江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(应试笔记)

江苏省高考数学复习知识点

A1.集合性质与运算：不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想

A2.命题的否认与否命题

A3.复数运算

1.运算律：Wzm-zn=zm+n；⑵(z'")"=z"；⑶(Zi-Z2)"'=zr22"'(m,"eN).

【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.

2.模的性质:

(D|ZtZj1=1ZjIIz21；⑵|3|=同；⑶卜"|=目".

一一^2।Z2।

3.重要结论：

22

⑴|Z1—2I+1Z1+Z2『=2(|Z][2+1z2I);

(2)Z1-z=|z|2=|z|；⑶(1±2=±27；(4)--=

2。

⑸i性质：T=4；.

【拓展】：

\71，3

ft/=]o(0-])(<y-+/+1)=00口=1或口=--±---i.

722

A4.寻函数的的性质及图像变化规律：

(1)所有的幕函数在(0,+8)都有定义，并且图像都过点(LD;

(2)当。>0时，塞函数的图像通过原点，并且在区间[0,+8)上是增函数.特别地,

当°>1时，幕函数的图像下凸；

当0<a<l时，幕函数的图像上凸；

(3)。<0时，塞函数的图像在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴

右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

【说明】：对于暴函数我们只要求掌握a=l,2,3」,工的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1),

23

并且x=-1时图像都经过(1,1),把握好募函数在第一象限内的图像就可以了.

A5.统计

1.抽样方法:

2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.

频数

①频率=

样本容量

②小长方形面积=组距X磊频率=频率一.

组距

③所有小长方形面积的和=各组频率和=1.

【提醒1直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小

矩形的面积表示频率.

3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；

_11J

样本平均数：x=—(现+4++%,)=—£西

n-n,=1

4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).

(1)一组数据七,々,退，…,天

①样本方封小玉—斤+―…+❷—可卜的——与功一此炉;

②样本标准差

cr=后=君2+(%2一元)2+•••+(X”—元)2]=£(X,一于)2

\n\n,=1

⑵两组数据看,々，/，…，龙”与%，%，%，…，%，其中y=axi+b,z=1,2,3,那么y=dx+b,它们的

方差为=c『S；,标准差为％=|a|(yx

③假设和％2，「，X”的平均数为x，方差为§2,那么以1+仇仁+Z?,，叼,+/?的平均数为ax+Z?,方差为

a2s2.

222

样本数据做如此变换：X.=axt+b,那么x=ax+6,(S')^aS.

B、(5〜9,中档题，易丢分，防漏/多解)

B1.线性规划

1、二元一次不等式表示的平面区域：

(1)当A>0时，假设Ar+W+C>0表示直线/的右边，假设Ax+为+C<0那么表示直线/的左边.

(2)当3>0时，假设Ax+By+C>0表示直线/的上方，假设Ax+为+C<0那么表示直线/的下方.

2、设曲线C:(Ax+4y+£)(4》+7?2丁+C?)=0(443]耳/0),那么

(4工+4丁+。1)(4工+与)；+。2)>0或<0所表示的平面区域：

两直线4工+4丁+孰=0和4%+82丁+。2=0所成的对顶角区域〔上下或左右两局部).

3、点月(%,%)与曲线/(x,y)的位置关系：

假设曲线/(x,y)为封闭曲线〔圆、椭圆、曲线|x+a|+|〉+Z?|="z等)，那么/(%,%)>0,称点在曲线外

部；

假设f(x,y)为开放曲线〔抛物线、双曲线等)，那么/(%,%)>0,称点亦在曲线“外部”.

4、直线/:Ar+8y+C=0,目标函数2=加+取

①当3>0时，将直线/向上平移，那么z的值越来越大；直线/向下平移，那么z的值越来越小；

②当3<0时，将直线/向上平移，那么z的值越来越小；直线/向下平移，那么z的值越来越大；

5、明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义：

(1)z=ax+by,假设〃>0,直线在y轴上的截距越大，z越大，假设〃<0,直线在y轴上的截距越大，z

越小.

(2))二二表示过两点(x,y),(w,〃z)的直线的斜率，特别上表示过原点和(〃,〃。的直线的斜率.

x-nx

(3〕r=(x-相T+G-J表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.

