江西省南昌市等部分学校2024届高三年级下册3月联考数学试题（含答案解析）

江西省南昌市第二中学等部分学校2024届高三下学期3月联

考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

22

1.已知产为椭圆c：J+[=l（a>8>0）的右焦点，A,8分别为椭圆C的上顶点

ab

和右顶点，若AABb的周长为3〃，则椭圆。的离心率为（）

A.|B.

Q6―\D出

•2•2

2.甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局

获胜的概率为二3、?第二局获胜的概率为:，第三局获胜的概率为9彳，则甲恰好连胜两局

433

的概率为（）

A.-B.—C.—D.-

936369

3.如图，已知圆柱底面半径为2,高为3,ABCD是轴截面，分别是母线4瓦CD上

的动点（含端点），过所与轴截面A3CD垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当

此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（）

B

E

A

B.C.[|』JD.[1,1]

4.直线3x+4y=6与圆龙2+/一2彳一2>+1=0相切，则人=

A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12

5.在空间中，“经过点P5,%,z°）,法向量为e=（A,B,C）的平面的方程（即平面上任

意一点的坐标（x,y,z）满足的关系式）为：A（x-^）+B（y-yo）+C（z-zo）=O\用此方

法求得平面a和平面口的方程，化简后的结果为尤-V+z=l和x+2y-z=6,则这两平

面所成角的余弦值为（）

A一比B,比C.D.叵

3333

22

6.设双曲线C：工一斗=1（。>0,b>0）的左焦点为F,直线4尤一3>+20=0过点F

ab

且与双曲线C在第二象限的交点为P,\OP\=\OF\,其中。为坐标原点，则双曲线C的

方程为（）

x1X2

A.上1B.上=1

169~916

C.上1D.x2上=1

T2124

22

7.已知AB,C是双曲线十%=1（.>0,方>0）上不同的三点，且C4+C2=2CO，直线

AC,BC的斜率分别为k1MgW0）.若I匕I+&I的最小值为2,则双曲线的离心率为

（）

A.76B.2C.壶口.手

8.已知双曲线，■-，=1（°>0,匕>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为专c（。为双曲

线的半焦距），则双曲线的离心率为（）

A.五B.疸C.它D.3币

327

二、多选题

9.如图，已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=AB,Q

为线段BC上一点（含端点），则直线PQ与平面PCD所成角不可能是（）

,e兀C兀一兀

A.0B.—C.—D.一

643

10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A="第一次出现2

点”，3="第二次的点数小于5点”，C="两次点数之和为奇数”，。="两次点数之和

为9”，则下列说法正确的有（）

A.A与8不互斥且相互独立B.A与。互斥且不相互独立

C.B与。互斥且不相互独立D.A与C不互斥且相互独立

11.已知圆C“+;/=〃2（力>0）,则下列结论正确的是（）

试卷第2页，共6页

A.无论〃为何值，圆C"都与y轴相切

B.存在整数“，使得圆C“与直线、=尤+2相切

c.当“=5时，圆C"上恰有n个整点(横、纵坐标都是整数的点)

D.若圆Cn上恰有两个点到直线y=x的距离为0,则2夜-2<〃<2忘+2

12.双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美

学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着

另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动(两条抛物线的顶点重合)所形成的就是马鞍

22

面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为=-当=2z(a>0,6>0),则下列

ab

说法正确的是()

A.用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线

B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线

C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线

D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线

三、填空题

22

13.如图所示，已知双曲线C:，-4=1(“>0,6>0)的右焦点为尸，双曲线C的右支上一

ab

点A，它关于原点0的对称点为B，满足ZAFB=120。,且|即=3|AF卜则双曲线C的离心

率是.

14.某人有3种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点

A、B、a4、耳、G上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安

装方法共有种.(用数字作答)

4氏

22

15.椭圆C：3+多=l,(a>6>0)与抛物线y2=2px,(p>0)有共同的焦点尸，点尸是椭

ab

圆与抛物线其中的一个交点，轴，则椭圆的离心率为.

16.在长方体ABCD-AB&A中，AD=AAt=l,钻=2,点E为A8的中点，则点8

到平面D、EC的距离为

四、解答题

17.如图，在三棱柱ABC-A与G中，4。，底面ABC,乙4c8=90。,441=2,人到平

面2CC4的距离为1.

