江苏省南京市江宁区2023-2024学年八年级下学期数学阶段练习题3月20日

2023-2024学年度第二学期八年级数学学科阶段练习

一.选择题（共10题）（每题2分）

1.下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是0

2.为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名

考生的成绩进行统计，下列说法：①这6000名学生的成绩的全体是总体；②每个考生

是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500.其中说法正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.下列说法正确的是（）

A.“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨

B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上

C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖

D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为〈”表示随着抛掷次数的增加，“抛出

朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在，附近

4.用反证法证明：“若心6>0,贝卜飞b”,应先假设（）

A.a<bB.a<bC.a2<b1D.a2<b2

5.如图，将。BC绕点C顺时针方向旋转43。得则/8/C等于

()

A.43°B.45°C.47°D.50°

6.如图，要使平行四边形/BCD成为矩形，需要添加的条件是（）

A.ZABD=ZCBDB.ZABC=90°C.AC1BDD.AB=BC

7.如图，矩形/BCD的对角线/C,8。相交于点。，CE//BD,DE〃AC,若AC=12,

试卷第1页，共8页

则四边形CODE的周长为（）

C.24D.30

8.如图，在正方形48CD中，尸为边48上一点，CF与BD交于点、E,连接/E,若

C.45°D.50°

9.如图，在〃/BCD中，AD=2AB,尸是4D的中点，作垂足E在线段48

上，连接E尸，CF,则下列结论：①/DCF=g/BCD；②EF=CF；③

NDFE=3ZAEF中一定成立的是（）

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③都成立

10.如图，已知菱形48co与菱形/EFG全等，菱形/EFG可以看作是菱形N2CD经

过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1

次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个.其中所有正确

结论的序号是（）

D.①②③

二.填空题（共8题）（每题2分）

11.在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分

试卷第2页，共8页

别是2、8、15、5,则第4小组的频率是.

12.综合实践小组的同学们做如下实验，将一枚图钉随意向上抛起，记录图钉落地后钉

尖触地的频数、频率表所下：

抛图钉的次数401203204807208009201000

钉尖触地的频数2050146219328366421463

钉尖触地的频率0.5000.4170.4560.4560.4560.4580.4580.463

根据上表估计将一枚图钉随意向上抛起一次时'钉尖触地”的概率约为(精确到

0.01)

13.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B，处.若N1=N2=

44°,则ND=度.

14.如图，在菱形/BCD中，4811y轴,且3(-3,1),C(1,4),则点/的坐标

为.

15.如图，矩形/BCD的对角线NC、AD交于点O,AB=6,5。=8,过点。作,

交/。于点£,过点£作垂足为尸，则OE+EF的值为.

16.如图，在平面直角坐标系中，口048C的边OC落在x轴的正半轴上，且点8(6,2),

点C(4,0),直线夕=2x+l以每秒1个单位长度的速度沿>轴向下平移，经过一秒该

试卷第3页，共8页

直线可将口GMBC分成面积相等的两部分.

17.如图，矩形/5CD中，AB=6cm,8C=8cm,瓦月是对角线/C上的两个动点，

分别从4c同时出发，相向而行，速度均为2cm/s,运动时间为f（0W5）秒，若G,H

分别是/民。C的中点，且踪2.5,当瓦G,凡〃为顶点的四边形为矩形时，f的值

为-.

18.如图，在矩形A8CD中，AB=3,8c=4,点尸在C3的延长线上，点。在直线/尸

上，连接8。，DQ,若44。。+/加。=180。，则8。的最大值为

三.解答题（共7题）

19.为了解今年全县2000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分同

学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）.请你根据提供的信息，解答下

试卷第4页，共8页

60<x<7

400.1

70<x<

120n

80<x<9

mh

90<x<l

800.2

(1)此次调查的样本容量为.

(2)在表中：m=；n=；h=.

(3)补全频数分布直方图；

(4)根据频数分布表、频数分布直方图，你获得哪些信息？

20.如图，在平面直角坐标系中，口△/8。的三个顶点分别是4-3,2),5(0,4),C(0,2).