(4)y=J(…y+(y-〃y表示(x,y)到点(0,0)的距离.

〔5〕F(cos仇sinff)；

⑹d尸+为";

22

VA+JB

(7)a?土ab+Z?2；

【点拨工通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x?+y2=l上的点(cosasin。)及余弦定理进行转

化到达解题目的。

B2.三角变换：

(1)角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技

巧，如下：

2a=(X+(X)a；=2x—；

2

"=2•彳，呼+分")；

/小c/门、c£a-BB+aB-a

a=(a+6)一尸=(a―6)+月=—#+——=---------;

2a=2[(a+f3)-f3]=2[(a-+J3]=(a+/3)+(a-/3)=(J3+a)—(/3—a)；

2a+4=(a+p)+6/,2a—f3—(a—0)+a；

15°=45°-30°,75°=45°+30°；

—+a=---a\等.

42\4/

⑵“降幕”与“升事”(次的变化)

sin2aJ-0产,cos2aJ+s产,

〔3〕切割化弦(名的变化〕

利用同角三角函数的根本关系经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.

⑷常值变换

常值上,冬冬冬1,6可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值“1”可作如下代换:

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=2sin30°=tan—=sin—=cosO=等.

42

⑸引入辅助角

一般的，asina+bcosa=a2+b2(,"sina+,'cosa)=sin(tz+(p),

yla2+b2y/a2+b2

44■3a.bb

期中COS0=/,sm0=tan0=—.

y/a2+b2y/a2+b2a

特别的，sinA+cosA=A/2sin(A+—)；

4

sinx+V3cosx=2sin(x+y),

百sin%+cosx=2sin(%+工)等.

6

[6)特殊结构的构造

构造对偶式，化繁为简.

举例：A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

可以通过两式和，作进一步化简.

⑺整体代换

举例：sinx+cosx=〃2n2sinxcosx=/n2-1

sin(tz+/?)=m,A+B=2+sin70°,A-B=-^--sin70°sin((z-/?)=«，可求出sinacoscosasin/3

整体值，作为代换之用.一

B3.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点.

(1)角的变换

因为在AABC中，A+B+C=7r]三内角和定理)，所以

任意两角和：与第三个角总互补，

任意两半角和与第三个角的半角总互余.

锐角三角形：①三内角都是锐角；

②三内角的余弦值为正值；

③任两角和都是钝角；

④任意两边的平方和大于第三边的平方.

即，sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CAB+C

sin—=cos----；cos一=sin----；tan—=cot----.

222222

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理.

面积公式：S=—sha=—absinC=r-p=个p(p-a)(p-G(p-G•

ARRrCA

其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半.tan—tan——I-tan—tan——I-tan-tan—=1

222222

(3)对任意AABC,；

在非直角AABC中，tanA+tan5+tanC=tanAtan5tanC.

(4)在AABC中，熟记并会证明：

*1.44,/5/。成等差数列的充分必要条件是々=60。・

*2.AABC是正三角形的充分必要条件是ZA,ZB,ZC成等差数列且a,b,c,成等比数列.

AC]7T

*3.三边成等差数列O2b=a+cO2sinA=sinB+sinCOtan—tan一=—；BW—.

2233

*4.三边Q,瓦c,成等比数列Ob2=acOsin2A=sinBsinC,BW—.

3

(5)锐角AABC中，A+B>—<^>sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,a2-^-b2>c2；

2

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

(6)两内角与其正弦值：

在AABC中，sinA>sinBOcos2B>cos2A,…

(7)>[设设A+5+C=»,那么x2+y2+z2yzcosA+2xzcosB+2xycosC.

B4.三角恒等与不等式

组一

组二

sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC......

