专题5.3平面向量的数量积-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第五章平面向量和复数专题5.3平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．考点一平面向量数量积的定义考点二平面向量数量积的运算考点三数量积的坐标表示考点四投影向量知识梳理给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(1)设非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′(如图)，则称向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))为向量a在直线l上的投影向量或投影.(2)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为eq\o(A′B′,\s\up6(→)).一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，它们的方向既有可能相同，也有可能相反.(3)一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.a·b等于a在b上的投影的数量与b的模的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特别地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))第一部分核心典例题型一平面向量数量积的定义1．已知向量与的夹角为60°，其中，，则（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】C【详解】.故选：C2．已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图所示：因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，由图象知：，所以，故选；C3．若均为非零向量，则是与共线的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】一方面：由，可得，此时与共线;另一方面：由与共线，可得或，此时有或，即此时不一定成立.结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件.故选：A.4．在中，，若，则下列结论正确的为（

）A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，故可为任意三角形.故选：D5．设是不共线的两个向量，若命题p：，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为向量和是不共线的两个向量，由，可得，则和的夹角为锐角，反之，若和的夹角为锐角，可得，则，所以命题是命题成立的充要条件．故选：C．题型二平面向量数量积的运算6．已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，且，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D7．已知单位向量是平面内的一组基底，且，若向量与垂直，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】为单位向量且，所以，，，向量与垂直，所以，即，即，解得.故选:A8．已知向量与向量的夹角为120°，，则（

）A．3 B． C． D．1【答案】B【详解】，故选：B9．已知MN是边长为的等边外接圆的一条动弦，，P为边上的动点，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由题意，如图，设外接圆的圆心为O，可求得圆O的半径．设线段MN的中点为H，连接OH，PM，PN，PH，则．∵，，∴，，当的某一条边过点H时，的最小值为0，当的某一个内角的角平分线过点H时，的最大值为，∴．故选：BC．10．若向量，满足，且，，则（

）．A．2 B． C．1 D．【答案】D【详解】设，由已知可得，，所以.又，所以，解得（舍去负值），所以，.故选：D.题型三数量积的坐标表示11．已知平面向量，满足，，且，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【详解】，，因为，所以，解得.故选：D.12．已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，因为，所以，解得，故，则.故选：B13．已知向量，，，则（

）A．14 B． C．50 D．【答案】C【详解】因为向量，，，所以，解得：，.故选：C.14．已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（

）A．27 B．0 C． D．【答案】D【详解】解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，，，，设，其中，则，，故，所以当时，有最小值.故选：D.15．已知向量，，且（

）A．5 B． C．11 D．【答案】A【详解】∵，∴.故选：A题型四投影向量16．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】向量，，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A17．已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】向量在上的投影为，向量在上的投影向量为.故选：D.18．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知，向量，的夹角为，得，又已知为单位向量，则在上的投影向量是.故选：D.19．已知，为单位向量，若向量与的夹角的正弦值为，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，∴投影向量为．故选：B20．已知△ABC外接圆的半径为1，其圆心O满足，，则在上的投影向量的模长为（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【详解】如图，因为△ABC外接圆的圆心O满足，所以点O为BC的中点，所以BC是△ABC外接圆的直径，故，∠BAC＝90°．因为，所以△OAC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°．在Rt△ABC中，，所以在上的投影向量的模长为．故选：C．第二部分课堂达标一、单选题1．已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】，，，.故选：D.2．已知，，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】因为，，则，，，所以，所以在上的投影向量为.故选：C.3．已知平面向量，且，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，解可得,,则.故选:B.4．已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（）A．1 B． C．3 D．【答案】C【详解】，故选：C5．已知向量，，，则向量与的夹角大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，而，故，故选：B.6．已知向量，若，则（

）A．10 B． C．8 D．【答案】A【详解】由题意可知：，因为，故.所以.故选：A7．已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，所以向量在向量上的投影向量为:.故选:B.8．已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设的夹角为，由及单位向量，得，显然，且，于是，而，因此，解得，所以的取值范围是.故选：C二、多选题9．已知直角中，，，则实数可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】在直角中，，，则，若为直角，则，解得；若为直角，则，解得；若为直角，则，解得.故选：BCD.10．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，P是AB边上的动点，则的值可能为（

）．A．﹣12 B．﹣8 C．﹣2 D．0【答案】BCD【详解】因为，所以由正弦定理得，，又，故，又，，故⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，则，则，因为，所以，A错误，BCD正确.故选：BCD三、填空题11．因为，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是．【答案】【详解】因为，且与的夹角为钝角，所以，解得，又当，即时，此时与的夹角为，所以，综上可得且，即的取值范围是.故答案为：12．平面向量，则向量在上的投影向量坐标为．【答案】【详解】由向量，可得，则，，则向量在上的投影向量坐标为.故答案为：.四、解答题13．已知向量与满足，，与的夹角为．(1)求；(2)求．【详解】（1）设与的夹角为，则；（2）.14．已知向量，．(1)若，求实数的值(2)求与的夹角；【详解】（1）当时，，∴，则，∴．（2）