(1)将。8C以点C为旋转中心旋转180。，画出旋转后对应的平移若

点/的对应点4的坐标为(。，-4),画出平移后对应的与G;

(2)若将A//。绕某一点旋转可以得到△外&g；请直接写出旋转中心的坐标；

(3)在x轴上有一点尸，使得P/+P8的值最小，请直接写出点尸的坐标.

21.如图，在〃4BCD中，BE平分/4BC,交AD于点、E,尸是6c上一点，且

CF=AE,连接。尸.

试卷第5页，共8页

ED

(1)探索线段DF与BE的关系，并说明理由；

⑵若48c=70。，求NC©尸的度数.

22.己知正方形/BCD,尸是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留

(1)在图①中，画尸。2垂足为。；

(2)在图②中，画垂足为H.

23.如图，在平行四边形48CD中，E、尸为对角线8。上两点，BE=DF,连接4E\

EC、CF、FA.

⑴求证：四边形/EC尸为平行四边形；

⑵若AB=AD,求证：四边形/ECF为菱形；

⑶在(2)的条件下，连接ZC交8。于点O,若/B:BE:/O=5:1:3.求证四边形/EC尸

为正方形.

24.实践操作：在矩形/BCD中，AB=4,AD=3,现将纸片折叠，点。的对应点记

为点P,折痕为E尸(点尸是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原.

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图①图②图③

⑴初步思考：若点P落在矩形/BCD的边上（如图①）.

①当点尸与点/重合时，/。斯=_，当点E与点/重合时，ZDEF=_；

②当点E在N8上，点尸在。。上时（如图②），求证：四边形OEP尸为菱形，并直接

写出当4P=3.5时的菱形EPED的边长.

（2）深入探究：点尸与点C重合，点E在力。上，线段8月与线段尸尸交于点M（如图

③）.是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段/£

的长度；若不存在，请说明理由.

25.定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四

边形叫做“准菱形”.如图①，在四边形48co中，若乙4=NC=90。，贝lj四边形N5CD

是“准矩形”；如图②，在四边形/BCD中，若4B=4D,BC=DC,则四边形/BCD是

“准菱形”.

（1）如图，在边长为1的正方形网格中，/、8、C在格点（小正方形的顶点）上，请

分别在图③、图④中画出“准矩形”/2CD和“准菱形”N5C0.（要求。、。在格点上）;

（2）下列说法正确的有「（填写所有正确结论的序号）

①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形.

（3）如图⑤，在△ABC中，ZJSC=90°,以NC为一边向外作，准菱形”NCER且NC=

试卷第7页，共8页

EC,AF=EF,AE、CF交于点、D.

①若UCE=UFE,求证：“准菱形”NCE尸是菱形；

②在①的条件下，连接AD,若BD='?,^ACB=15°,乙48=30。，请直接写出四边

形/CEF的面积.

试卷第8页，共8页

1.D

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180。后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，

以及轴对称图形的定义即可判断出.

【详解】A、••・此图形旋转180。后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心对称图形，是轴对称

图形，故此选项错误；

B、・.•此图形旋转180。后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此

选项错误；

C、此图形旋转180。后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此

选项错误；

D、•.•此图形旋转180。后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选

项正确.

故选：D.

【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解题的关键.

2.D

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所

抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、

样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据

的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.

【详解】解：这6000名学生的初中毕业考试数学成绩的全体是总体，故①说法错误；

每个考生的初中毕业考试数学成绩是个体，故②说法错误；

500名考生的初中毕业考试数学成绩是总体的一个样本，故③说法错误；

样本容量是500,故④说法正确.

・••说法正确的有④共1个.

故选：D.

【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、

个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是

范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.

3.D

【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固

定数附近，可得答案.

答案第1页，共21页

【详解】解：A.“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故/不符合题意；

B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为表示每次抛正面朝上的概率都是g,故B不符合题意;

C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖.故C不符合题意；

D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的

点数为2”这一事件发生的概率稳定在，附近，故D符合题意；

6

故选D

【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键.

4.C

【分析】

根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.

【详解】解：用反证法证明：“若a2b>0,则"士〃"，应先假设解〈年.

故答案为：C.

