教师公开招聘考试小学数学（数列）模拟试卷6

教师公开招聘考试小学数学（数列）模拟试卷6一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知数列{an}满足a1=5，an一an+1+2=0(n∈N+)，则a10等于()．A、一13B、25C、23D、一15标准答案：C知识点解析：由题可知{an}为等差数列，公差为2，又a1=5，得到an=5+2(n一1)=2n+3，因此a10=23．2、在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c．已知a＜b＜c且a，b，c成等比数列，则a：c=()．A、3：4B、C、D、标准答案：B知识点解析：由题可知，解得a：c=．3、已知某等差数列共有20项，其奇数项之和为25，偶数项之和为45，则其公差为()．A、2B、3C、4D、5标准答案：A知识点解析：由题可知，奇数项和偶数项分别有10项，且相邻奇偶项相差一个公差，因此可知S偶一S奇一10d=45—25=20，解得d=2．4、若已知数列{an}的前n项和为Sn=3n—n2，则当n≥2时，下列不等式成立的是()．A、Sn＞na1＞nanB、Sn＞nan＞na1C、na1＞Sn＞nanD、nan＞Sn＞na1标准答案：C知识点解析：由题可知，Sn=3n一n2，则Sn—1=3(n一1)一(n—1)2=5n—n2—4，因此an=Sn一Sn—1=4—2n，nan=4n一2n2，又a1=2，则na1=2n．因为当n≥2时，nan一Sn=n(1一n)＜0，所以nan＜Sn，又Sn一na1=n(1一n)＜0，所以Sn＜na1，因此nan＞Sn＞nan．5、若Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，则=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设{an}的首项为a1，公差为d，则Sn=na1+．由题，得3S3=S6，即3(3a1+3d)=6a1+15d，解得a1=2d，因此6、已知2既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由题可知解得或分类计算得，或7、若等差数列{an}前4项的和是4，前8项的和是24，则a17+a18+a19+a20的值是()．A、67B、68C、69D、70标准答案：B知识点解析：在等差数列中，若前n项和为Sn，则数列{Sn+p—Sn}(p为常数，S0=0)也是等差数列．由题可知S4—S0=4，S8—S1=24—4=20，则数列{Sn—1一Sn}是首项为S4一S0=4，公差为的等差数列，因此a17+a18+a19+a20=S20一S16=(S4—S0)+(n一1)d=4+4×16=68．8、已知等比数列{an}的公比为q，且a1，a3，a2成等差数列，则q=()．A、1或B、1C、D、一2标准答案：A知识点解析：由题{an}为等比数列，因此a2=a1q，a3=a1q2，又a1，a3，a2成等差数列，则2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q，解得q=或q=1．9、若{an}是首项为1，公比不为1的等比数列，已知9S3=S6，则数列的前5项和为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题可知，解得q=2，则，因此数列是以1为首项，为公比的等比数列，则10、通过对市场实际情况的调查统计，预测某品牌电视机从年初开始n个月内累计的需求量Sn(万件)近似满足Sn=(21n一n2—5)(n=1，2，…，12)，据此推测本年度内需求量超过1．5万件的月份是()．A、5月、6月B、6月、7月C、7月、8月D、8月、9月标准答案：C知识点解析：由题可知每月需求量满足an=Sn一Sn—1又an＞1．5，即，解得6＜n＜9，又n∈N+，因此当n=7或8时，即7月和8月两个月需求量超过1．5万件．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、已知等差数列{an}，a2、a6是方程x2一4x一12=0的两个根，则a3+a7=_____．FORMTEXT标准答案：0或8知识点解析：解方程x2—4x一12=0得，x1=6，x2=一2，①若a2=一2，a6=6，则a6一a2=4d=6一(一2)=8，即d=2，所以a3+a7=(a2+d)+(a6+d)=一2+2+6+2=8；②若a2=6，a6=一2，则a6一a2—4d=一2—6=一8，即d=一2，所以a8+a7=(a2+d)+(a6+d)=6+(一2)+(一2)+(一2)=0．12、已知{an}为等差数列，其前11项的和S11=22，则a3+a5+a7+a7=_____．FORMTEXT标准答案：8知识点解析：已知{an}为等差数列，则S11==22，即a1+a11=4，又因为a1+a11=a3+a9=a5+a7，所以a3+a5+a7+a9=4+4=8．