⑵己知AA,与BBX的距离为2,求AB,与平面BCCiB］所成角的正弦值.

18.已知抛物线C：/=2/(°>0)的焦点为死过厂作垂直于x轴的直线与抛物线C

交于A、B两点,。为坐标原点，A08的面积为2.

(1)求抛物线C的标准方程；

⑵若直线/与抛物线C交于P,。两点，“(3,2)是线段尸。的中点，求直线/的方程.

19.抗击疫情众志成城.假期期间一高中同学积极参加社区抗疫宣传活动.抗疫宣传活动

共分3批次进行，每次活动需要同时派出2名志愿者，且每次派出人员均从5名志愿者

试卷第4页，共6页

同学中随机抽选，已知这5名志愿者中，有2人有活动经验，其他3人没有活动经验.

经验可以累积.

(1)求5名志愿者中“小K”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；

(2)求第二次抽选时，选到没有活动经验志愿者的人数最多可能是几人？请说明理由.

20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”,

两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲、乙两人在笔试中“通过”的概率

依次为050.6,在面试中“通过”的概率依次为040.3,笔试和面试是否“通过”是独立的,

那么

(1)甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？

(2)甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.

21.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额)(单位：亿元)的折线图.

投资额

4O

2O

0O

8O184

6O

4O148171

2O124

0O为了预测该地区

8O

6O35374242J753_4

4O6

2O11

2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量，的两个线性回归模型.根据2000

年至2016年的数据(时间变量/的值依次为1,2,,17)建立模型①：y=-30.4+13.5/；

根据2010年至2016年的数据(时间变量r的值依次为1,2,,7)建立模型②：

亍=99+17"

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

22.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的

总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材

积量(单位：n?),得到如下数据：

总

样本号i12345678910

和

根部横截面

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

积占

材积量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0.038，W＞：=1.6158,=0.2474.

i=li=li=l

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该

林区这种树木的总材积量的估计值.

汽(司一君(乂一歹)

附：相关系数一千曰"

-君2t(MT)。

Vi=li=l

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】用参数表示△树的周长，得关于。，c的齐次式，化简解方程，得离心率.

【详解】由题意可得J）?+。2+a—c+Ja2+b?=3a，所以2/—/+2〃c=0,

即2e?+2e-1=0,解得6=且匚或6=巫口（舍去）.

22

故选：D.

2.B

【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.

【详解】设甲第i局胜，i=l,2,3,且「依上夕外冷二^P但上（，

——1111115

则甲恰好连胜两局的概率=P（A4A）+P（44A）=/£X（I-；）+（1-1”个「土，

43343336

故选：B.

3.A

【分析】由所与AD接近平行时，交线接近是一个圆，郎=AC时，交线是一个长轴最大

的椭圆求解.

【详解】解：当口与AD接近平行时，交线接近是一个圆，离心率接近0；

当EF=AC时，交线是一个长轴最大的椭圆，

此时长轴长为出典=|AC|=2a=5,解得a=|,

又短半轴长为6=2,则焦距的一半为。=77^=（,

3

所以离心率e=1，

所以离心率的取值范围是（0,|.

故选：A

4.D

【详解】•••直线？1+41=5与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，.JH=J=i=:一二

或12,故选D.

考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到

直线的距离公式的应用.

答案第1页，共15页

5.B

【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值.

【详解】由题意，平面。和平面口的法向量分别是

祇n=(l,2,-1),

设平面a和平面夕的夹角为。，

I।即〃||l-2-l|2y/2

cos0Q=cosm,n\=:一=^-j=~金=——=——

11\m\-\n\V3-V63V23

故选：B.

6.D

【分析】将左焦点坐标代入4x-3y+20=0中可求出c,设右焦点为N,连接尸尸，PO,PN,

则三角形尸FN为直角三角形，可得尸尸=：c,PN=|c,然后利用双曲线的定义列方程可

求出。，从而可求出双曲线的方程

【详解】设左焦点尸的坐标为(-。,0),由点尸过直线4x-3y+20=0,

所以—4c—3x0+20=0,解得c=5,

设右焦点为N,连接尸F,PO,PN.