【点睛】本题考查了反证法，要掌握一些常见结论的否定方法.如“大于”的否定是“不大于

或小于等于“，“小于”的否定是“不小于”等等.

5.C

【分析】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角；旋转前、后的图形全等.先利用旋转的性质得到乙4cH=43。,//=N4,则根

据4CJL/®,利用直角三角形两锐角互余可计算出乙4'=47。，从而得到/胡。的度数.

【详解】解：••・”可绕点C顺时针方向旋转43。得到

.­.ZACA'=43°,ZA=ZA',

■:ACLAB',

.•./4=90。-43。=47。,

.-.ABAC=47°.

故选：C.

6.B

【分析】

根据矩形的判定方法进行解答即可.

【详解】解：A.•••四边形49CD为平行四边形，

答案第2页，共21页

・•.AD//BC,

・•.AADB=ZCBD,

•・•/ABD=/CBD,

・•・/ABD=/ADB,

AB=AD,

四边形/BCD为菱形，故A不符合题意；

B.由48C=90。可以判定平行四边形/BCD为矩形，故B符合题意；

C.由可以判定平行四边形/BCD为菱形，故C不符合题意；

D.由=8。可以判定平行四边形/BCD为菱形，故D不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法.

7.C

【分析】

由CE〃AD,DE//AC,可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形/BCD是矩形，

根据矩形的性质，易得。。=。。=6,即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案.

【详解】

解：•••CE//BD,DE//AC,

四边形CODE是平行四边形，

•••四边形/BCD是矩形，

AC=BD=U,OA=OC,OB=OD,

.-.OD^OC^-AC=6

2

四边形C8E是菱形，

四边形CODE的周长为：4OC=4x6=24,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形性质和菱形判定和性质的应用，解题的关键是熟练掌握有一组

邻边相等的平行四边形是菱形.

8.B

【分析】

根据正方形的性质证明△48E会△C2E,得到NF4E,在利用三角形内角和得到/8PC,

答案第3页，共21页

在根据三角形外角和的性质即可得出结论.

【详解】解：•••四边形NBCD是正方形，

AABC=90°,BC=BA,AABE=ACBE=45°.

在AABE和△C8E中，

BE=BE

<NABE=ZCBE,

BC=AB

."BEaCBE(SAS).

NBAE=NBCF=25°.

•••ZABC=90°,NBC尸=25。，

NBFC=180°—ZABC-ZBCF=180°-90°-25°=65°,

•••NBFC=ZBAE+ZAEF,

ZAEF=ZBFC-NBAE=65°-25°=40°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形

的判定、以及三角形的外角等于和它不相邻两个内角和的性质.解决正方形中角的问题一般

会涉及对角线平分对角成45。.

9.D

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性

质与判定等知识，先证明/尸=ED=CD,进而证明/DCF=/8C尸，由此即可证明

NBCD=2NDCF,即可判断①；延长EF,交延长线于证明

△AEF卷ADFM(ASA),得到FE=MF,NAEF=NM,再证明//EC="CD=90。，即可证

明尸C=FE,即可判断②；ZFEC=x,贝!]NFCE=X,求出NDCF=/DFC=9()o-x,得

到NEFC=180。一2x,则NEFD=270。-3x,由此即可判断③.

【详解】解："是/。的中点，

:.AF=FD,

■■■在UABCD中，AD=2AB,

AF=FD=CD,

ZDFC=ZDCF,

答案第4页，共21页

•「AD\\BC,

ZDFC=/FCB,

/DCF=ZBCF,

ZBCD=2ZDCF,故①正确；

□延长斯，交延长线于

•・・四边形/3C。是平行四边形,

AB//CD,

ZA=ZMDF,

♦.・F为AD中点，

:.AF=FD,

在△%£尸和^DFM中，

Z=ZFDM

<AF=DF,

ZAFE=ZDFM

「.△/斯丝△£)尸M(ASA),

:.FE=MF,AAEF=ZM,

•/CEVAB,

:.NAEC=90。,

ZAEC=/ECD=90。,

：FM=EF,

：.FC=FE,故②正确；

NECF=ZCEF,

③设“EC=x,贝l|"CE=x,

ZDCF=ZDFC=90°-x,

ZEFC=lS00-2x,

ZEFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,

答案第5页，共21页

■：ZAEF=90°-x,

:.ADFE=3AAEF,故③正确.