13、已知数列{an}，a2=2，数列{bn}为等差数列，bn=an+2一an一n，且b2=一1，b5=5，则a10=_____．FORMTEXT标准答案：42知识点解析：由{bn}为等差数列，b2=一1，b5=5可得，，b1=b2一d=一1—2=一3，则bn=b1+(n一1)d=一3+2(n一1)=2n一5，所以an+2一an=bn+n=3n一5，由叠加法得，(a10一a8)+(a8一a6)+(a6一a4)+(a4—a2)=19+13+7+1=40，即a10=40+a2=40+2=42．14、已知{an}为等差数列，其前72项和为Sn=一n2+3n，{bn}为等比数列，其前n项和为Tn=2·4n—1一1，而数列{cn}的通项公式为cn=bn+(一1)nan+1，其前n项和为Un，则Un=_____．FORMTEXT标准答案：2041知识点解析：由已知可得，c1=b1—a2，c2=b2+a3，c3=b3—a4，…，c6=b6+a7，故U6=c1+c2+…+c+=b1+b2+…+b6—a2+a3一…+a7=T6一(a2+a4+a6)+(a3+a5+a7)=T6+3(a5一a4)，又等差数列{an}的前n项和Sn=na1+=一n2+3n，a1=S1=2，故公差d=一2，等比数列{bn}的前n项和Tn=2·4n—1=1，故T6=2×45一1=2047，所以U6=T6+3(a5一a4)=T6+3d=2047+3×(一2)=2041．15、若Sn是等比数列的前n项和，已知S3=a2+10a1，且a5=9，则a1=______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由题可得S3=a1+a2+a3=10a1+a2，因此a3=9a1，又a3=a1q2可得q=±3，又已知a5=a1q4=81a1=9，所以a1=．16、记[x]为不超过x的最大整数．例如，[2]=2，[1．5]=1，[一0．3]=一1．设a为正整数，数列{xn}满足xn=a，xn+1=(n∈N+)．现有下列命题：(1)当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；(2)对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时，总有xn=xk；(3)当n≥1时，xn＞；(4)对某个正整数k，若xk+1≥xk，则xk=其中的真命题有______(写出所有真命题的编号)．FORMTEXT标准答案：(1)(3)(4)知识点解析：对于(1)，当a=5时，x1=5，x2==3，x3==2，命题(1)为真；对于(2)，若a=3，则x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1…此时数列从第二项起各项以2，1为周期重复出现，因此命题(2)不成立；对于(3)，由题干可知xn∈N*，当n=1时，x1=a，，明显有xn＞0，当n＞1时，若xn+是正奇数，则xn+1=，若xn+是正偶数，则xn+1=综上可得xn＞成立，从而命题(3)正确；对于(4)，因有xk+1一xk≥0，故一xk≥0，则，又由命题(3)知，而xk是一个取整的数，因此xk=，命题(4)正确．17、{an}为等比数列，已知an=512，q=，Tn表示它的n项之积即Tn=a1·a2·a3…an，则Tn取得最大值时n=______．FORMTEXT标准答案：9或10知识点解析：由题an=，当an＞1时，Tn随n增大而减小，又当n=10时，a10=，则当n≤9时，an＞1，当n＞10时，0＜an＜1，所以当n为9或10时，Tn取最大值．18、在数列{an}中，已知a1=a，an=(n≥2)(a≠0)，则an=______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由题可知(n≥2)，令bn=，则b2=2+b1，b3=3+b2，…，bn=n+bn—1，因此等式两边分别相加得bn=b1+(2+3+…+n)=，所以19、等比递增数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，已知S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由题可知，两式相减得到a1q2+a1q3=3a1q3—3a1q，即2q2—q—3=0，解得q=或q=一1(舍)．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)已知{an}是等差数列，a1=20，d=一2，前n项和为Sn.20、求{an}的通项公式an和前n项和Sn；标准答案：{an}是等差数列，a1=20，d=一2，则an=a1+(n一1)d=20一2(n一1)=22—2n，Sn==一n2+21n．