安徽省蒙城县一中2024年高考数学三模试卷含解析

安徽省蒙城县一中2024年高考数学三模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N除以正整数机所得的余数是“”记为

“N三”(modm)”，例如7三1(mod2).执行该程序框图，则输出的“等于()

C.18D.19

2.函数y=sin|x|+*在无e[—2],2可上的大致图象是()

3.数列｛斯｝,满足对任意的"GN+,均有“"+""+1+""+2为定直若。7=2,09=3,4198=4,则数殖所｝的前100项的和5100=()

A.132B.299C.68D.99

4.在声学中，声强级£（单位：dB）由公式L=101g给出，其中/为声强（单位：W/m2）.Li=60dB,

4=75dB,那么,=()

443_3

A.6B.i(pC.——D.I。”

2

22

5.存在点/（/Do）在椭圆=+今=1（。〉人〉0）上，且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线

a"b

=1垂直的直线经过点（0,-则椭圆离心率的取值范围是（

)

a2b2

A.C.D.“J

6.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量x与y的随机

变量父的观测值左来说，攵越小，判断“X与F有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

下列与函数y=J=定义域和单调性都相同的函数是（

7.)

yjx

,1

A.y=2log2B.y=logC-=log-D.

2I2X

8.已知a,b£R,3+cti=b—(2a—l)z,则()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

设左贝!!关于羽丁的方程（—左）］+丁左所表示的曲线是（）

9.＞1,122=2―1

A.长轴在y轴上的椭圆B.长轴在x轴上的椭圆

C.实轴在y轴上的双曲线D.实轴在x轴上的双曲线

10.已知平行于X轴的直线分别交曲线Iny=2x+Ly2=2x—1（”0）于A,B两点，则41ABi的最小值为（）

A.5+ln2B.5—In2C.3+ln2D.3—In2

1/、71

11.已知a=(cosa,sina),b=(cos(-cif),sin(-cr)),那么。山=()是。=左万+(左£Z)的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方("23,"cN*)”是由前二个正整数组

成的一个〃阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和(简称幻和)相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如

图所示).则“5阶幻方”的幻和为()

E□□

□□

LZJLZJ□

A.75B.65C.55D.45

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手A成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低

分，则所剩数据的平均数与中位数的差为.

SI23S7

9|S8

14.在ABC中，角A的平分线交于。，BD=3,CD=2,贝！1ABC面积的最大值为

15.已知实数满足。+应=产193为虚数单位)，则4+力的值为.

16.设=%+,则%=，

(4+4++•••+苗0)——(q+/+。5+.••+/)的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等差数列｛%｝满足q=1,公差d>0,等比数列也｝满足伪=卬，d=g，4=%.

⑴求数列｛叫，也｝的通项公式;

(2)若数列｛%｝满足£■+广+(+…+广=fl«+i,求匕｝的前n项和S,.

4“2”34

18.(12分)如图，四棱锥尸-A5CD,侧面上4。是边长为2的正三角形,且与底面垂直，底面ABC。是NA5c=60的

菱形，M为棱PC上的动点，且正="4e[0,1]).

(I)求证：A/EC为直角三角形；

(H)试确定X的值，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值为作叵.

5

p

19.（12分）已知aeR,函数/（x）=ae"—x—l,g（x）=x-ln（x+l）（e=2.71828是自然对数的底数）.

（I）讨论函数/（九）极值点的个数；

（II）若。=1,且命题“Vxe[0,+8）,/（%）之依⑴”是假命题,求实数上的取值范围.

20.（12分）如图，在四棱锥尸—ABCD中，侧棱？底面ABC。，AD//BC,AD=1,PA=AB=BC=2,M

是棱P5的中点.

（1）求证：AM〃平面PC。；

（2）若/ABC=90，点N是线段CD上一点，且。N=g。。，求直线MN与平面PC。所成角的正弦值.

21.（12分）已知椭圆E:一+]=1（。〉5〉0）的右焦点为B，过工作％轴的垂线交椭圆E于点A（点A在x轴上

方），斜率为左仅<0）的直线交椭圆E于A,3两点，过点4作直线AC交椭圆E于点C,且ABLAC,直线AC交

V轴于点。.

/廿1）

（1）设椭圆E的离心率为e,当点3为椭圆E的右顶点时，。的坐标为0,一--a,求e的值.