组三常见三角不等式

71

(1)假设无£(0,5),那么sinxvxvtanx；

(2)假设x£(0，W),那么l<sin%+cos%W血；

(3)|sinx|+|cosx|^l；

(4)/。)=七在(0,乃)上是减函数；

X

B5.概率的计算公式：

»“、A包含的基本事件的个数

⑴古典概型:P(A)=-------------------------------

基本事件的总数

①等可能事件的概率计算公式：以4)=二=竺必&；

ncard(I)

②互斥事件的概率计算公式：尸(4+2=?储)+尸(而；

③对立事件的概率计算公式是：尸(1)=1—尸C4)；

⑵几何概型：假设记事件A={任取一个样本点，它落在区域guQ},那么A的概率定义为

»八g的测度构成事件朋区域长度(面积或体积等)

r(A)=---------=------------------------------------------------------

Q的测度试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)

B6.最值定理

①苍y>0,由x+ye2，石，假设积孙=P(定值)，那么当x=y时和x+y有最小值2〃；

②>0,由假设和x+y=S(定值)，那么当x=y是积孙有最大值

【推广】：x,y&R,那么有(x+y)?=(x-y)2+2町.

(1)假设积孙是定值，那么当|x-y|最大时，|x+y|最大；

当|x-y|最小时，|x+y|最小.

(2)假设和|x+y|是定值,那么当|x-y|最大时,|孙|最小;

当I犬-yI最小时，|孙|最大.

③a,x,Z?,y£R+,假设依+Z?y=l,那么有：

1111byax/―/—厂2

—I—=(ax+by){—I—)=a+b-\---12〃+/?+27ab=(7a+7b)

xyxyxy

@a,x,b,yeR+,假设q+*=1那么有：x+y=(%+))(&+处)=。+/?+2^/^=(^/^+^/^)2

%>xy

B7.求函数值域的常用方法：

①配方法：

②逆求法：通过反解，用y来表示了,再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围，型如

>=竺±士》€(加,“)的函数值域；

cx+d

④换元法：

⑤三角有界法：如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；

⑥不等式法：利用根本不等式a+622j法(a,6eR+)求函数的最值，有时须要用到拆项、添项和两边平方

等技巧；

⑦单调性法：

⑧数形结合法：

⑨别离常数法：

【说明】：对分式函数一般先考虑分子分母次数，齐次的话那么先别离出常数，假设次数不一样且两倍的化

那么将次数低的整体换元：

b

1.y=-—y型，可直接用不等式性质；

k+x

hx

2.y=1一型，先化简，再用均值不等式；

x+mx+n

3.y=-—型，可先换元转化为类似于2型

mx+n

丫2/

4.y=---------型，通常先别离出常数再转换为3型

数法：一般适用于高次多项式函数求值域.……

B8.函数值域的题型

(一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段.

(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.

解题步骤：(1)换元变形；

⑵求变形完的常规函数的自变量取值范围；

⑶画图像，定区间，截段。

(三)分式函数求值域：四种题型

cx+d

⑴y~~(QWO)：那么且ywH.

ax+ba

cx+d

⑵

y-r(x>2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围.

ax+b

2%2+3x—2

⑶

y6x2-x-i

(2x-l)(x+2)x+2I1p1口口

-------------=-----(九。一)，那么y。一且ywl且丁£氏.

y二

(2x-l)(3x+l)3x+l23

2x—I

(4)求y=——的值域，当尤eH时，用判别式法求值域。

X+X+1

9Y—1

y=—：-------nyx2+(y-2)x+y+1=0,A=(_y-2)2-4j(_y+1)>0=>值域.

x+x+l

(四)不可变形的杂函数求值域：

(五)原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.

(六)值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与值域对照

求字母取值或范围.

B9.应用根本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数(乘、除变量系数).例1.当0<%<4时，求函的数y=x(8—2%)最大值.

⑵凑项(加、减常数项)：例2.求函数/(x)=4x-2+^^的最大值

44x—5

r2+7x+10

⑶调整分子：例3.求函数/(%)=------------(xW-1)的值域；

X+1

⑷变用公式：根本不等式丝22而有几个常用变形：

2

4+叽血((尸3

a+bci~+b~一)2.

22

前两个变形很直接，后两个变形那么不易想到,应重视;

例4.求函数y=J2x-1+J5—2x(3<x<|)的最大值

°16

⑸连用公式：例5.求丁=/+--------的最小值；

b(a-b)

⑹对数变换：例6.且移=e,求/=(2x)s的最大值;

JT

⑺三角变换：例7.0<yWx<5，且tanx=3tany,求/=的最大值；

⑻常数代换〔逆用条件)：例8.a>03>0,且a+2b=1,求。=工+工的最小值.

ab

B10.“单调性”补了“根本不等式”的漏洞：

⑴平方和为定值

假设％2+y2=〃为定值，〃。0),可设％=&cosa,y=&sin。,，其中0Wa<2i.