知识点解析：暂无解析21、设{bn一an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Tn．标准答案：因为{bn，an}是首项为1，公比为2的等比数列，则bn—an=(b1一a1)qn—1=1×2n—1=2n—1，即b1一a1=20，b2一a2=21，b3一a3=22，…bn一an=2n—1．上述等式左右分别加和得，Tn—Sn=1+2+22+…+2n—1，则Tn==n2+21n+2n—1.知识点解析：暂无解析已知数列{an}的各项为：22、通过观察给出的数列各项，归纳{an}的通项公式，并说明是什么数列；标准答案：观察数列{an}各项，可得因此an+1=比较an和an+1可知，数列{an}是首项为1，公差为的等差数列．知识点解析：暂无解析23、若bn=·an，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.标准答案：根据题意bn=则Tn=又因此即因此Tn=知识点解析：暂无解析给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+．24、求证：对任意n∈N+，都有an+1一an≥c；标准答案：因为c＞0，故①x≥一c时，f(x)=2(x+c+4)一(x+c)=x+c+8，则an+1一an=f(an)一an=an+c+—8一an=c+8＞c；②当一c一4≤x＜一c时，f(x)=2(x+c+4)+(x+c)=3x+3c+8，则an+1一an=f(an)一an=3an+3c+8一an=2an+3c+8≥2(一c一4)+3c+8=c；③当x＜一c一4时，f(x)=一2(x+c+4)+(x+c)=一x—c一8，则an+1一an=f(an)一an=一an一c一8一an=—2an一c一8＞一2(一c一4)一c一8=c．所以，对于任意n∈N+，都有an+1一an≥c．知识点解析：暂无解析25、是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．标准答案：假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．则由(1)及c＞0可得，an+1＞an即{an}为无穷递增数列．又因为{an}为等差数列，所以存在正数N，当n＞N时，an≥一c，此时an+1=f(an)=an+c+8，则公差d=c+8．①当a1＜—c一4时，a2=f(a1)=—a1一c一8，又因为a2=a1+d=a1+c+8，两式联立，得a1=一c一8，a2=0，则当n≥2时，因为{an}为无穷递增数列，故an≥a2=0＞一c，即当n≥2时，an+1—an=f(an)—an=c+8成立，又a2一a1=c+8，故{an}为无穷等差数列，首项a1=一c一8，公差d=c+8；②当—c一4≤a1＜一c时，a2=f(a1)=3a1+3c+8，又因为a2=a1+d=a1+c+8，两式联立，得a1=一c，a2=8，应舍去；③当a1≥一c时，因为an≥a1，则在n∈N+时，均有an+1一an=f(an)一an=c+8，故{an}为无穷等差数列．综上所述，存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列，a1的取值范围为{一c一8}∪[一c，+∞)．知识点解析：暂无解析为保护环境，某市计划在若干年间用电力型和混合动力型公交车更换掉燃油型公交车8000辆．每增加一辆新车，则淘汰一辆旧车．计划第一年投入电力型公交车64辆和混合动力型公交车200辆，以后每年投入的电力型公交车比上一年增加50％，投入的混合动力型公交车则比上一年多m辆．26、求经过n年，该市被更换的公交车总数T(n)；标准答案：设an、bn分别是第n年某市投入的电力型公交车和混合动力型公交车的数量，则由题意可知，{an}是首项a1=64，公比q=1+50％=的等比数列，则前n项和Sn=；{bn}是首项a1=200，公差d=m的等差数列，其前n项和Tn=所以经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)=Sn+Tn=知识点解析：暂无解析27、若该市计划8年内完成全部更换，求m的最小值．标准答案：若计划8年内全部更换完，则T(8)≥8000，即解得，又因为m∈N+，故mmin=116．知识点解析：暂无解析若数列{an}的前n项和为Sn，已知(n∈N*)．28、求数列{an>}的通项公式；标准答案：因为Sn=n(n+2)，Sn—1=(n一1)(n+1)，则an=Sn一Sn—1=2n+1(n≥2)，当n=1时，a1=S1一3，所以数列{an}的通项公式an=2n+1．知识点解析：暂无解析29、设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使Tn≤对所有n∈N*都成立的最小正整数m．标准答案：bn=因此Tn=b1+b2+…+bn因为，所以，m≥12，则满足条件的最小正整数为12．知识点解析：暂