I〃3J

（2）若椭圆E的方程为:+9=1,且左<—,，是否存在人使得血|筋|=仙。成立？如果存在，求出左的值；

如果不存在，请说明理由.

22.（10分）为提供市民的健身素质，某市把AB,四个篮球馆全部转为免费民用

(1)在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从A5c。四场馆的使用场数中依次

抽取区,。2，。3，。4共25场，在4，。2，。3，。4中随机取两数，求这两数和自的分布列和数学期望;

t场数

(2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为X,其相应维修费用为y元，根据统计，得到如下表的数据:

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

z=0.1e屈+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z与X的回归直线方程；

②小叫做篮球馆月惠值'根据①的结论'试估计这四个篮球馆月惠值最大时X的值

_77__^（X,.-X）（Z,.-Z）

23

参考数据和公式：z=4.5,2（X,--x）=700,X（七一x）（Zj—z）=70,e=20/>=上—-----=-----,a^-bx

！=1，=1z（-

i=l

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量〃的值，模拟程序的运行过程，代入四个选

项进行验证即可.

【详解】

解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.

若输出〃=16,贝！J16三1(mod3)不符合题意，排除；

若输出〃=17,则17三2(mod3),17三2(mod5),符合题意.

故选:B.

【点睛】

本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.

2、D

【解析】

讨论x的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.

【详解】

当了之0时，y=sinx+x,贝!］y'=cosx+l20,

所以函数在［0,2句上单调递增，

令g(x)=cosx+l,贝！］g'(x)=-sinx,

根据三角函数的性质，

当工«0,句时，g,(x)=-sinx<0,故切线的斜率变小，

当句时，g,(%)=-sin%>0,故切线的斜率变大，可排除A、B；

当％<0时，y=-sinx+x,贝！］y'=-cosx+l20,

所以函数在［-2汉0］上单调递增，

令/i(x)=-cos%+l,//(x)=sinx,

当xe［—2肛一句时，//(x)=sinx>0,故切线的斜率变大，

当xe［-肛0］时，/z,(x)=sinx<0,故切线的斜率变小，可排除C,

故选：D

【点睛】

本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.

3、B

【解析】

由。“+。“+1+4+2为定值，可得%+3=%，则｛。“｝是以3为周期的数列，求出即求Sg

【详解】

对任意的“eN+,均有an+an+l+an+2为定值,

二(4+1+%+2+4+3)一(%+%+4+2)=。'

故4+3=4，

・..｛为｝是以3为周期的数列，

故=%=2,%=〃98=4,生=〃9=3,

S］QQ=(q+/+/)++(%7+%8+%9)+4()0=33(q++/)+q

=33(2+4+3)+2=299.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

4、D

【解析】

由L=101g］焉［得lg/=^-12,分别算出人和A的值，从而得到)的值.

【详解】

.•.£=10(lg/-lgl0-12)=10(lg/+12),

lg/=---12,

10

当右=60时，坨4="—12=®-12=—6,.•.4=10-6,

11010

T75

当L,=75时，lgA=」—12=——12=—4.5,.•.1,=1045,

21010

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查对数运算，属于基础题.

5、D

【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.

【详解】

因为过点V椭圆的切线方程为誓+*=1,所以切线的斜率为-"，

abayQ

b

由.°2x、bj。=_「解得％=白＜乩即尸＜2°2,所以储—。2＜2C2,

22c

/Iay0)

故选：D

【点睛】

本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.

6、C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③.

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接

近于0;故②为真命题；

③对分类变量x与y的随机变量K?的观测值上来说，左越小，“X与y有关系”的把握程度越小，故③为假命题.

故选：c.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.

7、c

【解析】

1

分析函数丁=丁的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.

【详解】

函数y在（0,+。）上为减函数.

A选项，〉=2庭2，的定义域为（0,+8）,在（0,+。）上为增函数，不符合.

B选项，j=log2Q^的定义域为R,不符合.

C选项，y=log2,的定义域为（0,+8）,在（0,+。）上为减函数，符合.

D选项，,=，的定义域为［0,+8）,不符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

8、C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+E=b—（2a-l）z,

3=b1

即，b=l.

a=1-2a

:・b=9a.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

9、C

【解析】

22

根据条件，方程（1—左）*+_/=左2-1.即T-----匚=1,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.