①/(x,y)=x+y=yjasina+-Jacosa=42asin(a+?)在[0,；〃],g跖24)上是增函数,

j57r

在丁工］上是减函数;

11357

②g(羽V)=町=5。sin2a在[0,—^],[——^],[—肛2»)上是增函数,

1357

在［一肛一〃］,［一肛一万］上是减函数;

4444

、sina+cosa

③om(/x,y)=—1+1—=%--+--V--

xyxyGsinacosa

令1=sina+cosa=A/^sin(o+工)，其中/-拒，-1)(-1,1)II(1,^2].

4

由t1=l+2sinocos。，得2sinocos。=t2-1,

从而机(x,y)=—=—'在［-后,一1)乂一1,1)1(1,6］上是减函数.

商-1)6(/二)

t

⑵和为定值

假设冗+y=b(b为定值，Z?wO),那么y=Z?-%.

bb

①g(X,y)=肛=一九2+Zzx在(-00,—］上是增函数，在［万,+00)上是减函数；

②皿羽y)=-+-=五2=.当人>o时，在(—8,0),(0刍上是减函数，在巴，份,(氏+8)上是增

xyxy-x+bx22

hh

函数；当z?<o时，在(—8,b),s,］］上是减函数，在弓,0),(0,+8)上是增函数.

bh

③n(x,y)=x2+y2=2x2+2bx+〃在(_(x),上是减函数，在［万,+oo)上是增函数；

⑶积为定值

假设xy=c(c为定值，CHO),那么y=£.

X

①f(x,y)=x+y=x+*.当c>。时，在［一五,0),(0,&］上是减函数，在(一8,-+8)上是增函

x

数；

当c<0时，在(—8,0),(0,+O。)上是增函数；

,、11x+y1.c、

②〃z(x,y)=—H--=----=—(%+—).

xyxycx

当c>0时，在［-无,0),(0,五］上是减函数，在(-8,-&］,［五,+8)上是增函数；

当C<0时，在(一00,0),(0,+0。)上是减函数；

③”(x,y)=x2+v2=x2+—=(x+—)2-2c^t(-CO,-VC),(0,4C］上是减函数，

XX

在(--Vc,0］,［Vc,+co)上是增函数.

⑷倒数和为定值

假设工+工=2(d为定值，那么y=£.成等差数列且均不为零，可设公差为Z,其中ZH土工，

xyaxayxa

F”‘11114口dd

那么一二---z,—=—Hz,倚尤=-----,y=-----..

xdyd1-dz1+dz

①/(x)=x+y=当d>0时,在(—s,—2),(—1,0］上是减函数，在［0,1),(［,+s)上是增函数;

1-azaaaa

当d<0时，在(—oo」),(±0］上是增函数，在［0,—1),(—L+oo)上减函数；

dddd

②g(x,y)=Ay="12••当/>0时，在(一夕―!),(一工，0］上是减函数，在［0」),(L+s)上是增函数;

1-dzdddd

当d<0时，在(—oo,士),(,,0］上是减函数，在［0,+8)上是增函数；

aaaa

③n(x,y)=k+4=2df，z2：1)..t=d^+1,其中且评2,从而

(h2-1)2

2d2t2d2

n(x,y)=—=—j—在［1,2)上是增函数，在(2,+oo)上是减函数.

"2)2「_4

注意：不要忘记最根本的方法：减元转化为函数，多个变量尽量减少

BU.理解几组概念

*1.广义判别式

设/(x)是关于实数x的一个解析式，a,仇c都是与x有关或无关的实数且a#0,那么A=〃-4ac♦0是

方程a[/(x)『+"(x)+c=0有实根的必要条件，称“A”为广义判别式.

*2.解决数学问题的两类方法：

一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；

二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性

核算法.

*3.二元函数

设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中。中，任取一组数值时，第三个变量Z就以某一确定的法那么

有唯一确定的值与其对应，那末变量Z称为变量x与y的二元函数.记作：Z=/(x,y).其中x与y称为自

变量，函数Z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域.

