2024年湖南省衡阳八中高考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖南省衡阳八中高考数学一模试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|0＜x≤1}2．（5分）为了得到函数y=sin(2x−π3)A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的123．（5分）已知两个单位向量e→1与e→2的夹角为π3，若a→=A．−12 B．12 4．（5分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝7，S6＝63，若关于n的不等式S2n﹣tan+33≥0对任意的n∈N*恒成立，则实数t的最大值为（）A．12 B．16 C．24 D．365．（5分）已知直线l的倾斜角α满足120°＜α≤135°，则l的斜率k的取值范围是（）A．[−1，−33) C．(−3，−1] 6．（5分）若复数1+ai1−i2023（a∈RA．﹣1 B．0 C．1 D．27．（5分）已知△ABC中，AC=1，AB=2，BC=3，在线段AB上取一点M，连接CM，如图①所示．将△ACM沿直线CM折起，使得点A到达A′的位置，此时△BCM内部存在一点N，使得A′N⊥平面BCM，NC=73，如图②所示，则AA．25 B．35 C．48．（5分）若函数f（x）＝ax+bx在（0，+∞）上单调递增，则a和b的可能取值为（）A．a＝ln1.1，b＝10 B．a＝ln11，b＝0.1 C．a＝e0.2，b＝0.8 D．a＝e﹣0.2，b＝1.8二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）定义在D上的函数f（x），如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）A．y=2sin(2x+πB．y＝2x C．y=xD．y＝x﹣[x]（[x]表示不大于x的最大整数）（多选）10．（5分）将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”，则（）A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲与事件丁是相互独立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙与事件丁是对立事件（多选）11．（5分）已知点F是抛物线C：x2＝8y的焦点，直线l经过点F交抛物线于A，B两点，与准线交于点D，且B为AD中点，则下面说法正确的是（）A．AF→B．直线l的斜率是±1C．|AB|＝9 D．设原点为O，则△OAB的面积为26（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠π2且x≠3π2}A．当x∈(0，π2)时，tanxB．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，则x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）已知(1+x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x814．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知3S3＝S2+2S4，且a4＝1，则公差d＝．15．（5分）已知圆台的高为2，上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为4，A，B两点分别在圆O1、圆O2上，若向量O1A→与向量O2B→的夹角为60°，则直线AB与直线O16．（5分）如图，在矩形ABCD中，|AB|＝2|AD|，A1，A2分别为边AB，CD的中点，M，N分别为线段A2C（不含端点）和AD上的动点，满足|MA2||CD|=|DN||AD|，直线A1M，A2N四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{an}满足a1（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝log2an，求数列{1bn18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＝3b2+c2，且sinC＝2sinB．（1）求角A的大小；（2）若b+c＝6，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，求AD的长度．19．（12分）如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：AD⊥BC（Ⅱ）若AB＝4，BC＝2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．20．（12分）某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”．（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中55%的成年人平均每天读书时长不低于a小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到0.1）（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数x（x＞1），适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少10lnx%，“读书迷”愿意加入的人数会减少10lnx0.1lnx+1.1%．问会费参数x21．（12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为42，离心率为2，过C的左焦点（1）求双曲线C的方程；（2）若AF1=42，求∠F（3）若M（﹣2，0），试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝ke2x﹣（x+1）．（1）判断函数f（x）的零点个数；（2）当k＝1时，若对x∈[0，1]，函数F(x)=x+1f(x)+x+1−2xcosx的图象都不在H(x)=