7

'左2—1k+l

【详解】

解：'：k>\,：.l+k>0,k2-l>0,

22

方程（1—%）*+/=左2—i,即T-----匚=1,表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为4——匚=1是关键.

上2—1k+1

10、A

【解析】

设直线为y=。(a>0),4>1，%)5(>2，%)，用。表示出占，x2,求出41A3|,令/(a)="+2—lna,利用导数求出

单调区间和极小值、最小值，即可求出41ABi的最小值.

【详解】

解：设直线为丁=。(。〉0),4玉，%»(%2，%)，则lna=2X]+l,.•.Xi=g(lna—1),

2i

而4满足。2=2%-1,

那么41ABi=45_玉)=4=2(a2+2-lna)

-2_[(五、(五\

设/(。)=1+2—Ina,则广二1,函数/(a)在0,一上单调递减，在一,+s上单调递增，

aI2JI2)

所以4|阴mm=2/(%m=2/图=5+ln2

故选：A.

【点睛】

本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键,

属于中档题.

11、B

【解析】

由4必=0,可得cos2a=0,解出即可判断出结论.

【详解】

1

解：因为a=(cosa,sina),/?=(cos(-a),sin(一。))且〃・/?=()

coscr・cos(—a)+sina^sm(-a)=cos2a-sin2a=cos2a=0.

2a=2左乃±—,解得a=k/r±—(kZ).

24

4必=0是1=左〃+—（左eZ）的必要不充分条件.

4

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

12、B

【解析】

计算1+2++25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1+25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2++252“，故选凡

55

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

2

【解析】

先根据茎叶图求出平均数和中位数，然后可得结果.

【详解】

1175

剩下的四个数为83,85,87,95,且这四个数的平均数元=,83+85+87+95）=5-,这四个数的中位数为

11753

-（85+87）=86,则所剩数据的平均数与中位数的差为《--86=].

【点睛】

本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.

14、15

【解析】

由角平分线定理得四=",利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出A6c面积的最大值.

ACCD

【详解】

画出图形：

3x2x

B3Z)2c

因为%>=3,CD=2,由角平分线定理得任=.=2,

ACCD2

设AC=2x,Zft4c=2a,ae[o,1^,则AB=3x

由余弦定理得：52=4x2+9x2-2-3x-2x-cos2iz

25

即X2

13-12cos2a

1275sin2a

S^ABC=5.3x•2x•sin2。=3%-sin2a=

13-12cos2a

752tana

75x2sinacosa_1+tan2a

13-12x(cos2cif-sin2cif)1-tan2a

\'13—1Z-----------7—

1+tana

150-tandz150150

=15

2

1+25tana---+25tana2J-——25tana

tanaVtana

当且仅当一--=25tana,即tana='时取等号

tana5

所以A5C面积的最大值为15

故答案为：15

【点睛】

此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.

15、-1

【解析】

由虚数单位i的性质结合复数相等的条件列式求得〃，人的值，则答案可求.

【详解】

解：由3=3z2=—1,z3=—i9i4=1

所以〃+方=严19=。4)504

得〃=0,b=—l.

...a+Z?=-1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，属于基础题.

16、7201

【解析】

102

利用二项展开式(a+6)"的通式4+i=C：a"-'T/可求出出；4-(^2+%)=a0+alx+a:,x,+0mx根中的元=1,

X=—1得两个式子，代入+。4+•,・+。10—(q+。3+,5+•••+%)~可得结果.

【详解】

利用二项式系数公式，(=。/0)葭2=720/，故g=720,

%+q+...+%。=("\/2+1)1°,%―%+a2—...+=("\/2—1>°,

故(+a。+%+•••+q())—-(q+%+%+.,•+。9)

=(a0+t/j+...+tZjg)(a0-tZ]+a。_...+)=('\/2+11°(5/2_1)〔°=1,

故答案为：720；1.

【点睛】

本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、⑴4=2〃—1,m；⑵S'=3\

【解析】

(1)由％=1,公差d〉0,有1,1+d,l+4d成等比数列，所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.进而求出数列{4},

{2}的通项公式；

(2)当”=1时，由?=%,所以9=3,当九.2时，由?+?+『+…+}=4+1,?+?+?+…+户=4，

''4伪b24bn伪4b3岫

可得C.=2-3"T,进而求出前〃项和S..