把自变量x、y及因变量Z当作空间点的直角坐标，先在my平面内作出函数Z=f(x,y)的定义域£＞；再过D

域中得任一点M(x,y)作垂直于xoy平面的有向线段,使其值为与(x,y)对应的函数值Z；

当M点在。中变动时，对应的P点的轨迹就是函数Z=/(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其

定义域。就是此曲面在wy平面上的投影.

*4.格点

在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点(又称整数点).在数论中，有所谓格点估计问题.在直角

坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边

形，它是运筹学中的一个根本概念.

*5.间断点

我们通常把间断点分成两类：如果X。是函数/(X)的间断点，且其左、右极限都存在，我们把X。称为函数/(X)

的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.

*6.拐点

连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.

如果y=/(x)在区间(。涉)内具有二阶导数，我们可按以下步骤来判定y=/(x)的拐点.

⑴求f\x)；

⑵令f\x)=0,解出此方程在区间(a,。)内实根；

(3)对于(2)中解出的每一个实根%,检查/"(无)在/左、右两侧邻近的符号，假设符号相反，那么此点是拐

点，假设相同，那么不是拐点.

*7.驻点

曲线/(x)在它的极值点5处的切线都平行于x轴，即/(5)=0.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻

点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.

*8.凹凸性

定义在。上的函数/(%),如果满足：对任意演e。的都有/(‘乜)》!"(占)+/(三)],那么称是/(X)上

22-

的凸函数.定义在£＞上的函数如果满足：对任意的都有/(土土三)・匕/(匕)+/(%)],那么称

22

/(X)是。上的凹函数.

【注工一次函数的图像(直线)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等号成立).

假设曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，那么称这段弧是凹的；假设曲线弧上每一点的切线都位于曲

线的上方，那么称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸局部的分界点称为曲线的拐点.

B12.了解几个定理

*1.零点定理:

设函数/G)在闭区间口，力上连续，且/(a)"3)V0.那么在开区间(a,b)内至少有函数Ax)的一个零点，

即至少有一点J使/@=0.

*2.介值定理：

设函数f(x)在闭区间［a,句上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)=A,f(b)=B,那么对于A,8之间

任意的一个数C,在开区间色力)内至少有一点使得了e)=Cta<^<bV

*3.夹逼定理：

设当0<|X—七|<5时，有g(x)Wf(%)<h(x),且limg(x)=lim〃(x)=A,那么必有limf{x}=A

X—>XQXX

X—>xo—>0

【注1|x-%I：表示以与为的极限，那么|X-XoI就无限趋近于零.(J为最小整数)

10〜12,思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力

C1.线段的定比分点公式

C2.抽象函数

C3.函数图像的对称性

C4.几个函数方程的周期(约定a本0)

C5.对称性与周期性的关系

C6.函数图象的对称轴和对称中心举例

C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系

C8.关于奇偶性与单调性的关系.

C9.几何体中数量运算导出结论

数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.

1.在长方体(。,女C)中：

①体对角线长为^a2+b~+c2,外接球直径2R=.

②棱长总和为4(a+Z?+c)；

③全(表)面积为2(a>+/?c+ca),体积V=tzZ?c；

④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为名民/,那么有

cosa+cos2/3+cos/=1,sin%+sin*+sin，=2.

⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为外氏/,那么有

cosa+COS2/?+COS2/=2,sin2(z+sin2y0+sin2/=l.

2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)O顶点在底上射影为底面外心；

②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)O顶点在底上射影为底面垂心；

③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内O顶点在底上射影为底面内心.

3.在正四面体中：设棱长为。，那么正四面体中的一些数量关系：

①全面积S=

②体积卜=亚。3；

12

③对棱间的距离仁

④相邻面所成二面角a=arccosl；

3

⑤外接球半径氏=近〃；

4

⑥内切球半径〃=—a；

12

⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值//=约々.

