始终垂直

B.尸8+尸。的最大值为簿

C.二面角A-P。-C的大小与点尸的位置无关

D.旋转形成的几何体的体积为TT

【分析】由题知，点P的轨迹所在平面为平面2。尸，再结合题意依次分析各选项即可得答案.

【解答】解：如图，点P的轨迹为以菱形对角线的交点为圆心的半圆弧，

即点尸的轨迹所在平面为平面由于在菱形A8C。中，AC±BD,

所以在旋转过程中，AC±OP,

因为。尸口2。=。，OP,BOu平面

所以AC_L平面8。尸，故A正确；

对于B选项，因为

PDPB22

所以由不等式FD〉（g）4MpD+pB<V2（PD+PB）=2>/6，

当且仅当尸。=尸8时等号成立，故8正确；

对于C,取PD中点E,连接AE,CE,OE,由AP=AO=PC=P。得P£）_LAE,PDLCE,

所以，/AEC是二面角A-P。-C的平面角,

所以，由对称性可知/AEC=2NAEO,tanZAEO->

OE

因为OE的长度随着P的位置的变化而变化，

所以，/AE。随着P的位置的变化而变化，即NAEC的大小与点尸的位置有关，故C错误;

对于。选项，由题知旋转形成的几何体为两个半圆锥，底面半径为高为1,

故其体积为^•X兀X（«）2乂1=兀，故。正确.

3

故选：ABD.

【点评】本题主要考查旋转体的结构特征，二面角的求法，组合体的体积，考查运算求解能力与逻辑推

理能力，属于中档题.

（多选）10.（5分）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴

的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于

无轴的光线人从点M射入，经过抛物线C：上的点尸反射，再经过C上另一点。反射后，沿直线

/2射出，经过点N,则（）

A.若/1的方程为y=2,则|尸。|=8

B.若A的方程为y=2,且/尸则M（13,2）

C.分别延长PO,NQ交于点、D,则点。在C的准线上

D.抛物线C在点尸处的切线分别与直线FP,人所成角相等

【分析】分别求出P、。的坐标，利用焦点弦公式|尸。|=可+尤2+0求出弦长可得选项A错；求解角的平分

线方程求解〃的坐标，可得选项8正误；通过求解。的坐标，即可判断C正确；求出抛物线在尸处的

切线方程及其斜率，再求出切线与直线/1及直线RP所成角的正切值，可得选项O正确.

【解答】解:由题意可得P(工，2),又F(2,0),

2

・,・直线相的斜率仁产2-04

3

2-2

直线尸尸的方程为：(无口),

3

(2

y'=8x

联立《4，得2d-17x+8=0,

y=-7(x-2)

Lo

.,.xi=—,X2=8,.'.Q(8,-8),

2

♦,JPQ=XI+X2+4=2^,...A选项错误;

'2

2-0

直线尸尸的斜率4

3

2-2

设加。的斜率为上k>0,可得］:三，］一，可得2彦-3左-2=0,

1亍k

可得k=2,

又直线的斜率如0=2,・,•直线的方程为：y+8=2(x-8),即2x-y-24=0