【详解】

解：(1)由题意知，4=1,公差d>0,有1,1+d,l+4d成等比数歹U,

所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.

所以数列｛4,｝的通项公式4=2〃-1.

数列也｝的公比4=3,其通项公式么=3"T

⑵当〃=1时，由1k=%，所以13.

当2时，由，'+；+子+…+『=4+1,色+2+2+…

伪44bn伪bi2d.i

两式相减得2=4+1-4,

b"

所以C.=2-3"T.

,f3,〃二1

故°=4

n[2-3n^,n>2

所以｛%｝的前〃项和S“=3+2x3+2x32+2x33+…+2X3”T

3X（1-3"T）「

=3+2—------=3",>2.

1-3n

又〃=1时，SI=q=3l也符合上式，故S“=3".

【点睛】

本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思

想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题.

18、（1）见解析；（II）2=1.

【解析】

试题分析：（1）取AD中点。，连结OROC,以。为原点，0C为X轴，OD为y轴，0尸为z轴，建立空间直角坐标

系，利用向量法能证明A/ZC为直角三角形；（2）设M（a,b,c）,由偿=2（4e[0,1]）,得M（后,0,6—百4）,

求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量,，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.

试题解析：⑴取AO中点。，连结OROCAC,依题意可知ARM）,AACD均为正三角形，所以OC,

又OCcOP=O,。。匚平面^^^^尸匚平面2。。,

所以AO,平面POC,

又PCu平面POC,所以ADLPC,

因为BC//AD，所以5C，PC,即ZPCB=90,

从而AP3C为直角三角形.

(H)法一：由(I)可知尸。，"),又平面上4。，平面45。。,平面上4。平面ABCD=AO,

尸Ou平面上4。，所以尸01.平面ABCZ).

以。为原点，建立空间直角坐标系O-孙z如图所示，则

网0,0,百),4(0,-1,0),D(0,1,0),C(^,0,0),PC=(百,0—G)

由PM=XPC=2(百,0,-百)可得点M的坐标(、后,0,G—四)

所以而=(6尢1,6_四)，丽=(&,—1,上―后)，

设平面M4O的法向量为〃=(x,yz),贝°,

'7n-DM=0

令z=/l,#ra=（2—1,0,2）,

显然平面PAD的一个法向量为OC=(73,0,0),

,.\n-OC173(2-1)126

依题意cos(〃,OC)=,=,J—=—,

11"II。。Q+._1)2.85

解得;1=!或几=—1(舍去)，

所以，当4=2时，二面角P—AD—M的余弦值为空.

35

法二：由(I)可知平面POC,所以

所以NPOAf为二面角P—AD—M的平面角，

即cos/POM=垣，

5

在ATOM中，sMNPOM=旦,PO=也,NOPM=三,

54

所以smZPMO=sin^ZPOM+

=sinZPOAfcos—+cosZPOAfsin—=,

4410

PMPOPM=G

由正弦定理可得----------=----------,即出3-J10

sinZPOMsinZPMO出任Y

510

解得PM=逅，

3

又PC7Po2+OC?=&,所以入=卷=；,

所以，当4=工时，二面角P—A£>—M的余弦值为35.

35

19、(1)当aVO时，/(九)没有极值点，当a>0时，/(九)有一个极小值点.⑵(L+?)

【解析】

试题分析：(1)f'(x)=ae'、一1,分aWO,a>0讨论，当aWO时，对VxeR,f,(x)=aeA-l<0,当a>0时

f'(x)=0,解得x=—Ina,f(x)在(—a,—Ina)上是减函数，在(—Ina,+“)上是增函数。所以，当aWO时，f(x)没

有极值点，当a>0时，f(x)有一个极小值点.⑵原命题为假命题，则逆否命题为真命题。即不等式f(x)<kg(x)

在区间［0,+“)内有解。设F(x)=f(x)—kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F(x)=eX+-

ik

-(k+1),设h(x)=ex-(k+1)，则h'(x)=ex—3了,且h'(x)是增函数,所以h'(x"h'(0)=l-k。

所以分k<l和k>l讨论。

试题解析：(I)因为f(x)=aex—x—1,所以f'(x)=aex—1,

当aWO时，对VxeR,ff(x)=aex-l<0,

所以f(x)在是减函数，此时函数不存在极值,

所以函数f(x)没有极值点；

当a>0时，ff(x)=aex-1,令f'(x)=O,解得x=-lna,

若xe(—8,—lna),则f'(x)<0,所以f(x)在(-。,-Ina)上是减函数,

若xe(—lna,+8),则f<x)>。,所以f(x)在(-Ina,+。)上是增函数,

当x=-Ina时，f(x)取得极小值为f(―Ina)=Ina,

函数f(x)有且仅有一个极小值点x=-Ina,

所以当aWO时，f(x)没有极值点，当a>0时，f(x)有一个极小值点.