3

4.在立方体中：

设正方体的棱长为。，那么①体对角线长为百a,

②全面积为6a2,

③体积V=Y,

④内切球半径为rx,外接球半径为弓，与十二条棱均相切的球半径为与，那么

2rl=a,2r,=J3a,2r>=0a,且（:r,:r3=1:^2:G

CIO.圆锥曲线几何性质

|PFj+|P闻=2a＞归岛|方程为椭圆,

椭圆方程的第一定义：中国+|P%|=2aY巴网无轨迹,

呐+咯I=2。=|尸1尸2|以尸1，尸2为端点的线段

仍F卜四2|=2。Y|/%|方程为双曲线

双曲线的第一定义：归尸卜归尸2|=2力内%］无轨迹

忸月卜|「&||=2。=巴%|以八，%的一个端点的一条射线

圆锥曲线的焦半径公式如以下图：

特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性

质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.

C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.

C12.借助图象为拟大小

C13.大小比拟常用方法：’

①作差：作差后连竭解q好方等声段判断差“喔果

②作商（常用于分.数式纭■

③分析法；

④平方法；

⑤分子（或分母）

⑥利用函数的单般

⑦寻找中间量少00比，与“1”比或族缩法;

⑧图像法.其中比拟法〔作差、作商）是最根本的方法.

C14.不定项填空题易误知识点拾遗：

（1）情况存在的“个数”问题

①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面一个.（7个〕；

②过直线外一点有一个平面与该直线平行（无数个）；

③一直线与一平面斜交，那么平面内有一条直线与该直线平行.（0）；

④3条两两相交的直线可以确定一个平面〔1个或3个）；

⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有一条［0或1）；

⑥3个平面可以把空间分一个局部.（4或6或7或8）；

⑦两两相交的4条直线最多可以确定一个平面〔6个）；

⑧两异面直线成60°,经过空间外一点与它们都成30°〔45°,60°,80°）的直线有条.〔1；2；3；

4）；

（2）平面与空间的“区分”问题

1.错误的命题

①垂直于同一条直线的两直线平行；

②平行于同一直线的两平面平行；

③平行于同一平面的两直线平行；

④过直线外一点只有一条直线与直线垂直；

⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；

⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，那么该直线与这个平面垂直……

2.正确的命题

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③两平面平行，假设第三个平面与它们相交且有两条交线，那么两直线平行；

④两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面……

⑶易误提点：

①a-b＜0是＜a,b＞为钝角的必要非充分条件.

②截距不一定大于零，可为负数，可为零；

③0常常会是等式不成立的原因，0模为0,方向和任意向量平行，却不垂直；

④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑/'(%)=0,又

要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；

⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

C15.关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作比照：

多面体多连形A面边^—>

体积V->面积；二面角Y-平面角

面积V--峨段长；.....

D、13〜14,把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽

D1.熟知几个重要函数

1.f(x)=ax+—

x

(l)a>0,b>0时，/(x)为“双钩函数”：

①定义域：(-CO,0)_(0,+8)；值域为(―8,—―[J2+8)；

②奇偶性：奇函数(有对称中心)；

③单调性：在区间(-8,-口嗜,+8)上单调递增；

在区间[-他,0),(0,、口]上单调递减.

VaY〃

④极值：时取到极大值，元=2时取到极小值.

VaVa

A

⑤记住=(。>0,6>0)的图像的草图.

X

b_

⑥不等式性质：x>0时，f(x)=ax+-^2-Jab；

X

b,

x<0时，f(x)="+—W—2\/ab.

x

(2)a〉0,Z?<0时，在区间(一8,0),(0,+8)上为增函数.

【思考】：图像大致如何分布.

(3)常用地，当a=6=l时，/(x)=x+L的特殊性质略.

X

【探究工①函数/")=」丁的图像变化趋势怎样？

b

ax+—

x

②/(%)=4+4，/(x)=ox"+4(〃EN*)的有关性质.

2.y=^±4(cw0，Qd。3

cx+d

b

化简为，y=nx±b=a+^

cx+dcx+—

c

①定义域：(-00,—4)”(4,+oo).值域为的一切实数；

ccc

②奇偶性：不作讨论；

③单调性：当2<0时，在区间(_00,一4],[^,+00)上单调递增；

CCC

当2>0时，在区间(-00,+00)上单调递减.

④对称中心是点(—,4);

⑤两渐近线：直线x=-4和直线y=4；

cc

【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中X的系数确定.

