【导学案及答案】3.8圆内接正多边形导学案

3.8圆内接正多边形导学案学习目标1.掌握正多边形和圆的关系；2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.学习策略1.学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，从而培养学生的概括能力和实践能力.2.通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.学习过程 一.复习回顾：1.你能举出正多边形的例子吗？2.三条边相等，三个角也相等（60°）.四条边都相等，四个角也相等（90°）.正多边形：3.___________，_____________的多边形叫做正多边形.4.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.二.新课学习：1.圆内接正多边形的概念定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.（1）把一个圆等分（），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.（2）如图，五边形是圆的内接正五边形，圆心叫做这个正五边形的中心；是这个正五边形的半径；是这个正五边形的中心角；，垂足为，是这个正五边形的的边心距.2.尺规作图（1）用尺规作一个已知圆的内接正六边形.（2）用尺规作一个已知圆的内接正四边形.（3）思考：作正多边形有哪些方法？3.求正多边形的中心角、边长和边心距例如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.正六边形的中心角是多少度？正六边形的中心角的一半是多少度？如何做出正六边形的边心距？你能利用已知条件构造直角三角形吗？你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.三.尝试应用：1.对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形，你认为正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2.若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．3.如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．（1）求证：OP∥CB；（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．四.自主总结：1.正多边形概念：各相等、各也相等的多边形叫做正多边形．2.顶点都在同一个圆上的正多边形叫做.这个圆叫做该正多边形的.3.一个正多边形的外接圆的叫做这个正多边形的中心，外接圆的叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的.五.达标测试一、选择题1．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．62．图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O．则这个正三角形和正六边形边长的比为（）A．：2 B．：2 C．：1 D．2：13．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A． B． C． D．二、填空题4．正八边形的中心角等于度．5．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为．6．若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为．三、解答题7．已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）8．已知圆内接正三角形的面积为12，求这个圆的外切正方形的对角线的长．9．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．10．如图，⊙O是直径为4cm的圆形铁片，现用它截取最大的正方形ABCD．（1）求正方形ABCD的边长；（2）求四周多余部分的面积（π取3.1）．3.8圆内接正多边形达标测试答案一、选择题1．【解析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得，=40°，解得，n=9，故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．2．【解析】根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．【解答】解：设外接圆的半径为R，如图所示：连接O2A，O2B，则O2B⊥AC，∵O2A=R，∠O2AF=30°，∠AO2B=60°，∴△AO2B是等边三角形，AF=O2A•cos30°=R，∴AB=R，AC=2AF=R；∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为R：R=：1．故选C．【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．3．【解析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【解答】解：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角边，∴该三角形的面积是×1××=，故选：D．【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．二、填空题4．【解析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．5.【解析】△ABC是等腰直角三角形，斜边长是a，据此解求得△ABC的面积，则阴影部分的面积即可求解．【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB=a，则AC=BC=a，则S△ABC=AC•BC=ו=，中间的正方形的面积是：a2，则阴影部分的面积是：4×+a2=2a2．故答案是：2a2．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得三角形ABC的面积是关键．6．【解析】首先根据题意作出图形，由正六边形的性质，易得△BOC是等边三角形，然后由三角函数的性质，可求得OB的值，继而可求得答案．【解答】解：如图所示，连接OB、OC；∵此六边形是正六边形，∴∠BOC==60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∵OH=，∴在Rt△OBH中，OB===2，∴OB=OC=BC=2，即这个正六边形的半径为2．故答案为：2．【点评】此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题7．【解析】根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可．【解答】解：如图所示：首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．【点评】本题考查了正多边形和圆及作图的相关知识，解题的关键是弄清正六边形和圆及线段AB的关系．8.【解析】如图，作辅助线，证明DC=GH=2OG；根据已知条件求出OG，结合勾股定理问题即可解决．【解答】解：如图，连接GO并延长，交EF于点H，交BC于点M；由题意得：点O为正方形ABCD的中心，也是正△GEF的中心；∴OG=OM，GH⊥EF；而AD为⊙O的切线，∴GM⊥AD，而∠D=∠C，∴四边形MCDG为矩形，DC=GM=2OG；设⊙O的半径为λ，正方形ABCD的对角线为μ，由题意得：∠GOE==120°，sin120°=12，∴λ=4，DC=2λ=8；由勾股定理得：μ2=82+82，∴μ=，即这个圆的外切正方形的对角线的长为．【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；灵活运用正多边形和圆的关系来解析、判断是解题的关键．9．【解析】连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．【解答】证明：连结OE、OF、OG、OH．∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．∴AB=BC=CD=DA．∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．∴四边形ABCD是正方形．【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，解题的关键是熟记把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．10.【解析】（1）连接AO，DO，由题意可知∠AOD=90°，进而利用勾股定理即可求出正方形ABCD的边长；（2）由题意可知四周多余部分的面积=圆的面积﹣正方形