由|OP|=|OF|=|CW|=c,故三角形尸引V为直角三角形，即/7¥N=90。，

44

又因为直线斜率为设直线倾斜角为则tana=；.

又|/W|=2c,贝I］忸目=不，|P^|=-c,

由双曲线定义，则|尸'卜处用=不=2〃，

所以4=1,

所以廿=C2-4=25-1=24

2

所以双曲线C的方程为f-匕=1.

24

故选：D.

答案第2页，共15页

【分析】根据向量共线可知A,3两点关于原点对称，分别设出A,B,C三点的坐标，利

用点差法点差法表示出左和左2,根据基本不等式求得取最小值时满足。=助，计算即可求得

离心率.

【详解】CA+CB=2CO>，原点。是AB的中点，

不妨设4(占，%),C(%0,y0),

k{k2w0,%w不，w一芭,

又勺=止工,&=国土且A、B,C都在双曲线二-1=1(“>0,6>0)上，

X。%[%o1X]cib

(22

m=i

22

ah

••.2,,两式相减可得：

工一”=1

[a2b2~

_2,，..“1—27，

%〃%+%。左2

b1

-\K\-\k\=—,

2a

又周+|k2\>2加快I=]，当且仅当if时等号成立；

•••双曲线的离心率e=VL

故选：C.

答案第3页，共15页

【分析】根据焦点到渐近线的距离求得〃关于C的表达式，进而求得双曲线的离心率.

【详解】双曲线的一条渐近线为析-冲=0,

ab

焦点为（c,0）,

be

焦点到渐近线的距离为

+/

所以b=#c,

由于c2=/+〃，所以，=1+202==2也.

99a277

故选：C

9.CD

【分析】建立空间直角坐标系，由向量法求出线面角，再根据单调性求出范围，进而可得答

案.

【详解】由PA_L平面ABCD,底面ABCD为正方形得AB,A£）,AP两两垂直,

以A为坐标原点，所在直线分别为XMZ轴建立空间直角坐标系,

设正方形的边长为2,则A（0,0,0）,3（2,0,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,C（2,2,0）,

所以PC=（2,2,—2）,PD=（0,2,—2）,BC=（0,2,0）,BP=（-2,0,2）,

设平面PCD的法向量为h=（尤,y,z）,

n-PD=2y-2z=0/、

则,取y=l得”=（0,1,1）,

n•PC=2x+2y-2z=Q

因为。为线段BC上一点（含端点），

所以设3。=48c=（0,240）,（04241）,

所以PQ=3。-3P=（0,22,0）-（-2,0,2）=（2,22,-2）,

答案第4页，共15页

设直线PQ与平面PCD所成角为。，

I/\|\n-Pd122-2|1-2

则sin6=cos(n,PQ)\=L~=—J~,

।'4\n\\pd\6尔2+万,4+2-2

明显sin。随着4的增大而减小，当2=0时，sinO=g,当无=1时，sinO=O,

171

即sin8£0,—,又8w0,—,

所以ewoJ,T-,所以。不可能是7T;或7T

_6」43

故选：CD.

10.ABD

【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.

【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即

A与3相互独立；

第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A与8不互斥；故A正确；

对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与。

不相互独立；

第一次出现2点，则两次点数之和最大为8,即A与。不能同时发生，即A与。互斥，故B

正确；

对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即3与。

不相互独立；

若第一次的点数为5,第二次的点数4点，则两次点数之和为9,即8与D可以同时发生，

答案第5页，共15页

即B与。不互斥，故C错误；

对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，

即A与C相互独立；

若第一次的点数为2,第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时

发生，即A与C不互斥，故D正确.

故选：ABD.

11.AD

【分析】根据圆心到直线距离即可判断A,根据直线与圆相切得到方程，解出即可判断B,

将九=5代入，写出所有整数点即可判断C,首先写出圆心到直线y=x的距离­=也〃，从

2

而得到不等式组，解出即可判断D.

【详解】对A,由题意可知圆C"的圆心坐标为5,0),半径为九，

则圆心到y轴的距离等于圆C"的半径，则A正确.

对B,由圆c“与直线y=x+2相切，w11=«,解得〃=20+2，则B错误.