(II)命题“Vxqo,+”)，f(x)»kg(x)”是假命题，贝!|“女式0,+8),f(x)<kg(x)”是真命题，即不等式

f(x)<kg(x)在区间［0,+。)内有解.

若a=l,则设F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,

所以F,x)=ex+忘-(k+1),设h(x)=e*+噩-(k+1),

k

则h［x)=ex—濡可，且h［x)是增函数，所以h'(x"h'(O)=l-k

当kVl时,h'(x)»O,所以h(x)在［0,+动上是增函数,

h(x)>h(O)=O,即F(x)“，所以F(x)在［0,+力)上是增函数,

所以F(x)>F(O)=0,即f(x)Nkg(x)在xe［0,+8)上恒成立.

k

当k>l时，因为h'(x)=eX-gF『在［o,+⑹是增函数，

因为h'(O)=l—k<0,h'(k—1)=ekl-->0,

k

所以h'(x)在(0,k—1)上存在唯一零点x°,

当xe［O,Xo)时，h'(x)<h'(Xo)=O,h(x)在［OK。)上单调递减,

从而h(x)Wh(O)=O,BpF(x)<0,所以F(x)在px。)上单调递减,

所以当xe(O,Xo)时，F(x)<F(0)=0,即f(x)<kg(x).

所以不等式f(x)<kg(x)在区间［0,+。)内有解

综上所述，实数k的取值范围为(1,+").

20、(1)证明见解析；(2)工二

13

【解析】

(1)PC的中点E,连接E£),ME,证明四边形ADEM是平行四边形可得AM//DE,故而A4//平面PC。；

(2)以A为原点建立空间坐标系，求出平面PC。的法向量加，计算MN与加的夹角的余弦值得出答案.

【详解】

(1)证明：取PC的中点E，连接E。，ME,

M,E分别是P5,PC的中点，

:.MEIIBC,ME=-BC,

2

又AD//BC,AD^-BC,

2

:.AD//ME,AD=ME,

■■■四边形ADEM是平行四边形，J.DE//AM,

又DEu平面PCD,AMa平面PC。，

.1AM〃平面PCD.

(2)解：ZABC=90°,:.AB±BC,

又AD1BC,故ADLAB,

以A为原点，以A。，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A-孙z,

则A(O,0,0),0(1,0,0),2(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

"是心的中点，N是。C的三等分点,

：，。)，

1,1),

41

MN=(-9-1),PD=(190,-2),PC=(2,2,-2),

mPC-02x+2y—2z=0

设平面PC。的法向量为机=a，y,z),贝！।，即,

mPD=0[x-2z=0

令x=2可得加=(2,—1,1),

4,g]x(一l)+lx(_l)=2,

MN»m=—x2+

3

|m|=^22+(—l)2+12=瓜

MN・m2回

cos<MN,m>=

\MN\\m\13

•••直线MN与平面PC。所成角的正弦值为叵.

13

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题.

21、(1)e=-；(2)不存在，理由见解析

2

【解析】

(b-\

(1)写出Ac,一，根据ADLAB,斜率乘积为-1,建立等量关系求解离心率;

IaJ

(2)写出直线A5的方程，根据韦达定理求出点3的坐标，计算出弦长根据垂直关系同理可得|AC|,利用等

式01ABi=|AC|即可得解.

【详解】

(b2}

(1)由题可得Ac,—,过点A作直线AC交椭圆E于点C,且直线AC交V轴于点D.

\aJ

b21、

点3为椭圆石的右顶点时，。的坐标为0,——-a

I〃3

7

AB±AC即ADLAB,

b^_lb2

^AD^AB=T，a3aa

0-cc-a

化简得：2c2-3ac+a2=09

即2e2—3e+l=0,解得e=1或e=l（舍去）,

2

所以e=《；

2

（2）椭圆E的方程