2024年湖南省衡阳八中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|0＜x≤1}【解答】解：由y＝lg（2x﹣1）可知：2x﹣1＞0，即x＞0，故B＝{x|x＞0}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}∩{x|x＞0}＝{x|0＜x≤1}．故选：D．2．（5分）为了得到函数y=sin(2x−π3)A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的12【解答】解：为了得到函数y=sin(2x−π只要把函数y=sin(x−π3)故选：B．3．（5分）已知两个单位向量e→1与e→2的夹角为π3，若a→=A．−12 B．12 【解答】解：两个单位向量e→1与e→则|e1→a→=e→1则a→⋅b→=e1→2+m故选：C．4．（5分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝7，S6＝63，若关于n的不等式S2n﹣tan+33≥0对任意的n∈N*恒成立，则实数t的最大值为（）A．12 B．16 C．24 D．36【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），则S3解得q＝2，a1＝1，∴an∴关于n的不等式S2n﹣tan+33≥0，即22n﹣t×2n﹣1+32≥0，即t≤2n+1+322n−1解法一：设f(n)=2则f(n+1)−f(n)=2当n＝1时，f（n+1）﹣f（n）＜0，当n＝2时，f（n+1）﹣f（n）＝0，当n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＞0，又f（2）＝f（3）＝24，∴当n＝2或n＝3时，f（n）min＝24，∴t≤24，tmax＝24．故选：C．解法二：由2x+1当且仅当2x+1=32又n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，2n+1故t≤24，tmax＝24．故选：C．5．（5分）已知直线l的倾斜角α满足120°＜α≤135°，则l的斜率k的取值范围是（）A．[−1，−33) C．(−3，−1] 【解答】解：根据函数k＝tanα的单调性，可知k的取值范围是(−3故选：C．6．（5分）若复数1+ai1−i2023（a∈RA．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为1+ai1−所以a+1=0a−1≠0，解得a故选：A．7．（5分）已知△ABC中，AC=1，AB=2，BC=3，在线段AB上取一点M，连接CM，如图①所示．将△ACM沿直线CM折起，使得点A到达A′的位置，此时△BCM内部存在一点N，使得A′N⊥平面BCM，NC=73，如图②所示，则AA．25 B．35 C．4【解答】解：根据题意，连接MN．因为A′N⊥平面BCM，CN，MN⊂平面BCM，所以A′N⊥CN，A′N⊥MN．在Rt△A′CN中，A′C=AC=1，CN=7所以A′N=A′所以在Rt△A′MN中，A′M＞A′N=2因为在△ABC中，AC2+BC2＝1+3＝4＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，A＝60°，B＝30°．因为CN=73，所以点N在以点C为圆心，73作CD⊥AB于点D，因为点C到直线AB的距离CD=ACsinA=32，且所以圆C与线段AB交于两点，记为N1和N2，记圆C与线段CB的交点为N3，如图所示．在△ACN1中，由余弦定理得cosA=AC2同理，在△ACN2中，AN2=23．因为A′M=AM＞23因为点N在△BCM内部，所以点N在弧N2N3上（不含点N2和N3）．设AM＝A′M＝t，当点N在点N2时，MN=MN在Rt△A′MN中，A′M2＝MN2+A′N2，即t2=(当点N在点N3时，MN＝MN3．在Rt△A′MN中，A′M2＝MN2+A′N2，即t2=MN在△BMN3中，BM=2−t，BN由余弦定理得MN代入数据，解得t=21因为随着t的增大，点M靠近点B，线段MN的长增大，点N靠近点N3，所以A′M＝t的取值范围为(12，21−32)故选：B．8．（5分）若函数f（x）＝ax+bx在（0，+∞）上单调递增，则a和b的可能取值为（）A．a＝ln1.1，b＝10 B．a＝ln11，b＝0.1 C．a＝e0.2，b＝0.8 D．a＝e﹣0.2，b＝1.8【解答】解：f（x）＝ax+bx，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，f′（x）＝axlna+bxlnb，令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝ax（lna）2+bx（lnb）2＞0恒成立，故f′（x）＝axlna+bxlnb在（0，+∞）上单调递增，要想f（x）＝ax+bx在（0，+∞）上单调递增，只需f′（0）＝lna+lnb≥0，即只需ab≥1，A选项，ab＝10ln1.1，令h（x）＝x﹣1﹣lnx，x＞1，则h′（x）＝1−1故h（x）＝x﹣1﹣lnx在（1，+∞）上单调递增，故h（1.1）＞h（1）＝0，即0.1＞ln1.1＞0，故ab＝10ln1.1＜10×0.1＝1，A错误；B选项，由于ln11＜10，故ab＝0.1ln11=ln1110＜C选项，ab＝0.8e0.2，令q（x）＝（1﹣x）ex，x∈（0，1），则q′（x）＝﹣ex+（1﹣x）ex＝﹣xex＜0恒成立，故q（x）＝（1﹣x）ex在（0，1）上单调递减，故q（0.2）＜q（0）＝1，即0.8e0.2＜1，C错误；D选项，ab＝1.8e﹣0.2，令w（x）＝ex﹣x﹣1，x∈（﹣1，0），则w′（x）＝ex﹣1＜0恒成立，故w（x）＝ex﹣x﹣1在（﹣1，0）上单调递减，故w（﹣0.2）＞w（0）＝0，即e﹣0.2＞1﹣0.2＝0.8，故ab＝1.8e﹣0.2＞1.8×0.8＝1.44＞1，D正确．故选：D．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）定义在D上的函数f（x），如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）A．y=2sin(2x+πB．y＝2x C．y=xD．y＝x﹣[x]（[x]表示不大于x的最大整数）【解答】解：因为|2sin（2x+π3）|≤2，故存在M＝2使得|f（x）|≤2成立，因为y＝2x＞0恒成立，且随着x的增大，y＝2x→+∞，故不存在M，使得对任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立，B不符合题意；因为|y|＝|x2+1x|＝|x+1x|≥2，x→+∞时，|f（x）|→+∞，故不存在M，使得对任意x∈D，都有|f（x因为y＝x﹣[x]=⋯⋯故0≤f（x）＜1，故存在实数M＝1，使得|f（x）|≤M成立，D正确．