对C,当〃=5时，E|C„:(x-5)2+y2=25,

则C”上的整点有(0,0),(1,3),(1,-3),(2,4),(2,T),(5,5),(5,-5),(8,4),(8,T),(9,3),(9,-3),(10,0),

共12个，则C错误.

对D,圆心到直线y=x的距离d==走"，则〃一也“<拒解得

V2222

2夜-2<〃<2a+2，故D正确.

故选：AD.

12.AB

【分析】利用空间向量的相关知识，结合马鞍面的标准方程，逐一变换方程判断各选项即可

得解.

22

【详解】因为马鞍面的标准方程为^-4=2z(a>0,b>0),

ab

对于A,平行于xQy平面的面中z为常数，不妨设为Zo(z0#O),

22

得二-2=2z。，故所得轨迹是双曲线.，故A正确；

a~b'

对于B,法向量为(1,0,。)的平面中x为常数，不妨设为％,

答案第6页，共15页

则y2=-262z+，£,为抛物线方程，故B正确；

a

对于C,垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为%,

22

则X2=2°2Z+3,为抛物线方程，故C错误；

b

对于D,不妨设平面上的点坐标为A(x,y,z),

因为平面过原点且法向量为〃=(14,。)，由。4."=0，得x+y=。，

故代入马鞍面标准方程，得］jv=2z,

当。=6时，方程为z=0,不是物物线，故D错误.

故选：AB.

13.立

2

【分析】连接左焦点，得到平行四边形，通过余弦定理列方程即可解出.

设双曲线的左焦点为F'，连接AF',W,根据双曲线的对称性可知,

四边形AFBF为平行四边形，由题意以及双曲线定义，

可得忸尸|=|=3|=2a,

贝I]|=a,忸同=3a,NFL4F=60°,

所以|尸产T=|AFf+\AF^-2\AF'\-\AF\-cosZF'AF,

即2。2+。2即

4c=9_6/xg,4C2=7a2,

所以双曲线C的离心率为:e=£=且.

a2

故答案为：旦.

2

14.12

答案第7页，共15页

【分析】利用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排底面的三个顶点.由分步计数原

理可知所有的安排方法.

【详解】先安排下底面三个顶点共有A；=6种不同的安排方法，

再安排上底面的三个顶点共有C；=2种不同的安排方法，

由分步计数原理可知：共有6x2=12种不同的安排方法，

故答案为：12.

15.V2-1/-1+V2

【分析】依题根据椭圆与抛物线的共性用椭圆的半焦距表示点尸坐标，代入椭圆方程即可得

到a,b,c的齐次方程，解之即得.

【详解】

如图，设点尸(。，0),则。=与，因尸尸J_x轴，把x=c代入V=2px中，

解得：y2=2pc=4c2.

不妨取P(c,2c),再代入二+1.=1中，整理得：:+=

abaQ—c

化简得：c4—6a2c2+a4=0>即：e4—6e2+1=0)

解得：/=3±20,因0<e<l,则e=0-L

故答案为：V2-1.

16.逅

6

\n-EB\

【解析】以。为原点，建立空间直角坐标系，求出平面REC的一个法向量，利用d=

\n\

即可求解.

【详解】•.•在长方体ABCO-4及6"中,AO=AA=1,AB=2,

点E为AB的中点,

答案第8页，共15页

以。为原点，建立空间直角坐标系，如图:

B(l,2,0),C(0,2,0),E(l,l,0),Dx(0,0,1),

即EC=(-1,1,0),0^=(0,2,-1),EB=(0,1,0)

设平面DEC的法向量〃=(x,y,z),

,fn-EC=0[-x+y=Q

则，即《

[n-D,C=0[2y-z=0

令y=l,贝ljx=l,z=2,所以w=(l,l,2)

.•.点B到平面REC的距离:

J网」;娓

\n\瓜6

故答案为：立

6

17.(1)证明见解析

⑵史

13

【分析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得4。，平面BCG百，再由勾

股定理求出。为中点，即可得证；

(2)利用直角三角形求出A片的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【详解】(1)如图,

答案第9页，共15页

AC，底面ABC,BCu面ABC,

:.\CYBC,又3CJ.AC,AC,ACu平面AC,A,AlCr>AC=C,

:.BCl^ACCiAi,又3Cu平面BCC圈，

平面ACGA，平面BCC'Bi,

过A1作A。±CG交CG于0,又平面ACC；AJ平面BCC国=CC、,A。u平面ACqA,

AjOJ_平"面1BCC[B]