10.A

【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可.

【详解】解：将菱形向右平移至点3与点G重合，然后以点G为旋转中心旋转即可

得到菱形NEFG；故①符合题意；

将菱形/BCD向右平移至点C与点尸重合，然后以过点F的垂线为对称轴翻折即可得到菱

形AEFG；故②符合题意；

将菱形48CD以点N为旋转中心旋转即可得到菱形NEFG；

设直线8。、GE相交于点O,将菱形N8CD以点。为旋转中心旋转即可得到菱形NEFG；

但旋转中心只有点A和点。两个个，故③不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型.

11.0.4##-

5

【分析】

先求出第四组的频数，再利用频率=频数+总次数进行计算即可解答.

【详解】

解：由题意得，第4组的频数为50-2-8-15-5=20,

答案第6页，共21页

第4小组的频率为20+50=0.4,

故答案为：0.4.

【点睛】

本题考查了频数与频率，熟练掌握频率=频数+总次数是解题的关键.

12.0.46

【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来

越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就

是这个事件的概率.

【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.46附近,

所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.46,

故答案为：0.46.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟知频率和概率之间的联系是解答本题的关键.

13.114

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出NACD=NBAC=NB，AC,由三角形的外角

性质求出NBAC=NACD=NB，AC=：N1=22。，再由三角形内角和定理求出NB,再根据平

行四边形的性质求出ND即可.

【详解】•••四边形ABCD是平行四边形，

.­.ABIICD,

.♦ZACD=NBAC,

由折叠的性质得：ZBAC=ZB,AC,

NBAC=Z.ACD=NB，AC=}N1=22。，

.­.ZB=18O°-Z.2-ZBAC=180°-44°-22°=114°,

.,.zD=zB=114°.

故答案为：114.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到

NBAC=NB，AC,从而得到NBAC=NACD=ZB，AC是解题的关键.

14.(-3,6)

【分析】作BMLCr•于由。和3的坐标得出3N=3,BM=4,CM=3,由勾股定理

求出8C,由菱形的性质得出/8=8C=5,即可得出点A的坐标.

答案第7页，共21页

【详解】解：作8MLCD于与了轴交于点N,如图所示,

5(-3,1),C(l,4),

:.BN=3,BM=3+1=4,CM=4—1=3,ON=1,

BC=M+4。=5,

四边形NBCD是菱形,

AB=BC=5,

N8//y轴，

二点A的坐标为(-3,6)；

故答案为：(-3,6).

【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理熟练掌握菱形的性质，由勾

股定理求出8C是解决问题的关键.

24

15.—

5

【分析】

矩形/BCD的对角线NC、AD交于点O,AB=6,BC=8,过点。作交/D于

点、E,过点E作跖，3。，垂足为尸，则可求得OE+斯的值.

【详解】

解：•.5=6,BC=8,

二矩形48CD的面积为48,AC^^AB2+BC2=10>

.-.AO^DO^-AC=5,

2

•.•对角线/C、8。交于点O,

・・・△)。0的面积为12,

■.■EO1AO,EFA.DO,

S/OD=S.AOE+S.DOE>即12=—AOxEO+QDOxEF,

12=—x5xEO+—x5xEF,

22

答案第8页，共21页

；.5(EO+EF)=24,

24

.-.EO+EF=—,

24

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线

相等且互相平分.

16.6

【分析】

此题考查了平行四边形的性质，以及一次函数的知识，关键是正确掌握经过平行四边形对角

线交点的直线平分平行四边形的面积.先连接/C、80,交于点。，当＞=2x+l经过。点

时，该直线可将口。48c的面积平分，然后计算出过。且平行直线＞=2x+l的直线解析式,

从而可得直线7=2x+l要向下平移6个单位，进而可得答案.