故选：AD．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”，则（）A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲与事件丁是相互独立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙与事件丁是对立事件【解答】解：对于A，事件甲与事件丙不能同时发生，∴事件甲与事件丙是互斥事件，故A正确；对于B，事件甲发生的概率为P1=16，事件丁发生的概率为P2事件甲和事件丁同时发生的概率为p=136=P1∴事件甲与事件丁是相互独立事件，故B正确；对于C，事件乙包含的基本事件有（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），事件丙包含的基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），∴事件乙不包含于事件丙，故C错误；对于D，事件丙与事件丁不能同时发生，能同时不发生，∴事件丙与事件丁是互斥事件，但不是对立事件，故D错误．故选：AB．（多选）11．（5分）已知点F是抛物线C：x2＝8y的焦点，直线l经过点F交抛物线于A，B两点，与准线交于点D，且B为AD中点，则下面说法正确的是（）A．AF→B．直线l的斜率是±1C．|AB|＝9 D．设原点为O，则△OAB的面积为26【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，2），由B向准线作垂线，垂足为M，由A向准线作垂线，垂足为N，连接BM，AN，如图：由题知，直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为：y＝kx+2，由y=kx+2x2=8y，得x2﹣8kx﹣16＝0，Δ＝64k2+64＞0，x1+x2＝8k，x1对于A，因为B为AD的中点，所以△DBM∽△ADN，所以|AN|＝2|BM|，因为|AF|＝|AN|，|BF|＝|BM|，所以AF→=2FB→对于B，因为AF→=2FB→，所以（﹣x1，2﹣y1）＝2（x2，所以x1＝﹣2x2，因为x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，所以16k×（﹣8k）＝﹣16，解得k=±24，故对于C，y1+y2＝k（x1+x2）+4＝8k2+4＝5，所以|AB|＝y1+y2+4＝9，故C正确；对于D，|x1﹣x2|=(x1所以△OAB的面积为12×|OF|×|x1﹣x2|=12×2×81+故选：AC．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x﹣tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠π2且x≠3π2}A．当x∈(0，π2)时，tanxB．x2+x1＜3π C．若x2＞x1，则x2﹣x1＞π D．x1sinx2+x2sinx1＜0【解答】解：A．设∠AOB=α∈(0，π2)，作出单位圆，与x轴交于A过点A作AC垂直于x轴，交射线OB于点C，连接AB，由三角函数定义可知AC＝tanα，AB=α设扇形OAB的面积为S1，则S△OAC＞S1，即12tanα＞12α当x∈(0，π2)时，有不等式tanx＞xB．画出y1＝tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠π2且x≠3π2由图象可知，x1∈(π，3π2)，x2∈(2π，5π2)，故C．y＝tanx的最小正周期为π，由图象可知x2＞x1+π，故x2﹣x1＞π，C正确；D．不妨设x2＞x1，则3π2因为y=1cosx在所以1cosx1由x1＝tanx1，x2＝tanx2可知，x1所以x1因为x1∈(π，3π所以sinx1＜0，sinx2＞0，所以sinx1sinx2＜0，所以x1sinx2+x2sinx1＜0，D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）已知(1+x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8【解答】解：由(1+x)令x＝1，可得a0即(a令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋯+a8＝0，即（a0+a2+a4+a6+a8）﹣（a1+a3+a5+a7）＝0，联立方程组，求得a0再令x＝0，可得a0＝1，所以2a0+a2+a4+a6+a8＝1+128＝129．故答案为：129．14．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知3S3＝S2+2S4，且a4＝1，则公差d＝﹣1．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2+2S4，a4＝1，可得3（3a1+3d）＝2a1+d+2（4a1+6d），即且a4＝a1+3d＝1，解得d＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）已知圆台的高为2，上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为4，A，B两点分别在圆O1、圆O2上，若向量O1A→与向量O2B→的夹角为60°，则直线AB与直线O1O【解答】解：作出示意图形，如下图所示，向量O1A→与向量O2B→的夹角为60°，结合O1A∥O2所以△BO2C为等边三角形，设点A在圆O2所在平面内的射影为D，连接AD、BD，则AD与O1O2平行且相等，且D为O2C中点，∠BAD（或其补角）就是异面直线AB与直线O1O2所成角，Rt△BCD中，BD=4在Rt△ADB中，AD＝O1O2＝2，得tan∠BAD=BDAD=即直线AB与直线O1O2所成角为π3故答案为：π316．