4到平面3CG用的距离为1，，4。=1，

在Rt/kAcq中，ACLACCG=朋=2,

设CO=x,则。]。=2-%,

为直角三角形，且C£=2,

22

co+A。=*2,AO2+OC2=c.,*2+A。；=qc,

.\1+X2+1+(2-X)2=4,解得x=l,

AC=A。=AG=V2,

/.A。—AC

(2)AC=AC'BC_LACBC±AC,

RtAACB^RtA^CB

BA=BA^,

过B作BOLAA，交AA于D,则。为A41中点,

由直线A4]与B2i距离为2,所以RD=2

答案第10页，共15页

AD=1，BD=2,:.仲=期=小，

在RtZXABC，BC=y/AB2-AC2=73>

延长AC,使AC=CM,连接G〃，

由CM/Z^CM=AG知四边形ACMC,为平行四边形，

/.C{M//\C,/.CXM±ABC,又AMu平面A3C,

/.C{M1AM

2

则在RtzXAGM中，AM=2AC,C{M=\C,A£=^lACf+^C,

在RtAABC中，4G=J&ACf+K,Bg=BC=6,

AB1=小(2同+(同+诋2=岳,

又A到平面BCQBi距离也为1,

所以4月与平面BCG百所成角的正弦值为《=巫.

V1313

18.(1)/=4%

(2)%-y-l=0

【分析】(1)由三角形面积求得P得抛物线方程；

(2)设4占,%),。(尤2，%)，代入抛物线方程相减，利用中点坐标求得直线的斜率，进而可

得直线方程.

【详解】⑴由题可得/(4,0),x=§代入抛物线方程得y2=2px4，y=±p,

2/2

|AB|=2p,

AQ3的面积S='x"x2p=2,

22

:♦P=2,

所求抛物线C的标准方程为丁=4x；

(2)易知直线/不与x轴垂直，设所求方程为：y-2=以尤-3),

答案第11页，共15页

设尸（玉,%），。（尤2,%），由p，。在抛物线c上得：,广

-［贡=4%

两式相减化简得：（%+%）（%-%）=4（为-9），

又...&±丛=2,丛二五=左，代入上式解得：k=l.

2x2-Xj

故所求直线/的方程为：y-2=lx（x-3）.

即%-y-l=O.

54

19.（1）——

125

（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人；理由见详解.

2

【分析】（1）由题意可得“小K”在每轮抽取中被抽取到的概率为：，然后根据二项分布的概率

公式即可求解；

（2）设X表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数，X可能的取值有0』,2,然后求出

相对应的概率，设4表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数，4可能的取值有0』,2,

根据题意求出对应的概率，然后比较概率的大小即可得出结论.

【详解】（1）5名志愿者中“小K”在每轮抽取中，被抽取到的概率为：，

7354

则这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率尸=C；x（I）1x（|）2=总.

（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.

设X表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数，X可能的取值有0,1,2,

c21C；xC；6_3-2）—

则尸(X=0)=沿=而；P(X=1)=历一寸P（X-2）一出一记

C5iu

设4表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数，4可能的取值有0,1,2,

「2「2「2「2「2n

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人‘P(<'5=0)'=—cf•-c-fH——c-——l--c0fH——G--c--；-=-1--0--0.'

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W〜2）_砥CC；c；c；c；_9

-可Q+歹•延+莺0。-访

因为尸C=i)>pq=o)>尸C=2),

答案第12页，共15页

故第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.

20.(1)甲获得录取的可能性大；

(2)0.308.

【分析】(1)利用独立事件的乘法公式求出甲、乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.

(2)应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取

的概率.

【详解】(1)记“甲通过笔试”为事件A，“甲通过面试”为事件“甲获得录取”为事件A,

“乙通过笔试”为事件与，“乙通过面试”为事件生，“乙获得录取”为事件8,则

P(A)=尸(A)P(4)=0.5X0.4=0.2,P(B)=尸(4)尸(功)=06x0.3=0.18,gp尸(A)>尸(B),