【详解】解：连接NC、BO,交于点。，当了=2尤+1经过。点时，该直线可将口CMBC的

面积平分；

•.・四边形/0C8是平行四边形,

BD=0D,

■.■5(6,2)),

.•.0(3,1),

设。£的解析式为>=h+方，

••,平行于y=2x+l,

••・左二2,

•••过。(3,1),

1=2x3+6,

•••b=-5,

答案第9页，共21页

••.DE的解析式为y=2x-5,

直线y=2x-5于y轴交于点（0,-5）,

直线y=2x+l要向下平移6个单位，

・•・时间为6秒，

故答案为：6.

17.0.5或4.5

【分析】

如图所示，连接G",当瓦为顶点的四边形为矩形时，则四边形EG尸〃的对角线相

等，结合分类讨论即可求解.

【详解】解：如图所示，连接G4,

「矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,G,H分别是48,DC的中点，

GH=BC=8cm,

・•・E,尸是/C上的动点，速度均为2cm/s,运动时间为《04/45）秒，

AE=CF=2t,

当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时，则EF=GH=8cm,

.-.（T）£F=10-4?=8,解得,t=0.5；

@£F=2/+2Z-1O=8,解得，t=4.5；

综上所述，当/为0.5或4.5时，瓦G,尸,〃为顶点的四边形为矩形，

故答案为：0.5或4.5.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键.

18.A/13+2##2+V13

【分析】

本题考查动点最值-点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动

点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值-点圆模型的解

法转化为求线段20,长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-点圆模

答案第10页，共21页

型的解法是解决问题的关键.

【详解】解：.•・在矩形/3C。中，/氏〃）=90。，ZADQ+ZBAQ=lS0°f

ZADQ+ZDAQ=90°,gpZAQD=90°,

AD=BC=4,

.,.点。在以4D中点。为圆心、g/。长为半径的圆上运动，如图所示：

由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，2。的最大值为

连接BO并延长交。。于Q'的线段BQ'长，

.,.在RtA/BO中，AB=3,AO=^AD=2,则8。==砂+32=后,

BQ'=BO+OQ'=^[\3+2,

故答案为：V13+2.

19.（1）400

（2）160；0.3；0.4

⑶见解析

（4）见解析（答案不唯一）

【分析】

本题考查了频率与频数、频数分布表、频数分布直方图，熟练掌握频数分布表和频数分布直

方图是解题关键.

（1）利用60Vx<70分数段的频数除以频率即可得；

（2）根据频率、频数、此次调查的样本容量的关系求解即可得；

（3）根据加的值补全频数分布直方图即可得；

（4）根据频数与频率即可得.

【详解】（1）解：此次调查的样本容量为40+0.1=400,

答案第11页，共21页

故答案为：400.

(2)解：m=400-40-120-80=160,

"=120-400=0.3,

/!=1-0.1-«-0.2=1-0.1-0.3-0.2=0.4,

故答案为：160；0.3；0.4.

(3)解：根据加=160补全频数分布直方图如下:

(4)解：由频数分布表、频数分布直方图可知，80Mx<90的人数最多，其所占的频率为

0.4.

20.⑴见解析

⑵旋转中心为\，一】；

(3)点尸的坐标为(-2,0).

【分析】本题考查了旋转、平移作图.

(1)利用旋转和平移的性质即可完成；

(2)连接旋转前后的对应点即可找出旋转中心；

(3)作点/关于x轴的对称点连接48交x轴于点尸，则点P即为所求点，根据图象,

即可确定P点坐标.

【详解】(1)解:△48。和△4舞。2如图所示;

答案第12页，共21页

连接43交x轴于点P,则点尸即为所求点,

如图，点尸的坐标为(-2,0).

21.(1)BE且理由见解析

(2)35°

【分析】

答案第13页，共21页

本题考查平行四边形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

(1)证明四边形尸是平行四边形即可；

(2)根据=只要求出/4DC、/EDP即可.

【详解】(1)DF〃BES.DF=BE,理由如下：

••・四边形N8CD是平行四边形，

.­,AD=BC,AD\\BC,

CF=AE,

DE=BF,

又“DE〃BF,

.•.四边形BEDF是平行四边形,

.-.DF\\BE,DF=BE.