（5分）如图，在矩形ABCD中，|AB|＝2|AD|，A1，A2分别为边AB，CD的中点，M，N分别为线段A2C（不含端点）和AD上的动点，满足|MA2||CD|=|DN||AD|，直线A1M，A2N的交点为P【解答】解：以A1A2所在的直线为y轴，线段A1A2的中垂线所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系：设|AD|＝|BC|＝m（m＞0），则|AB|＝|CD|＝2m，则有A（﹣m，−m2），B（m，−m2），A1（0，−m2），A2（0，m2），C（m，m设M（x0，m2）（0＜x0＜m），N（﹣m，y0）（−m2≤所以|MA2|＝x0，|DN|=m2−又因为|MA所以x0所以x0＝m﹣2y0或y0=m−又因为kAM=m所以直线A1M的方程为：y﹣（−m2）=m即y=mx0同理可得直线A2N的方程为：y−m2=−即y=m2−y0由y=m可得x=2即P（2x0m因为xP=2所以xP2=（2yP=2m3+mx022(2m=m24即有yP所以yP所以点P所在双曲线方程为：y2所以a2=m24，b即a2该双曲线的渐近线方程为y=±2故答案为：y=±2四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{an}满足a1（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝log2an，求数列{1bn【解答】解：（1）当n＝1时，a121=1a12当n≥2时，a12由①﹣②得an上式对n＝1也成立，综上，an（2）bn＝log2an＝n，1b设数列{1bn⋅bn+1所以Tn18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＝3b2+c2，且sinC＝2sinB．（1）求角A的大小；（2）若b+c＝6，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，求AD的长度．【解答】解：（1）由正弦定理及sinC＝2sinB，得c＝2b，因为a2＝3b2+c2，所以a2＝3b2+（2b）2＝7b2，即a=7由余弦定理得，cosA=b因为A∈（0，π），所以A=2π（2）由（1）可知A=2π3，c＝2所以c=2bb+c=6，解得c=4设AD＝x，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD=π因为S△ABD+S△ADC＝S△ABC，所以12解得x=bc故AD的长度为4319．（12分）如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：AD⊥BC（Ⅱ）若AB＝4，BC＝2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵DC⊥平面ABC∴DC⊥BC，又AC∩CD＝C，∴BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC．（Ⅱ）解：设CD＝a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C（0，0，0），B（2，0，0），A(0，23，0)，D（0，0，由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量是CA→设n→=（x，y，z）为平面由条件得，AB→=(2，−23，0)，∴n→⋅AB不妨令x＝1，则y=33，z∴n→又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，∴cosθ=5∴|cos＜n→，CA∴|n→⋅CA→∴VABCDE＝VE﹣ADC+VE﹣ABC=1=1=1＝8．∴该几何体ABCDE的体积是8．20．（12分）某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”．（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中55%的成年人平均每天读书时长不低于a小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到0.1）（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数x（x＞1），适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少10lnx%，“读书迷”愿意加入的人数会减少10lnx0.1lnx+1.1%．问会费参数x【解答】解：（1）某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查，根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图，如图，将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，将其中每天读书时长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”．样本中“阅读爱好者”出现的频率（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，“阅读爱好者”的人数＝200×16%＝32（万），“读书迷”＝200×（0.06×0.5）＝6（万），所以，32万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有6万人．（2）由题意可知至多有45%的成年人每天读书时长少于a，即找到45%分位数，0.5×0.72＝0.36＜45%，0.5×（0.72+0.44）＝0.58＞45%，所以，0.72×0.5+0.44×（a﹣0.5）＝45%，可得a=31即参考标准a不能高于0.7小时．（3）“阅读爱好者”中非“读书迷”约有26(1−lnx“读书迷”约有6(1−lnx令26(1−lnx化简得：13（lnx）2+113lnx﹣660≥0，解得：lnx≤−16513或lnx≥4，所以x≥e会费参数x至少定为e4时，才能使入会的人员不超过20万人．21．（12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为42，离心率为2，过C的左焦点（1）求双曲线C的方程；（2）若AF1=42，求∠F（3）若M（﹣2，0），试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得2b=42e=ca=2c2=a所以双曲线的方程为：x2（2）由双曲线的定义可得|AF2|＝2a+|AF1|＝42+42=82，|F1F2|＝2在△F1AF2中，由余弦定理可得cos∠F1AF2=|A所以∠F1A