7b_

⑥平移变换：y="土?(cw0,adw历)可由反比例函数y=上(比/0)图像经过平移得到;

⑦反函数为y=岳4；

,ex-a

【说明】：分式函数丁=箸普(cw0,adwbc)与反比例函数y=：(cw0),离心率均为、/5,同源于双曲

92

线土学=】•

3.三次函数图像与性质初步

*1.定义：形如y=。%3+加；2+s+d(awo)的函数叫做三次函数.定义域为R,值域为R.

*2.解析式：①一般式：f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)；

②零点式：f(x)=a(x-%1)(x-x2)(x-x3)(a0)

*3.单调性:

【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我

们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤

判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.

32

那三次函数/(x)=ax+bx+cx+d(a丰0)的图像及性质，要从那里入手呢？

再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、

拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性

质.

b

所以，+2bx+c,导函数对称轴x=---.

3a

【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.

^=^b2-nac〔"极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点)

〔一)假设A=4启—12ac>0

2bc

令/'(%)=。,由根与系数关系知：X+x=-—，XX=—

i23aX23a

皿工17/士1~b—y—3cic—b+db2—3cic

两极值点：x=-------------=-----------------

13a23a

[1)当〃>。，b>0,c>0,约定d>0,那么拐点在y轴左边，极值点分布在y轴左边.根据零点的个

数，尝试做出如以下图像：

〔三〕假设△=()即/—3ac=0时，/'(x)20在R上恒成立，即/(x)在(―匕+⑹为增函数.

/-b、-b,—b、

(-8,——)(——,+OO)

3a3a3。

r(x)的符号+0+

/(x)的单调性//

*4.极值：

函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系

(1)假设〃—3acW0,那么/(x)在R上无极值；

(2)假设3ac>0,那么/(x)在R上有两个极值；且/(x)在x=项处取得极大值，在x=%2处取得

极小值.

*5.零点个数(根的性质)

函数/(x)=ax3+bx1+cx+d(a>0)的图像与x轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？

(联系函数的极值，进行等价转化)

一个交点：极大值小于0,或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；

两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；

三个交点：极大值大于零，极小值小于零.

D2.几个重要图像

1.y=|at-Z?|(a>b>0)2.y=a|x|-Z?(a>b>0)

3.y=|x-a|+|x-Z?|(a>Z?>0)

5.|x-tz|+|y-Z?|=/n6.|j;-a|-|y-Z?|=m

D3.函数y=尸(x)=/(%)-g(尤)的零点处理：=-ax+by—ax+b

⑴>的零点(不是点而是数)0E(x)=0的根x

―►

Oy=/(x)与x轴的交点的横坐标(-2,0)

=V=/(x),y=g(x)的交点问题.a

(2〕注意讨论周期函数(特别是三角函数)在某区间内零点个数问题.

［3)零点存在定理：y=/(x)单调且端点值异号二>七0€(和工2)使/(x())=0.

【说明1

1.方程/(x)=0在(匕状2)上有且只有一个实根，与/(41)/(内)<0不等价，前者是后者的一个必要而不是

充分条件.

特别地，方程以2+法+。=0(。力0)有且只有一个实根在(匕，左2)内,等价于/(左左2)<。，或

/(匕)=0且匕<_2<匕+左2,或/(左2)=0且』十&<一_L<&.

2a222a

2.在［a,可上连续,且/(a)/⑹<0,那么〃龙)在［a,句上至少有一个零点(奇数个零点),可能

有无数个零点.f(a)f(b)>Q,〃尤)在［a,可上可能无零点也可能有无数个零点.

3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对(x,0).

D4.比例的几个性质

①比例根本性质：—=—<=>ad=be；

bd

z-XLir…BaCbd-Bacab

②反比7E理：一=一一一二一；③更比7E理：一=一一一二一；

bdacbdcd

人一、TEaca+bc+d^八一、Eaca-bc-d

④合比定理；一二—n-----=-----；⑤分比定理：一=—n-----=-----；

bdbdbdbd

A八八L…Eaca+bc+d台八人”-中aca-bc-d

⑥合分比定理：一=—n-----=-----；⑦分合比定理：一=—=>-----=-----

bda-bc-db