(2)•••四边形48CD是平行四边形，

••"ABC=ZADC=70°,

■:BE平分/ABC,

ZEBF=-ZABC=35°,

2

••・四边形BEDF是平行四边形，

:"EBF=NEDF=35°,

ZCDF=ZADC-ZEDF=35°.

22.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)连接点尸与正方形的对角线的交点，并延长交N3于一点，即为点。；

(2)连接2D,交4P于点尸，连接CF并延长交4D于点E,连接2E交4P于一点即为点

H.

【详解】(1)解：如图，尸。即为所求.

答案第14页，共21页

(2)解：连接3，交/P于点R连接W并延长交于点区连接3£交4尸于一点即

为点、H,

•・•四边形/8C。是正方形，3。为对角线，

：&DB=(CDB,AD=CD,

，：DF=DF,

；・/\ADF三ACDF,

:•乙DAF=cDCF,

,"DP=LCDE=9U。,

••.△ADP必CDE,

；.DE=DP,

:・AE=DP,

-AB=AD,乙BAE=UDP=90。,

-'.AABE=ADAP,

・••乙4BE=ZJ)AP,

•:乙BAH+乙DAP=9。。，

；・UBE+乙BAH=9。。,

山/力=90。，BPBH1AP

如图，8,即为所求.

答案第15页，共21页

【点睛】此题考查了利用正方形的性质作垂线，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性

质是解题的关键.

23.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】

(1)连接/C交8。于点0,根据平行四边形的对角线互相平分可得。4=0C,OB=OD,

然后求出OE=O尸，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；

(2)根据菱形的对角线互相垂直可得/CLEF,从而得到/C/8D,所以。/BCD需要满

足是菱形，即邻边相等；

(3)在(2)的条件下=90。，由勾股定理得30=4后，可得EO=BO-8E=3左，可得

AO=EO=OF,得至I]ZOAE=ZOEA=45°,ZOAF=ZOFA=45°,进一步得到

ZEAF=ZOAE+ZOAF=90°,再根据正方形的判定可得四边形NEC尸是正方形.

【详解】(1)

证明：如图，连接/C交8。于点0,

BE=DF,

:.0B-BE^0D-DF,

BPOE=OF,

答案第16页，共21页

四边形/EC尸是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；

(2)

证明：在〃48CD中，•.•48=40,

.["38是菱形，

ACLBD,

:.AC1EF,

，平行四边形NEC/是菱形.

(3)

证明：在(2)的条件下N/Q8=90。，

■：AB:BE:AO=5:1:3,

设/8=5左，则NO=3%,BE=k,

由勾股定理得30=4左，

:.EO=BO-BE=3k,

AO=EO,

:.AO=EO=OF,

AOAE=AOEA=45°,AOAF=ZOFA=45°,

ZEAF=ZOAE+NOAF=90°,

四边形/ECP是菱形.

四边形/EC尸是正方形.

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等，主

要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角

是直角的菱形是正方形，作出辅助线是解题的关键.

24.⑴①90。,45。；②证明见解析，菱形EPFD的边长为—

2o

3

(2)存在，AE=-

【分析】(1)①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；②由折叠知。尸=尸尸，

DE=PE,由平行线的性质可知/。自£=/尸£尸，于是ZPFE=/PEF,进而推出

DE=DF=PE=PF,得证四边形。EP尸为菱形，设4E=x,PE=DE=3.5-x,勾股定

答案第17页，共21页

iqoc

理求得x=9,得菱形边长为.

2o2o

(2)如图④中，连接EM.可证AE/M也AMPE(〃L),于是/£=设AE=x,则

3

AM=DE=3-x,Rt^CW中，运用勾股定理，(x+l>+3?=(4—尤>,解得了=^,

【详解】(1)①

如图，当点尸与点/重合时，ZZ)£F=Z^£F=1xl80°=90°,

当点£与点/重合时，^DEF=ABEF=1x90°=45°；

2

(2)如图②，

由折叠可知，DF=PF,DE=PE,

■：DF//EP

:.NDFE=NFEP,

•：NDFE=NPFE,

■■.ZPFE=ZPEF,

PF=PE,

：.DE=DF=PE=PF

••・四边形。E打'为菱形

/尸=3.5时，设